21.1.2 多边形及其内角和 教学设计 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦多边形概念及内角和、外角和公式，通过生活实例导入，类比三角形、四边形旧知，搭建从具体到抽象的学习支架，梳理几何图形知识脉络。 以类比推导和多方法探究为特色，通过从顶点、内部取点等方式推导内角和公式，培养几何直观与推理意识，例题运用方程思想解决问题体现模型意识，助力学生提升逻辑推理能力，为教师提供结构化教学流程与多样化活动设计。

21.1.2　多边形及其内角和 教学目标 1．类比四边形，学习并理解多边形及其边、顶点、对角线、内角、外角等概念，发展几何直观． 2．类比四边形，探索并掌握多边形的内角和与外角和公式，进一步感受转化与化归的思想方法． 3．能运用多边形内角和与外角和公式解决几何问题，提升逻辑推理和知识迁移能力． 教学重点 多边形的概念；多边形内角和公式的推导与应用． 教学难点 多边形内角和公式的推导与应用． 教学过程 新课导入 【引导语】多边形在生活中很常见，观察图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？你能再列举一些生活中含有多边形的事物吗？ 【师生活动】学生结合图片和生活中的场景，交流自己对多边形的初步认识：由多条线段组成的封闭图形． 【引导语】有了三角形、四边形的学习基础，我们可以把图形的研究进一步推广．本节课将类比三角形、四边形的学习方法，探索多边形的相关概念，以及内角和与外角和的性质． 【设计意图】通过生活中常见的多边形实例，唤醒学生对复杂几何图形的认知，为新课学习奠定情境基础． 新知探究 【问题1】观察下图，你能类比三角形、四边形的定义，尝试描述多边形的定义吗？ 【师生活动】学生回忆三角形、四边形的定义，结合图形，明确“在平面内、若干条线段、首尾顺次相接、封闭图形”是核心要素，尝试进行表述，师生共同总结出多边形的定义．学生在学习任务单上进行记录． 【新知】在平面内，由n（n≥3）条线段A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形． 多边形有几条边就叫作几边形． 【追问1】请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义． 【师生活动】学生一起口答，师生共同梳理出多边形各要素的定义． 【答案】 【追问2】指出图中六边形的边、顶点、内角，在每个顶点处各画出一个外角，同时画出它的全部对角线． 【师生活动】学生一起口答图中六边形的边、顶点、内角，再在学习任务单上尝试画出外角和对角线． 【答案】六边形的边：AB，BC，CD，DE，EF，FA； 顶点：点A，点B，点C，点D，点E，点F； 内角：∠BAF，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF，∠AFE； 外角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6； 对角线：AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF． 【提醒】与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形．今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形． 【追问3】我们知道，在研究四边形时，它的两条对角线十分重要，连接对角线是把四边形问题转化为三角形问题的常用方法．那么，对于多边形来说，从n边形的一个顶点出发，能画出几条对角线？这个n边形一共有多少条对角线？这些对角线能把n边形分成几个三角形？ 【师生活动】学生分组合作，分别考虑三角形、四边形、五边形、六边形、七边形，并在学习任务单上的表格里进行记录． 教师引导学生观察表格数据，寻找规律后发现：从n边形一个顶点出发，能画（n－3）条对角线，共有条对角线，这些对角线将n边形分成（n－2）个三角形． 边数 3 4 5 6 7 … n 从一个顶点出发的 对角线的条数 0 1 2 3 4 … n－3 总的对角线条数 0 2 5 9 14 … 分成的三角形个数 1 2 3 4 5 … n－2 【提醒】从不同顶点作出的多边形的对角线是有重复的，所以多边形对角线的条数不是所有顶点上对角线条数的和． 【设计意图】通过类比，从多边形定义入手，逐步延伸到边、顶点等要素的概念及对角线规律，既关联旧知形成知识体系，又培养概括归纳与逻辑推理能力． 【问题2】观察下图的多边形，它们的边、角有什么特点？ 【师生活动】学生发现这些多边形的边都相等，角都相等．教师指出：像这样的多边形，我们把它们叫作正多边形．并引导学生举反例（如长方形角相等但边不等，同时也有四条边都相等但角不相等的平行四边形），明确“边、角同时相等”才能判定其为正多边形，加深对正多边形概念的理解． 【新知】像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形． 【问题3】类比四边形内角和公式的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ 【师生活动】有了前面的研究经验，学生很容易明确推导方法：通过连接对角线，把多边形分成若干个三角形，再结合三角形内角和定理进行推理．学生在学习任务单独立完成推导过程，师生共同总结n边形的对应规律，明确计算n边形的内角和公式． 【答案】从五边形的一个顶点出发，可以作 2 条对角线，它们将五边形分为 3 个三角形，五边形的内角和等于 3 ×180°． 从六边形的一个顶点出发，可以作 3 条对角线，它们将六边形分为 4 个三角形，六边形的内角和等于 4 ×180°． 从n边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线，它们将n边形分为 (n－2) 个三角形，n边形的内角和等于 180°×(n－2) ． 【新知】一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线，它们将n边形分为 (n－2) 个三角形，n边形的内角和等于 180°×(n－2) ． 这样就得出了多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°． 【注意】由于正多边形的每个内角都相等，所以正n边形的每个内角的度数都是． 【追问】把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ 【师生活动】教师提示学生“除了从一个顶点出发画对角线，还可以想一想其他方法，只要能把多边形分成若干个三角形即可”，引导学生尝试新的分割思路．学生分组讨论交流，学生代表分享做法，教师点评，共同发现其他转化方法，如在内部取点后进行连线，或在边上取点后进行连线，最终都能推导出内角和公式． 【答案】方法一：如图（1），在n边形内部任取一点O，连接点O与n边形的各个顶点，n边形被分为n个三角形．因为这n个三角形的内角和是n×180°，所以n边形的内角和是n×180°－360°，即(n－2)×180°． 方法二：如图（2），在n边形的边上任取一点P，连接点P与n边形的各个顶点，n边形被分为（n－1）个三角形．因为这（n－1）个三角形的内角和是（n－1）×180°，以点P为公共顶点的（n－1）个角的和是180°，所以n边形的内角和是（n－1）×180°－180°，即(n－2)×180°． （1） （2） 【问题4】与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和．多边形的外角和等于多少度？请你说明理由． 【师生活动】学生类比四边形外角和公式的推导过程，尝试在学习任务单上独立推导多边形的外角和，教师结合学生的推导过程适当加以引导和指正． 【新知】与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于n×180°－(n－2)×180°＝360°． 于是得到：多边形的外角和等于360°． 【提醒】多边形的外角和等于360°，与多边形的边数无关． 【注意】由于正多边形的每个外角都相等，所以正n边形的每个外角的度数都为． 【追问】为什么多边形的外角和与边数无关？ 【师生活动】教师结合图示，帮助学生直观理解． 【答案】如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°． 【设计意图】类比四边形内角和与外角和公式的推导过程，让学生自主推导多边形的内角和与外角和公式，体会数与形之间的联系，以及转化与化归的思想，提升逻辑推理能力． 例题精讲 【例】一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？ 【师生活动】教师引导学生利用多边形的内角和公式与外角和解决问题． 【答案】设这个多边形的边数为n．因为它的内角和等于（n－2）×180°，外角和等于360°，所以 （n－2）×180°＝2×360°． 解得 n＝6． 因此这个多边形是六边形． 【设计意图】综合多边形的内角和公式与外角和解决与边数相关的问题，强化方程思想在几何计算中的应用，提升知识综合运用能力． 课堂练习 1．过十二边形的一个顶点有____条对角线，这些对角线将十二边形分成____个三角形，这个十二边形共有____条对角线． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】9；10；54． 2．求出下列图形中x的值． （1） （2） （3） 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：（1）∵ 五边形的内角和等于（5－2）×180°＝540°， ∴ 150＋120＋90＋x＋2x＝540， ∴ x＝60； （2）∵ 六边形的内角和等于（6－2）×180°＝720°， ∴ x＋x＋x＋x＋90＋90＝720， ∴ x＝135； （3）∵ AB∥CD， ∴ ∠B＋∠C＝180°． ∵ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝（5－2）×180°＝540°， ∴ 135＋180＋150＋x＝540， ∴ x＝75． 3．（1）一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形是几边形？ （2）一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？ （3）一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？ 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：（1）设这个多边形的边数为n， 则（n－2）×180°＝1 080°． ∴ n＝8． ∴ 这个多边形是八边形. （2）由题意，得多边形的每一个外角都等于180°－120°＝60°． ∵ 多边形的外角和为360°， ∴ 360°÷60°＝6， ∴ 这个多边形是六边形． （3）∵ 多边形的外角和为360°， ∴ 360°÷72°=5， ∴ 这个多边形是五边形． 【设计意图】通过课堂练习，综合考查学生对内角和公式、外角和及平行线性质的应用，培养学生的问题解决能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1. 什么是多边形？多边形的组成要素有哪些？什么是正多边形？ 2. 多边形的内角和公式是怎样的？你是怎么推导出来的？多边形的外角和是多少度？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第52～53页习题21.1第2，3，4，6，7，9题． 学科网（北京）股份有限公司 $