21.1.2 多边形及其内角和（第2课时） 教学设计 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.1 四边形及多边形 21.1.2 多边形及其内角和 第2课时 一、教学目标 【知识与技能】 了解多边形的内角、外角等概念,能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算. 【过程与方法】21.1.2 多边形及其内角和（第2课时）教案 一、教学基本信息 学科：数学 学段：初中 年级：八年级 课时：1课时（45分钟） 授课类型：习题课/综合应用课 二、教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握多边形内角和定理，能灵活运用定理解决多边形内角和计算、未知角求解、角度比、正多边形内角计算等综合问题；探究多边形对角线的条数规律，能快速计算n边形的对角线总数；进一步区分凸、凹多边形，避免解题中因图形混淆导致的错误，提升几何综合运算和推理能力。 2. 3. 过程与方法：通过分析典型例题、拆解综合题型、梳理易错案例，体会转化、方程、分类讨论的数学思想；通过小组合作、错题辨析、规律探究，培养问题拆解能力、逻辑推理能力和归纳总结能力，学会规范书写几何计算和推理步骤。 4. 5. 情感态度与价值观：克服多边形综合解题的畏难情绪，感受数学知识的连贯性和实用性；培养严谨的解题习惯、合作交流意识和归纳探究能力，完善多边形知识体系，增强运用几何知识解决实际问题的自信心。 6. 三、教学重难点 · 重点：多边形内角和定理的综合运用（未知角求解、角度比、正多边形相关计算）；n边形对角线条数规律的探究与应用；规范书写解题步骤。 · · 难点：灵活运用方程思想、分类讨论思想解决多边形内角和相关综合题；理解n边形对角线条数规律的推导过程；区分凸、凹多边形在内角计算中的差异，避免易错点。 · 四、教学准备 多媒体课件（包含复习题、典型例题、综合练习题、易错案例、对角线规律探究素材）、硬纸板多边形（凸凹各若干）、三角板、草稿纸、练习本、错题整理本。 五、教学过程 （一）复习回顾，衔接新知（5分钟） 1. 回顾核心：指名回答多边形的定义、分类及内角和定理，梳理核心要点：① 定义：n（n≥3）条不在同一直线上的线段首尾顺次相接的封闭图形；② 分类：凸多边形（重点研究）、凹多边形（内角有大于180°的）；③ 内角和定理：n边形内角和=（n-2）×180°（n≥3，n为整数）；补充提问：四边形、五边形、六边形的内角和分别是多少？（360°、540°、720°）。 2. 3. 基础热身：课件展示2道基础题，快速巩固旧知：① 已知一个多边形的边数为7，求它的内角和；② 在一个凸五边形中，四个内角分别为110°、120°、90°、130°，求第五个内角的度数（学生口答+简要板书，教师纠错，强调内角和定理的基本应用和凸多边形内角的特点）。 4. 5. 导入新课：上一节课我们学习了多边形的定义、分类和内角和定理，掌握了基础的计算方法，今天我们将重点运用内角和定理解决综合问题，同时探究多边形对角线的条数规律，突破解题易错点，让大家能灵活运用知识解决各类相关问题，引出课题《21.1.2 多边形及其内角和（第2课时）》。 6. （二）探究拓展，突破难点（20分钟） 1. 多边形对角线条数规律探究 1. 回顾提问：上一节课我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么六边形有几条对角线？n边形呢？引导学生动手画图，计数四边形、五边形、六边形的对角线条数，记录数据。 2. 3. 小组探究：分组讨论，分析对角线条数与边数n的关系：① 一个n边形有n个顶点，每个顶点能连接多少条对角线？（提醒学生：不能连接自身和相邻顶点，因此每个顶点可连（n-3）条对角线）；② 每一条对角线被两个顶点重复计算，因此n边形对角线总条数需除以2；③ 推导规律：n边形对角线总条数= n(n-3)÷2（n≥3，n为整数）。 4. 5. 验证应用：引导学生用规律验证：四边形（n=4）：4×(4-3)÷2=2（条），正确；五边形（n=5）：5×(5-3)÷2=5（条），正确；六边形（n=6）：6×(6-3)÷2=9（条），画图验证，确认规律成立。 6. 7. 易错提醒：强调“n≥3”，三角形（n=3）没有对角线（3×(3-3)÷2=0），避免学生错误认为三角形有对角线；计算时注意先算括号内，再算乘法，最后算除法，避免计算失误。 8. 2. 典型例题，规范应用（内角和综合） 1. 例1（角度比问题）：一个凸六边形的六个内角的度数比为1:2:3:4:5:6，求这个六边形每个内角的度数。 示范解题步骤：设这个凸六边形的六个内角分别为x°、2x°、3x°、4x°、5x°、6x°；由多边形内角和定理得，六边形内角和=（6-2）×180°=720°；因此x+2x+3x+4x+5x+6x=720，合并同类项得21x=720，解得x=720/21=240/7≈34.29；进而求出每个内角的度数（保留分数或小数均可）；强调：凸六边形每个内角都小于180°，需检验结果，确保所有内角均小于180°，规范书写方程解题步骤。 2. 3. 例2（正多边形相关计算）：已知一个正n边形的每个内角都是144°，求这个正多边形的边数n及它的对角线总条数。 示范解题步骤：方法一（用内角和定理）：正n边形每个内角相等，因此内角和=144n；由多边形内角和定理得，144n=(n-2)×180，展开得144n=180n-360，移项合并得36n=360，解得n=10；方法二（用邻补角）：正n边形每个外角=180°-144°=36°，多边形外角和为360°，因此n=360÷36=10；对角线总条数=10×(10-3)÷2=35（条）；强调两种方法的灵活性，规范书写解题过程，衔接对角线规律的应用。 4. 5. 例3（分类讨论+综合推理）：一个多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数；若这个多边形是凸多边形，求它的一个内角的最大可能值（简要说明）。 示范解题步骤：设这个多边形的边数为n，由内角和定理得，(n-2)×180=1800，解得n=12，即这个多边形是十二边形；若为凸多边形，每个内角都小于180°，因此一个内角的最大可能值小于180°（结合凸多边形定义，强化分类意识）；补充：若为凹多边形，有一个内角大于180°，但初中阶段重点研究凸多边形，解题时需注意题目隐含条件。 6. 3. 易错辨析，强化理解 1. 集中展示常见易错案例，组织学生集体纠错：① 错误：已知多边形内角和为540°，求边数，解得n=3（错误原因：混淆内角和公式，计算时忽略“n-2”，正确n=5）；② 错误：计算八边形对角线条数，得8×(8-3)=40（条）（错误原因：未除以2，重复计算对角线，正确条数=20条）；③ 错误：认为正五边形每个内角为72°（错误原因：混淆内角和与每个内角，正确每个内角=540°÷5=108°）。 2. 3. 总结易错点：① 内角和公式记忆错误，遗漏“n-2”；② 对角线条数计算时，未除以2，重复计数；③ 混淆正多边形内角和与每个内角的关系；④ 忽略题目中“凸多边形”的隐含条件，未检验内角是否小于180°；⑤ 解方程时计算失误。 4. （三）巩固练习，深化应用（15分钟） 1. 基础题（全员必做）：课件展示8道基础题，涵盖内角和计算、已知内角和求边数、对角线条数计算、正多边形基础计算，学生独立完成，指名上台板书，教师巡视纠错，重点纠正“公式记忆错误”“计算失误”“对角线计数错误”的问题。 2. 3. 提高题（小组合作）：设计2-3道提升题，如① 一个凸八边形的内角和是多少度？若其中七个内角的和为1100°，求第八个内角的度数；② 已知一个正多边形的每个内角是每个外角的4倍，求这个正多边形的边数和对角线条数；③ 一个多边形的对角线总条数为35条，求这个多边形的内角和，小组内讨论解题思路，教师针对性引导，突破难点。 4. 5. 错题整理：让学生结合课堂上的易错案例和自己的错题，整理错题本，标注错误原因和正确解题过程，强化记忆，避免重复犯错；小组内互相检查错题整理情况，互相纠错、补充。 6. （四）课堂小结，梳理知识（5分钟） 1. 引导学生自主小结：本节课学习了哪些核心内容？多边形对角线的条数规律是什么？如何灵活运用内角和定理解决综合问题？有哪些常见易错点，如何避免？（指名回答，互相补充，完善知识点）。 2. 3. 教师总结：梳理本节课核心脉络——对角线规律（n边形对角线=n(n-3)÷2）→ 内角和综合应用（角度比、正多边形、分类讨论）→ 易错辨析（公式、计算、图形混淆），强调方程思想、转化思想的应用，回顾凸、凹多边形的区别，帮助学生构建完整的多边形知识体系，提升综合解题能力，为后续多边形相关拓展学习做好铺垫。 4. （五）布置作业，巩固提升（2分钟） 1. 基础作业：教材对应综合习题，完成内角和综合计算、对角线条数计算、正多边形基础题，确保熟练掌握核心知识点和规范书写解题步骤。 2. 3. 提升作业：补充3-4道多边形综合题（含角度比、分类讨论、对角线与内角和结合），完善错题本，标注易错点和解题技巧；尝试推导多边形外角和相关规律（预习铺垫）。 4. 5. 预习作业：预习多边形外角和定理，结合本节课内角和知识，猜想多边形外角和的特点，尝试计算正多边形的每个外角度数。 6. 六、板书设计 21.1.2 多边形及其内角和（第2课时） 一、核心规律 1. 内角和定理：n边形内角和=（n-2）×180°（n≥3） 2. 对角线规律：n边形对角线总条数= n(n-3)÷2（n≥3） 二、典型例题 例1：角度比→设未知数，结合内角和列方程求解 例2：正多边形→内角=144°→n=10，对角线=35条 例3：内角和1800°→n=12（凸多边形内角<180°） 三、核心方法 方程思想、分类讨论思想、转化思想 四、易错点 1. 内角和公式遗漏“n-2”；2. 对角线计算未除以2；3. 混淆内角和与每个内角；4. 忽略凸多边形条件 七、教学反思 1. 本节课重点是多边形内角和定理的综合运用和对角线规律探究，部分学生难以理解对角线条数规律的推导过程，需通过更多动手画图、计数，引导学生自主归纳，强化规律记忆；2. 内角和综合题中，方程思想的应用是重点，部分学生不会设未知数、列方程，需通过例题拆解，强化方程解题步骤；3. 易错点的辨析需进一步强化，部分学生仍会出现公式记忆错误、计算失误的问题，需通过错题整理、反复强调，帮助学生规避；4. 课堂练习的层次性可进一步优化，兼顾学困生和优等生需求，增加更多贴合生活的综合场景题，激发学生的解题兴趣；5. 可适当增加小组展示、互评环节，让学生分享解题思路和错题整理情况，互相学习、互相纠错，强化对知识的理解和运用，为后续多边形外角和学习做好铺垫。 经历合作、交流等过程,初步形成推理思维. 【情感、态度与价值观】 经历猜想、探索、归纳等过程,学会多角度、全方位研究问题的方法,体会转化、类比等数学思想. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时，共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 1.多边形的内角和公式. 2.多边形的外角和公式. 【教学难点】 如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和公式. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、多边形结构图等。 学生：三角尺、直尺、多边形纸片。 六、教学过程 （一）导入新课 如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是多少米?你能计算吗? （二）探索新知 1.探究多边形的内角和定理 教师问1：回顾一下求四边形的内角和的方法（4） 学生回答： 证明：如图，连接AC， 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形ABCD内角和为：180°×2=360°. 教师问2：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形的内角和吗? 学生回答：五边形的内角和为：内角和为180°×3 = 540°. 六边形的内角和等于720°.（180°×4 = 720°.）（11） 教师问3：填写下表：（6） 学生讨论回答，并给出不同答案. 教师问4：通过填表，你知道多边形的内角和公式是什么了吗？ 学生回答：多边形的内角和等于(n－2)×180 教师问5：还有其他的分割多边形为三角形的方法吗？ 学生讨论并回答，教师引导总结. 总结点拨：（7） 多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n–2)×180 °. 注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数. 例1：一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？（:8） 师生共同解答如下： 解：设这个多边形边数为n，则 （n–2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8–2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°． 例2：已知n边形的内角和θ=（n–2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；（9） （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．（10） 师生共同解答如下： （1）解：∵ 360°÷180°=2， 630°÷180°=3......90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数n是4； （2）解：依题意有 （n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2． 11-13，学生自主练习后口答，教师订正. 2. 合作探索多边形的外角和 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作五边形的外角和． 教师问6：看图想一想，五边形任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 学生回答：互补 教师问7：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ 学生回答：5×180°=900°（15） 教师问8：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？五边形的外角和是多少呢？（16） 学生回答：五边形的内角和+外角和=五个平角和 五边形外角和=5个平角–五边形内角和=5×180°–(5–2) × 180° =360 ° 结论：五边形的外角和等于360°. 教师问9：小组合作完成下表. 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 十边形 内角和 外角和 学生讨论给出答案. 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 十边形 内角和 180° 360° 540° 720° 1080° 1440° 外角和 360° 360° 360° 360° 360° 360° 教师问10：通过表格，你发现了什么规律？ 学生讨论回答：①多边形每增加一条边，内角和就增加180°；②多边形的外角和都是360°. 教师问11：试证明你的结论. 学生交流合作作出证明，教师查看给予引导. 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形的外角和又是多少呢？（出书课件18） 证明：n边形外角和=n个平角–n边形内角和= n×180 °–(n–2) × 180°=360 ° 所以n边形的外角和等于360°（注意与边数无关） 教师问12：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 学生讨论交流回答，并得出结论：正多边形的每个内角的度数是，每个外角的度数是. 例1：已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数. （20） 师生共同解答如下： 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n–2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n–2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6. 例2：已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.（21） 解法一：设这个多边形的内角为7x °，外角为2x°， 根据题意得7x+2x=180，解得x=20. 即每个内角是140 °，每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形. 教师问：还有其他解法吗？ 解法二：设这个多边形的边数为n ，根据题意得（22） 解得 n=9. 答：这个多边形是九边形. 23，学生自主练习后口答，教师订正. （三）课堂练习（31-35） 练习课件第24-30页题目，约用时20分钟 （四）课堂小结 今天我们学了哪些内容: 本节主要学习多边形的内角和与外角和公式. （五）课前预习 预习下节课（21.2.1）的相关内容。 1.知道平行四边形的概念 2.了解平行四边形的性质 七、课后作业 1、教材52页练习1,2； 2、培优精练21.1.2； 3、如图,小东在足球场的中间位置,从A点出发,每走6 m向左转60°,已知AB=BC=6 m. (1)小东是否能走回A点,若能回到A点,则需走多少米?走过的路径是一个什么图形?为什么?(路径A到B到C到…) (2)求出这个图形的内角和. 八、板书设计： 九、教学反思： 本节主要介绍多边形的内角和与外角和公式，是一节自主探究课，所以在教学过程中，教师可以放手让学生探索，利用多种方法进行研究.同时关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力. 在教学设计上，让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握将复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法，让学生在获得数学活动经验的同时，提高探究、发现和创新的能力. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $