21.3.1 第1课时 矩形的定义与性质教学设计-2025-2026学年人教版数学八年级下册（新教材）

21.3 特殊的平行四边形 21.3.1矩形矩形的性质 一、学习目标 1. 掌握**矩形的定义**，明确矩形与平行四边形的关系（矩形是特殊的平行四边形）； 2. 3. 熟练掌握矩形的性质（边、角、对角线），理解性质的推导过程，区分矩形与平行四边形性质的异同； 4. 5. 能运用矩形的性质进行证明、计算，解决与矩形相关的综合问题； 6. 7. 体会“特殊与一般”的数学思想，能利用平行四边形的性质推导矩形的特殊性质。 8. 二、知识回顾 1. 平行四边形的核心性质 ① 边：对边平行且相等； ② 角：对角相等，邻角互补； ③ 对角线：互相平分。 2. 平行四边形的特殊性思考 当平行四边形的一个角变成直角时，这个平行四边形会变成什么图形？（引出矩形，铺垫矩形与平行四边形的从属关系）。 三、矩形的定义 文字语言：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形（也叫长方形）。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且$$\angle A=90^\circ$$，∴ 四边形$$ABCD$$是矩形。 注意1：矩形的定义包含两个核心条件——① 是平行四边形；② 有一个角是直角，二者缺一不可； 注意2：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，同时还有自身的特殊性质； 注意3：正方形是特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形），但矩形不一定是正方形。 四、矩形的性质（核心，分通用性质和特殊性质） 1. 通用性质（继承平行四边形的所有性质） ① 边：矩形的对边平行且相等（$$AB\parallel CD$$，$$AD\parallel BC$$，$$AB=CD$$，$$AD=BC$$）； ② 对角线：矩形的对角线互相平分（$$OA=OC$$，$$OB=OD$$，$$O$$为对角线交点）。 2. 特殊性质（矩形独有的性质，重点掌握） 性质1（角）：矩形的四个角都是直角。 文字语言：矩形的四个内角均为$$90^\circ$$； 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是矩形，∴ $$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ$$。 性质2（对角线）：矩形的对角线相等。 文字语言：矩形的两条对角线长度相等； 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是矩形，∴ $$AC=BD$$。 补充推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线性质推导得出）； 几何语言：在$$\text{Rt}\triangle ABC$$中，$$\angle ACB=90^\circ$$，$$O$$是$$AB$$的中点，则$$OC=\frac{1}{2}AB$$。 五、性质推导（重点，利用平行四边形性质证明） 1. 证明“矩形的四个角都是直角” 已知：四边形$$ABCD$$是矩形，且$$\angle A=90^\circ$$。 求证：$$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ$$。 证明：∵ 四边形$$ABCD$$是矩形，∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形， ∴ $$AB\parallel CD$$，$$AD\parallel BC$$（平行四边形对边平行）， ∴ $$\angle A+\angle B=180^\circ$$，$$\angle A+\angle D=180^\circ$$（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵ $$\angle A=90^\circ$$，∴ $$\angle B=\angle D=90^\circ$$， ∵ 平行四边形对角相等，∴ $$\angle C=\angle A=90^\circ$$， ∴ 矩形的四个角都是直角。 2. 证明“矩形的对角线相等” 已知：四边形$$ABCD$$是矩形，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$。 求证：$$AC=BD$$。 证明：∵ 四边形$$ABCD$$是矩形，∴ $$AB=CD$$，$$\angle ABC=\angle DCB=90^\circ$$（矩形对边相等、四个角都是直角）， 在$$\triangle ABC$$和$$\triangle DCB$$中： $$\begin{cases} AB=CD（矩形对边相等） \\ \angle ABC=\angle DCB（矩形四个角都是直角） \\ BC=CB（公共边） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=CD（矩形对边相等） \\ \angle ABC=\angle DCB（矩形四个角都是直角） \\ BC=CB（公共边） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=CD（矩形对边相等） \\ \angle ABC=\angle DCB（矩形四个角都是直角） \\ BC=CB（公共边） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=CD（矩形对边相等） \\ \angle ABC=\angle DCB（矩形四个角都是直角） \\ BC=CB（公共边） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=CD（矩形对边相等） \\ \angle ABC=\angle DCB（矩形四个角都是直角） \\ BC=CB（公共边） \end{cases}$$ ∴ $$\triangle ABC\cong\triangle DCB（SAS）$$， ∴ $$AC=BD$$（全等三角形对应边相等）， ∴ 矩形的对角线相等。 六、典型例题 例1（基础应用：角与边的计算） 在矩形$$ABCD$$中，已知$$\angle AOD=120^\circ$$，$$AB=4cm$$，求矩形的边长$$AD$$和对角线$$AC$$的长度。 解： ∵ 四边形$$ABCD$$是矩形， ∴ 对角线$$AC=BD$$，且$$OA=OC=\frac{1}{2}AC$$，$$OB=OD=\frac{1}{2}BD$$（矩形对角线相等且互相平分）， ∴ $$OA=OD$$， ∵ $$\angle AOD=120^\circ$$，∴ $$\angle OAD=\angle ODA=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ$$， ∵ 矩形的四个角都是直角，∴ $$\angle BAD=90^\circ$$， 在$$\text{Rt}\triangle ABD$$中，$$\angle ADB=30^\circ$$， ∴$$BD=2AB=2\times4=8cm$$（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴ $$AC=BD=8cm$$， 由勾股定理得：$$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}cm$$。 例2（进阶应用：对角线与直角三角形推论） 在$$\text{Rt}\triangle ABC$$中，$$\angle ACB=90^\circ$$，$$D$$是$$AB$$的中点，$$CD=5cm$$，$$AC=6cm$$，求$$BC$$的长度。 解： ∵ $$\angle ACB=90^\circ$$，$$D$$是$$AB$$的中点， ∴ $$AB=2CD=2\times5=10cm$$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 在$$\text{Rt}\triangle ABC$$中，由勾股定理得： $$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8cm$$。 例3（综合应用：矩形与平行四边形结合） 如图，矩形$$ABCD$$的对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，$$AE\perp BD$$于点$$E$$，$$CF\perp BD$$于点$$F$$，求证：$$AE=CF$$。 解： ∵ 四边形$$ABCD$$是矩形， ∴ $$OA=OC$$（矩形对角线互相平分）， ∵ $$AE\perp BD$$，$$CF\perp BD$$， ∴ $$\angle AEO=\angle CFO=90^\circ$$， 在$$\triangle AEO$$和$$\triangle CFO$$中： $$\begin{cases} \angle AEO=\angle CFO \\ \angle AOE=\angle COF（对顶角相等） \\ OA=OC \end{cases}$$$$\begin{cases} \angle AEO=\angle CFO \\ \angle AOE=\angle COF（对顶角相等） \\ OA=OC \end{cases}$$$$\begin{cases} \angle AEO=\angle CFO \\ \angle AOE=\angle COF（对顶角相等） \\ OA=OC \end{cases}$$$$\begin{cases} \angle AEO=\angle CFO \\ \angle AOE=\angle COF（对顶角相等） \\ OA=OC \end{cases}$$$$\begin{cases} \angle AEO=\angle CFO \\ \angle AOE=\angle COF（对顶角相等） \\ OA=OC \end{cases}$$ ∴ $$\triangle AEO\cong\triangle CFO（AAS）$$， ∴ $$AE=CF$$（全等三角形对应边相等）。 七、易错提醒 1. 混淆矩形与平行四边形的性质：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定具有矩形的特殊性质（四个角为直角、对角线相等）； 2. 3. 误用直角三角形斜边上的中线推论：必须是“直角三角形”且“线段是斜边上的中线”，才能得出“中线等于斜边一半”的结论； 4. 5. 计算时忽略矩形的隐含条件：矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分，这些隐含条件可作为解题的突破口； 6. 7. 证明矩形性质时，忘记利用平行四边形的性质推导，逻辑不连贯。 8. 八、课堂练习 1. 在矩形$$ABCD$$中，对角线$$AC=10cm$$，则$$BD=$$________$$cm$$，$$OA=$$________$$cm$$。 2. 3. 已知矩形的一条边长为$$6cm$$，对角线长为$$10cm$$，则另一条边长为________$$cm$$。 4. 5. 如图，矩形$$ABCD$$中，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，$$\angle AOB=60^\circ$$，$$AB=3cm$$，求证：$$\triangle AOB$$是等边三角形，并求矩形的周长。 6. 九、课堂小结 1. 核心概念：矩形（有一个角是直角的平行四边形），是特殊的平行四边形； 2. 核心性质：① 通用性质（继承平行四边形：对边平行且相等、对角线互相平分）；② 特殊性质（四个角都是直角、对角线相等）； 3. 重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 4. 应用场景：求矩形的边长、对角线长度，解决与直角三角形、全等三角形结合的综合问题，体会“特殊与一般”的数学思想。 数学下册 平行四边形的性质的运用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课 一、教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。 2. 3. 过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。 6. 二、教学重难点 重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。 难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC； ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）； ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。 （二）核心应用梳理（7分钟） 梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架： 1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”） 思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。 2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”） 思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。 3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”） 思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。 4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合） 思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。 强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。 （三）典例精讲（18分钟） 结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。 例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。 讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。 例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。 例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。 例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。 教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。 （四）变式训练（10分钟） 布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧： 1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。 2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。 3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。 学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。 （五）易错点总结（3分钟） 梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调： 1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质； 2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系； 3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱； 4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。 引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。 （六）课堂小结（2分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。 （七）布置作业（2分钟） 基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。 拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。 五、板书设计 平行四边形的性质的运用 一、核心性质（几何语言） 1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） 3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点） 二、常见应用场景及思路 1. 边长计算：对边相等+周长公式 2. 角度推理：对角相等+邻角互补 3. 对角线：互相平分+勾股定理 4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理 三、解题关键 1. 明确前提：四边形是平行四边形 2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨 四、典例精讲（规范书写步骤） 例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。 第1课时 矩形的性质 教学设计 教学目标 课题 21.3.1 第1课时 矩形的性质 授课人 素养目标 1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别和联系，体会特殊与一般之间的关系. 2.探究矩形的性质和识别条件，提高学生的推理能力. 3.利用矩形的性质定理进行证明和计算. 4.掌握直角三角形斜边上的中线的性质，会用它求线段长或解决线段的倍分关系问题. 教学重点 矩形的性质定理和直角三角形斜边上的中线的性质的理解与运用. 教学难点 矩形的性质定理和直角三角形斜边上的中线的性质的探究与证明. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：动态演示，导入新课 【情境导入】 拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，使一个角是直角，这时它除了是平行四边形外，还是什么特殊的图形?(动画演示拉动过程如图) 概念引入：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形. 如图，门窗框、书桌面、地砖等都有矩形的形象. 与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定. 【教学建议】 学生根据生活经验及图片思考矩形的特征，教师总结矩形的概念. 设计意图 动态演示平行四边形变成矩形的过程，使学生了解矩形的概念. 活动二：动手操作，探究新知 探究点1 矩形的性质 1.平行四边形的对角相等，邻角互补.如图，取一张矩形纸片，用直尺画出它的对角线. 矩形是特殊的平行四边形，它有一个角是直角，它的四个角之间还有没有其他的关系呢? 答：矩形的四个角都相等，都是直角. 2.测量两条对角线的长度，这两个长度有什么关系? 答：两条对角线的长度相等. 下面我们一起来证明一下： (1)如图,在矩形ABCD 中, 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD,∠A=∠C. ∵∠A=90°,∴∠C=90°,∠D=180°-∠A=90°. ∴∠B=180°-∠C=90°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. (2)如图,四边形ABCD 是矩形.求证:AC=BD. 证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠ABC=∠DCB=90°,AB=DC. 又BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=BD. 【教学建议】 证明过程可让学生自行完成，教师进行指引和纠正. 设计意图 通过动手操作，让学生在活动中得出矩形的性质，印象更加深刻. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 设计意图 归纳总结：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 3.(1)折叠一下你手中的矩形纸片.它是轴对称图形吗? 答：它是轴对称图形. (2)它的对称轴在矩形纸片的什么位置? 答：在每组对边中点的连线上. 归纳总结：矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴. 例1 (教材 P69 例1)如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形ABCD 的对角线的长. 解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AC 与 BD 相等且互相平分.∴OA =OB. 又∠AOB=60°,∴△OAB 是等边三角形. ∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8. 【对应训练】 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D) A.对边平行 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线相等 2.如图,在矩形 ABCD 中,E 是AB 的中点,连接DE,CE.求证:△ADE≌△BCE. 证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=BC,∠A=∠B=90°. ∵E 是AB 的中点,∴AE=BE. ∴△ADE≌△BCE(SAS). 3.教材P70练习. 【教学建议】 给学生说明，矩形一般只有两条对称轴，要防止学生错将对角线所在直线当成矩形的对称轴(只有当矩形同时是正方形时，对角线所在直线才是它的对称轴). 通过折纸，发现矩形的轴对称性. 设计意图 探究点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图,BO 是Rt△ABC 斜边AC 上的中线. (1)测量一下，BO 与AC 的长度有什么关系? 答： (2)你能证明上面的结论吗? 证明：类似于证明三角形中位线定理的过程，如图，延长 BO 到点 D，使OD=OB,连接 AD,CD. ∵OA=OC,OB=OD,∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∠ABC=90°,∴四边形 ABCD 是矩形. 根据矩形的性质， 归纳总结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【对应训练】 1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD=BD,CD=4,则AB的长为(A) A.8 B.6 C.4 D.2 2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,若∠ECD=50°,E是斜边AB 的中点,则∠A=(B) A.10° B.20° C.30° D.40° 【教学建议】 提醒学生：若遇到直角三角形斜边的中点，通常可作出中线解决问题.注意直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形. 引导学生发现直角三角形斜边上的中线的性质. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 活动三：综合运用，巩固新知 例 2如图,矩形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,AE⊥BD 于点E,且BE:ED=1:3,AD=6cm.求AE的长. 解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∵BE:ED=1:3,∴BE=OE. 又AE⊥BD,∴AE 垂直平分BO,∴AB=AO=BO.∴△ABO是等边三角形. 【对应训练】 1.如图,矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点 E,F 分别是AO,AD的中点,连接EF.若AB=6cm,BC=8cm,则EF 的长是(D) A.2.2cm B.2.3cm C.2.4 cm D.2.5cm 2.如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点.若 AB=5,AD=12,求四边形ABOM 的周长. 解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴BC=AD=12,CD=AB=5,∠ABC=90°. ∵O 是 AC 的中点, ∵M 是 AD 的中点,∴OM 是△ACD 的中位线, ∴四边形 ABOM 的周长为AB+OB+OM+AM=5+6.5+2.5+6=20. 【教学建议】 提醒学生：矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，在解题时有时会用到等腰三角形的性质. 设计意图 巩固学生对矩形性质的认知，并加强与其他知识综合运用的能力. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 矩形作为特殊的平行四边形，它的概念是什么?矩形有哪些特殊的性质?直角三角形斜边上的中线的性质是什么? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P79~80习题21.3第3,8,9,12(1),13题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 21.3.1 矩形 第1课时 矩形的性质 1.矩形的概念. 2.矩形的性质:(1)边;(2)角;(3)对角线;(4)轴对称性. 3.直角三角形斜边上的中线的性质. 教学反思 本节课的主要教学任务是矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质，教学中让学生充分经历从实际生活中抽象出数学图形到深入认识图形特征的过程，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，在适度的方法训练中加强知识的灵活运用，使学生对于常见的转化方法也能灵活应用. 学科网（北京）股份有限公司 备课素材 解题大招 解题大招 矩形性质的运用 (1)矩形是特殊的平行四边形，它的特殊性主要表现为四个角都是直角和两条对角线相等； (2)矩形的性质是求线段的长度、角度的常用手段，它可以用来验证两条线段是否相等，两条直线是否平行，两个角是否相等； (3)由于矩形的四个角都是直角，则常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决； (4)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，并且分成的四个等腰三角形的面积相等，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质； (5)矩形的两条对角线的交点到四个顶点的距离相等. 例1 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为 2 . 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=6,∠A=∠ABC=90°.又 BE=BC,∴BE=6.∴AE= 5.∵CF⊥BE,∠ABC=90°,∴∠BFC=90°,∠ABE=90°-∠EBC=∠FCB.∴∠A=∠BFC.又BE=CB,∴△ABE≌△FCB(AAS).∴BF=AE=2 .故答案为2 例2 如图,∠MON=90°,矩形ABCD 的顶点A,B 分别在边OM,ON上,当点 B 在边ON 上运动时,点 A 随之在边OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=6，BC=2，则运动过程中点D 到点O 的最大距离是 解析:如图,取线段AB 的中点E,连接OE,DE,OD.∵E是AB 的中点,∠AOB=90°,∴OE=AE= ·四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC=2,∠DAB=90°.∴DE= √AE²+AD²= ∴当点D，E，O共线时，OD 的长最大.∴点D 到点O的最大距离= 故答案为 培优计划 培优点一 利用矩形性质求线段长 例1 如图,矩形ABCD 的对角线AC与BD 相交于点O,AB=5,AD=12,E为BC边上的一个动点,EF⊥AC, EG⊥BD,垂足分别为F,G,则 分析:连接OE,根据矩形的性质得到 BC=AD=12,AO=CO=BO=DO,∠ABC=90°,再根据勾股定理得到 求得 再根据三角形的面积公式即可求解. 解析:如图,连接OE.∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,BC=AD=12,AO=CO=BO=DO.∴AC= 故答案为,6013. 培优点二 利用直角三角形斜边上中线的性质解题 例2 如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB 于点E,连接DE,M,N分别是BC,DE 的中点,连接MN,EM,DM. (1)求证:MN⊥DE; (2)若∠A=60°,判断△EMD 的形状,并说明理由. (1)证明:∵CE⊥AB,BD⊥AC,∴△BCE 和△BCD 都是直角三角形. 又 M 是BC 的中点, 又 N 是DE 的中点,∴MN⊥DE. (2)解：△EMD 是等边三角形.理由如下： ∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°.由(1)可知 又M是BC的中点,∴EM=BM=DM=CM. ∴∠ABC=∠BEM,∠ACB=∠CDM.∴∠BEM+∠CDM=∠ABC+∠ACB=120°. ∴∠BME+∠CMD=360°-(∠ABC+∠ACB)-(∠BEM+∠CDM)=120°. 又 EM=DM,∴△EMD 是等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $