21.1.2 多边形及其内角和 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 21.1 四边形及多边形 21.1.2 多边形及其内角和 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 多边形及其相关概念 7. 课堂小结 3. 新课导入 8. 当堂小练 CONTENTS 9. 对接中考 10. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 多边形的内角和 6. 知识点3 多边形的外角 1. 探索并掌握多边形内角和与外角和公式. 2. 能运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，提升推理能力. 学习目标 知识回顾 四边形的定义 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. 四边形的外角和 四边形的外角和等于360. 四边形的内角和 四边形的内角和等于360. 新课导入 在实际生活中，除了三角形、四边形，还有许多由线段围成的图形，观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？ 新课讲解 知识点1 多边形及其相关概念 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段 A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 边 顶点 对角线 内角 外角 n(n≥3)边形共有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角；从一个顶点处可以引(n-3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，n边形一共有条对角线. 说明 多边形的三个必要条件： 1. 线段在“同一平面内”； 2. 线段“不在同一直线上”且条数不少于3； 3. 首尾顺次相接. 新课讲解 多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似. 多边形有几条边就叫作几边形. 多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”. A E D C B F 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 说明 新课讲解 多边形的相关概念 概念 定义 图形 边 组成多边形的各条线段 顶点 每相邻两条线段的公共端点 内角 多边形相邻两边组成的角 外角 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 新课讲解 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.下图中是正多边形的一些例子. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 新课讲解 例 1. 下列说法中， 正确的有( ) ①三角形是边数最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形有n条边、n个顶点、n个内角和n个外角； ④六边形从一个顶点出发可以画3 条对角线， 所有的对角线共有9 条. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解：①三角形是边数最少的多边形，正确；②等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，错误；③n边形有n 条边、n个顶点、n个内角和2n个外角，错误；④根据对角线的定义画出六边形的对角线可知，从一个顶点出发可以画3 条对角线，所有的对角线共有9 条，正确. B 新课讲解 例 2. 下列图形中，一定是正多边形的是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.长方形 D.正方形 三条边不都相等，三个角不都相等. 三条边不一定都相等，三个角也不一定都相等. 四个角都相等，但四条边不一定都相等. 四条边都相等，四个角都相等. D 新课讲解 练一练 1. 下列说法错误的是(　　) A. 五边形有5 条边，5 个内角，5 个顶点 B. 四边形有2 条对角线 C. 正多边形的每个外角都相等 D. 六边形的六个角都相等 D 新课讲解 练一练 2. 从一个多边形的一个顶点可引2026 条对角线，则这个多边形的边数是(　　) A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 D 新课讲解 1. 三角形是最简单的多边形. 2. 多边形用表示它的各个顶点的字母表示时，字母必须按顺时针 或逆时针的方向排列. 3. 若一个多边形的各个角都相等或各条边都相等，则它不一定是 正多边形. 注意 新课讲解 知识点2 多边形的内角和 探究 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ (1) 从四边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，将四边形分成____个三角形，四边形的内角和等于____×180°； (2) 从五边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，将五边形分成____个三角形，五边形的内角和等于____×180°； (3) 从六边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，将六边形分成____个三角形，六边形内角和等于____×180°； (4) 从 n 边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，将n边形分成_____个三角形，n 边形内角和等于_____×180°. 2 2 1 3 3 2 4 4 3 (n-2) (n-3) (n-2) 新课讲解 证明方法 图形 证法2 在n边形内任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180° 证法3 在n边形的一边上任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 证法4 在n边形外任取一点O，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O的三角形有n个，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 新课讲解 边形的内角和等于. 多边形的内角和公式 1. 由n边形的内角和公式(n－2)×180可知n边形的内角和一定是180的整数倍. 2. 多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180. 3. 多边形内角和问题常通过添加辅助线将其转化为三角形的内角和问题. 注意 新课讲解 例 3. 如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与边DE平行，求∠BCA 的度数. 解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BCD＝∠D＝＝108. ∵AC∥DE， ∴∠ACD＋∠D＝180. ∴∠ACD＝180－108＝72°. ∴∠BCA＝ ∠BCD－ ∠ACD＝108－72＝36. 新课讲解 例 4. 根据下列条件求多边形的边数： (1)多边形的内角和是1 620； (2)正多边形的每个内角均为135. 解：设多边形的边数为n. (1)(n－2)×180＝1 620，解得n＝11. 因此多边形的边数为11. (2)(n－2)×180＝135·n，解得n＝8. 因此正多边形的边数为8. 新课讲解 练一练 1. 如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAE的度数是_______． 60 解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴每个内角为（6-2）×180°÷6=120°， △ABC和△AFE为等腰三角形， ∴∠BAC = ∠FAE==30°， ∴∠CAE = ∠BAF-∠BAC-∠FAE = 120°-30°-30°=60°. A D C E B F 新课讲解 练一练 2. 已知两个多边形的内角总和为1080°，且边数之比为2∶3，求这两个多边形的边数. 解：设这两个多边形的边数分别为2n，3n. 根据多边形内角和公式，得 (2n－2)×180＋(3n－2)×180＝1 080，解得n＝2. 所以2n＝4，3n＝6， 即这两个多边形的边数分别是4，6. 新课讲解 1. 正多边形的内角和可以用每个内角的度数乘正多边形内角的个数(或正多边形的边数)来表示. 2. 因为正多边形的每个内角相等，所以正n边形的每个内角的度数为. 归纳 新课讲解 知识点3 多边形的外角 探究 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角、它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？请你说明理由. 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此 n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于 n×180°-(n-2)×180°=360°. 新课讲解 边形的外角和等于360. 多边形的外角和公式 也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360：如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360° 1. 多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. 2. 多边形的外角和恒等于360，与边数无关. 说明 新课讲解 1. 正n边形的每一个外角都是； 2. 若正多边形的一个外角为α，则正多边形的边数为. 多边形的外角和在正多边形中的应用 新课讲解 例 5. 根据下列条件解决问题： (1) 一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72，求该多边形的边数； (2) 已知一个正多边形的每一个外角都等于30，求这个正多边形的边数. 解：(1)设该多边形的边数为n. 由题易知多边形的各外角都相等，根据多边形的外角和为360，得n×72°＝360，解得n＝5． 因此该多边形的边数为5. (2)多边形的外角和为360，则360÷30＝12. 因此这个正多边形的边数为12. 新课讲解 例 6. 一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2880，则原多边形的边数是多少？ 方法点拨： 解：设原多边形的边数为n，将一个多边形截去一个角后图形有以下三种情况： ①当边数增加1 时，则有(n＋1－2)×180°＝2 880°，解得n＝17； ②当边数不变时，则有(n－2)×180°＝2 880°，解得n＝18； ③当边数减小1 时，则有(n－1－2)×180°＝2 880°，解得n＝19. 综上可知，原多边形的边数是17 或18 或19. 新课讲解 练一练 1. 图 (1) 是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美. 图 (2) 是从图(1)冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的一个图形.已知∠3+∠4=180°，∠2=61°，∠5=52°，则∠1的度数为（ ） A.57 ° B.66° C.63° D.67° D 解：∵多边形的外角和等于360°， ∴∠1+2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴∠1=360°-∠2-∠3-∠4-∠5=67°. 新课讲解 练一练 2. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°，求这个多边形对角线的条数是多少？ 解：设这个多边形的边数为n，除去的那个内角的度数为x， 则有(n－2)×180 ＝1 510 ＋x，即(n－2)×180 ＝180× 8＋(70＋x). 因为等式的左边是180的整数倍， 所以等式的右边也是180的整数倍. 又因为0<x<180，所以x＝110. 所以n＝11. 故这个多边形对角线的条数是＝＝44. 课堂小结 多边形及其内角和 相关 概念 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 内角和 公式 n边形的内角和等于(n-2)×180° 外角和 公式 多边形的外角和等于360° 当堂小练 1. 求出下列图形中x的值： x° x° x° x° x° 2x° 150° 120° (1) (2) (3) 135° 150° x° AB//CD B A C D E 解：(1)由2x+x+150+120+90=(5-2)×180，得x=60. (2)由4x+90+90=(6-2)×180，得x=135. (3)∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°. 由x+150+180+135=(5-2)×180，得x=75. 当堂小练 2. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝( ) A. 140° B. 150° C. 160° D. 170° B 当堂小练 3. (1) 一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形是几边形？ (2)一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？ (3)一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？ 解：(1) 设这个多边形的边数为 n， 则 (n-2)×180= 1 080，解得n= 8， 所以这个多边形是八边形. (2) 方法一： ∵该多边形的每一个内角都等于 120， ∴该多边形的每一个外角都等于 60。 360÷ 60= 6，∴这个多边形是六边形. 方法二： 设这个多边形的边数为 n， 则 (n-2)×180 = 120×n，解得n= 6， 所以这个多边形是六边形. (3) ∵该多边形的每一个外角都等于 72， 360÷ 72 = 5， ∴这个多边形是五边形. 当堂小练 4. 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n. 因为它的内角和等于(n-2)×180，外角和等于360， 所以 (n-2)×180=2×360. 解n=6. 因此这个多边形是六边形. 当堂小练 5. 如图，从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么这个新多边形的边数为多少？请画图说明. 解：分三种情况：(1)如图①，新多边形为四边形； (2)如图②，新多边形为五边形； (3)如图③，新多边形为六边形. 综上所述，这个新多边形的边数为4 或5 或6. 当堂小练 6. 如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，求∠P的度数． 对接中考 1. 已知一个凸多边形的内角和是外角和的4 倍，则该多边形的边数为 ( ) A.10 B.11 C.12 D.13 A 解：设这个多边形的边数为n. 根据题意，得(n－2)×180°＝4×360°. 解方程，得n＝10. 因此该多边形的边数为10. 对接中考 2. 如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为 ( ) A. 216° B. 180° C. 144° D. 120° C 解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠A＝∠E＝＝108°. ∴∠AMN＋∠ENM＝360°－108°×2＝144°. ∵∠AMN＝∠1，∠ENM＝∠2， ∴∠1＋∠2＝144°. (1)如图①，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为________； (2)如图②，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数； (3)如图③，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数． 拓展与延伸 360° 解：(2) 如图，连接AF，易知∠G＋∠H＝∠GFA＋∠HAF， ∴ ∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H 的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴ ∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H ＝(6－2)×180＝720. (3) 如图，连接AE，易知∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G 的度数等于五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝(5－2)×180°＝540°. 解：∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， ∠A＋∠B＋∠E＝300°， ∴∠BCD＋∠CDE＝240°. ∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD， ∴∠PCD＋∠CDP＝(∠BCD＋∠EDC)＝120°， ∴∠P＝180°－(∠PCD＋∠CDP)＝180°－120°＝60°. $