2025年湖北十堰市第一中学学科特长生招生考试数学试题

十堰市第一中学2025年学科特长生自主招生考试试题 数 学 考试时间：120分钟 满分150分 衡热烈欢迎同学们报考一中！ 离请同学们沉着，冷静，细心，守纪：预祝同学们考试顺利！ 初中学校： 考号： 姓名： 一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1.如图，在R△ABC中，上ACB=90。,D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿 B一C一A运动，如图1所示，设Soa=y，点P运动的路程为x,若y与x之间的函数 图象如图2所示，则y的最大值为( A.2 B.2 5 C.3 D.4 图1 图2 2.下面的长方体是由A,B,C,D四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个 几何体都是由4个同样大小的正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体 应是() 第二部分 第一部分 第四部分 第三部分 D. 3.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为 b,若ab=15,大正方形的面积为94.则小正方形的边长为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 12 2 4关于x的方程r+=a+的两个解为=a5=。x+子=a+后的两个解为=a,6 +是0+2的两个解为=4子则关于的方程+=a品 a+1 的两个解为() d $$A . x _ { 1 } = a ， x _ { 2 } = \frac { 1 1 } { a }$$ $$B . x _ { 1 } = a ， x _ { 2 } = \frac { 1 0 } { a + 1 }$$ $$C . x _ { 1 } = a ， x _ { 2 } = \frac { 1 1 - a } { a + 1 }$$ $$D . x _ { 1 } = a ， x _ { 2 } = \frac { 1 0 - a } { a + 1 }$$ 5.若 $$i = \frac { 2 0 2 5 ^ { 1 1 1 } + 1 } { 2 0 2 5 ^ { 2 0 1 } + 1 } ， b = \frac { 2 0 2 5 ^ { 2 2 } + 1 } { 2 0 2 5 ^ { 3 3 } + 1 } ，$$ 则 a b 的大小关系为( A.a>b B.a≥b C.a<b D.a≤b 甲杯 6.如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯(小水杯)装满液 $$3 0 ^ { \circ }$$ 体，乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中 16cm P 乙杯 的液面与图中点 的距离是() A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm $$- 8 \sqrt { 3 c m }$$ 7.已知函数 $$y = \left\{ \begin{array}{l} x ^ { 2 } - x \left( x \ge 0 \right) \\ - 1 x ^ { 2 } - x \left( x < 0 \right) \end{array} \right. ， 若 a \left( a \le x \le b$$ 时， $$- \frac { 1 } { 4 } \le y \le 6$$ b-a 的最大值为() $$A . \frac { 5 } { 2 }$$ $$B . \frac { 7 } { 2 } + \frac { \sqrt 2 } { 2 }$$ $$C . \frac { 3 } { 2 }$$ $$D . \frac { 5 } { 2 } + \frac { \sqrt 2 } { 2 }$$ 8.已知 $$A B = 4 ， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，作射线BM，使得 $$\angle A B M = 4 5 ^ { \circ } ，$$ 作 CH⊥BM 于点 H， ，则BH长 的最大值是() $$A . \sqrt 2$$ $$B . 1 + \frac { \sqrt 2 } { 2 }$$ $$C . 2 \sqrt 2$$ $$D . 2 + \sqrt 2$$ 9.阅读材料：已知点 $$P \left( x _ { 0 } ， y _ { 0 } \right)$$ 和直线 y=kx+b， ，则点P到直线 y=kx+b 的距离d可用公 $$t d = \frac { | k _ { 1 } - y _ { 0 } + b | } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } }$$ 计算.例如：求点 P(-2，1) 到直线 y=x+1 的距离.其中 k=1，b=1， 所以点 P(-2，1) 到直线 y=x+1 的距离为 为 $$d = \frac { | k _ { 0 } - y _ { 0 } + b | } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } = \frac { | a \times \left( - 2 \right) - 1 + 1 } { \sqrt { 1 + l ^ { 2 } } } = \frac { 2 } { \sqrt 2 } = \sqrt 2$$ ，根据以上 材料，有下列结论： (1)点( (2，0) )到直线 y= - -2x 的距离是 (2)直线 y=-2x+1 1和直线 y=-2x+6 的距离是 $$\frac { 6 \sqrt 5 } { 5 } ；$$ (3)抛物线 $$y = x ^ { 2 } - 4 x + 3$$ 上存在两个点到直线 y=-2x 的距离是 $$\sqrt 5 ；$$ (4)若点P是抛物线 $$y = x ^ { 2 } - 4 x + 3$$ 上的点，则点P到直线 y=-2x 距离的最小值是 $$\frac { 2 \sqrt 5 } { 5 } .$$ 其中，正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 10.用红蓝两色给1×6的棋盘染色（可以只用一种颜色），要求任意的连续三个方格不 能全部染成红色，则符合要求的染色方法数为() A.42 B.44 C.46 D.48 456 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） B 11、如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点4，B,C均 在格点上，D是B与网格线的交点，则sm0C 2的值是 12.关于x的一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为 xx,且x=2,若a+b+c=0,则2= 13.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=8,对角线AC,BD 相交于点O,点M在线段AC上，且AM=3,点P为线段 BD上的一个动点，则MP+工PB的最小值是 2 14.五个互不相等的正偶数x,,,x,x的平均数和中位数都是A，且六个数 x,x2,x3,x4,x;,m的众数是6，平均数还是A,则这五个互不相等的正偶数 x,五，5，x4,x的方差为一 1 1 15、已知4=48×(-4+平-4+…+100-，则3A的整数部分B是 16。归纳猜想：对于任意一个非负整数N,都定义有N*且W+)N-少=N*+1, 2 若0*=0,10*=300，记P=200*,则 100 三、解答题（共6小题，共70分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形， 17.10分)某层大楼共有17层电梯，有16人在第一层上了电梯，他们分别要去第2 至第17层，而电梯只允许停在第2至17层中的一层，只可使1人满意，假定乘客每 向下走一层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，为使不满意度之和S最 小，电梯应当停在第几层？说明理由。 18.12分)2023年3月11日13时46分外国某地发生了9.0级大地震，随着就是海啸.山 坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶 部恰好接触到坡面（如图所示），已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为上 BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角上ADC=60°，AD=4m. (1)求∠DAC的度数： (2)求这棵大树折点C到坡面AE的距离？ 19.12分)若aB为锐角且a+B≠90时，现有公式：tan(a+月= tana+tan B 1-tana tan B' sin(180°-a)=sin a cos(180°-a=-cosa利用三个公式求解下列问题： (1)己知A+B=60°求√3tan小tanB+tanA+tanB的值： (2)求(1+tanl)(1+tan2°(1+tan3)…(1+tan43(1+tan449)的值. (3)证明：三角形ABC中tanA+tanB+tanC=tan小tan B-tan C 20.I2分)已知P(3,4),矩形OAPB的A,B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数 y=(x>0,k>0)与矩形的BP,AP分别交于D,C,△C0D的面积为45. (1)判断并证明直线CD与AB的关系. (2)求k的值 (3)若E,F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF 中点，求OM的最小值. 21.12分)如图，抛物线y=a2+bx+c交轴于点4(3,0)和B(-1,0),交y轴于点C(0,3) 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)M是直线AC上方抛物线上一动点，连接OM交AC于点N,当M的值最大时， ON 求点M的坐标： (3)点P是抛物线对称轴上的一点且位于x轴下方，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点， 当△POB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点Q的坐标. 22.2分)在△ABC中，AB=AC=5,sim∠ABC=亏，AD L BC于点DP是边4C上（与 点A,C不重合)的动点，连接PB咬AD于点M,过C,P,三点作圆O交AD的延长线 于点N,连接CN,PN. M D D N 图1 图2 (1)求证：CN=PW; (2)如图2，连接BW,若BW与⊙O相切，求此时⊙O的半径r: （3)在点P的运动过程中，设线段MN长为y,圆半径为r,求y关于r的函数解析式 及r的取值范围。 十堰市第一中学2025年学科特长生自主招生考试 数学参考答案 一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1、C2、A3、B4、D5、A6、C7、B8、D9、C10、B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 1、5 五-3减.55 14、815、7316、800 2 三、解答题（共6小题，共70分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。 17.(10分)某层大楼共有17层电梯，有16人在第一层上了电梯，他们分别要去第2 至第17层，而电梯只允许停在第2至17层中的一层，只可使1人满意，假定乘客每 向下走一层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，为使不满意度之和S最 小，电梯应当停在第几层？说明理由 解：电梯应当停在第12层：理由如下： 设电梯应该停在第n层(2≤n≤17)， 则$=[1+2++(m-2]+2[1+2+…1+(17-n]3m-73m+307 2 所以当n=12时，S取得最小值，故电梯应当停在第12层. 18.(12分)2023年3月11日13时46分外国某地发生了9.0级大地震，随着就是海啸.山 坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶 部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为 ∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m. 60%AD 第1页 (1)求∠DAC的度数： (2)求这棵大树折点C到坡面AE的距离？ 解：(1)延长BA交EF于点M,在Rt△AME中，∠E=23°，∴.∠MAE=67°， 又：∠BAC=38°，.∠DAC=75 (2)作AH⊥CD于H点，作CG⊥AE于G点 在△ADH中，∠ADC-60°，AD=4,cOS∠ADC=DH,.DH=2. AD sim∠ADC=4g,·AH=25 AD 在Rt△ACH中，∠C-45°，.CH=AH=2N5 .CD=DH+CH=2V3+2 在RtACDG中，∠CDG=60°，si血∠CDG=CC,CG=3+5 CD 答：折点C距离坡面3+V5米 19.(12分)若a,B为锐角且a+B≠90°时，现有公式：an(a+B)=tana+tanB 1-tan a.tan B sin(180°-a)=sina,cos(180°-a)=-cosa利用三个公式求解下列问题： (l)已知A+B=60°求V3 tan A.tan B+tanA+tanB的值： (2)求(1+tanl)1+tan2)1+tan3)-(1+tan43)1+tan44)的值. (3)证明：三角形ABC中tanA+tanB+tanC=tanA,tanB.tanC :(1)tana+tanB=tan(a+B)(1-tana.tan B)=3-tana tan B .原式=√ (2)(1+tanl)1+tan44o)=1+tanl°+tan44°+tan1°tan44o =tan(1°+44)(1-tan1°tan44)+1+tan1°tan44°=2 所以原式=22 (3)由己知tan(A+B)=-tanC =tan(4+B)(1-tan Atan B)+tan C=-tan C (1-tan Atan B )+tan C tan Atan Btan C 20.(12分)已知P(3,4),矩形OAPB的A,B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数 yx>Qk>0)与矩形的BP,4P分别交于DC,4CD的面积为45. (1)判断并证明直线CD与AB的关系. (2)求k的值. (3)若E,F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF 中点，求OM的最小值. 解(1)CD/AB,理由如下 c》o管∴BD=年4C-专Pm=PB-BD=3-冬2 44 PC-PA-AC=4-k=12-k 33 PD 3 PB 六PC4PA ∠P=∠P,:△PCD与△PAB相似 .∠PDC=∠PBA,∴.CD//AB (2)作DG⊥OA于G, Suoeoh .ScoD=Sg边形4OcD-Sa0c=(SAoG+S形4cG）-Sa0c=S形HCG :.(AC+DG)PD-45. 4+3-)9 k=6,k=6(舍去)k=6 (3) 第3页 取点A(-3,0),B(0,-4), 则直线AB与直线AB关于O对称， 连接EO,并延长交A'B于H,连接FH, 则OE=OH, AM是EF的中点， ∴OM=FH, 当FH最小时，OM最小， 作直线QHNAB,交y轴与Q,且使QR与双曲线 y-在第一象限的图象相切，切点为，作 BR⊥QR于R,作FT, 则FH的最小值是FT的长， 4 直线AB的解析式为：y=一3工+4， 4 :设直线QR的解析式为：y=-32+m, 由-子2+m=整理得，4-3m1+18=0, .△=(-3m)2-4×4×18=0, .m1=42,m2=-4V2(舍去)， 0Q=42. ∴.QB=42+4, :∠AOB=90°，OA=3,OB=4 .AB=5, ∴sin∠RQB'=sin∠ABO= OB 3 AB5 FH=B'R=BOsin /ROB'=1212+12 所以OMgh=)FH=6V2+6 2 5 21.(12分)如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(3,0)和B(-1,0),交y轴于点C(0,3). 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)M是直线AC上方抛物线上一动点，连接OM交AC于点N,当MN的值最大时， ON 求点M的坐标： (3)点P是抛物线对称轴上的一点且位于x轴下方，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点， 当△POB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点Q的坐标. 9a+3b+c=0 解(1)解：将A3,0)、B(-l,0)、C(0,3)代入y=ar2+br+c得： a-b+c=0, c=3 [a=-1 解得： b=2, c=3 ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3, (2)解：如图，过点M作MH∥y轴，交AC于点H, A 设直线AC的解析式为y=c+t, [3k+1=0 将A(3,0)、C(0,3)代入y=+1,得 t=3 k=-1 解得： t=3 ∴直线AC的解析式为y=-x+3, 设M(m,-m2+2m+3),则H(m,-m+3), ∴.MH=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m, MH∥y轴， ,·.aMHN∽OCN, 第5页 股”+是 ON OC 3 当m=时， 有最大值子 ON 时m2+2+3=- *2**3 41 点M的坐标为 ) (3)解：由题意得，抛物线对称轴为x=1+ =1, 2 设抛物线对称轴与x轴交于点E,则E(1,0), ,△PQB是以PB为腰的等腰直角三角形， ∴.∠PBQ=90°或∠BPQ=90°： ①当∠PBQ=90°，过点2作2F⊥x轴交x轴于点F,令对称轴交x轴于E,如图： QF⊥x轴， ∴∠QFB=90°， .∠QBF+∠BQF=90°， ∠QBF+∠PBE=90°， ∴∠QBF+∠BQF=∠QBF+∠PBE,即∠BOF=∠PBE, 又：BQ=BP,∠QFB=∠BEP=90°， ∴aBQF≌aPBE, ∴QF=BE=B0+OE=1-（-1)=2, 设2(n,-n2+2n+3)(n<1),则F(n,0), 若点2在x轴上方，则QF=-n2+2n+3=2, 解得：2=1-√2，m2=1+√2（舍去）， ∴01-2,2： 若点2在x轴下方， 则0F=-（-m2+2n+3)=2, 解得：m=1-V6,n,=1+6(舍去)， ∴g1-6-2: ②当∠BPQ=90°，此时点Q在x轴下方，过点Q作QG⊥PE交于点G,如图： QG⊥PE, ∠0GP=90, .∠PQG+∠GPQ=90°， ∠BP2=90°， .∠BPE+∠GP2=90°， ∴.∠PQG+∠GPQ=∠BPE+∠GPQ,即∠PQG=∠BPE, 又'BP=PQ,∠QGP=∠PEB=90°， :aPQG≌aBPE, ∴QG=PE,PG=BE=2, ￥G ..EG=PE+PG=0G+2, 设(n,-n2+2n+3)(n<-l),则G(1,-m2+2n+3), .-(-n2+2n+3)=1-n+2, 解得：n=-2,n2=3(舍去)， 此时-n2+2n+3=-(-2)}+2×(-2)+3=-5, ∴(-2，-5)： ∴综上所述，点Q的坐标为1-2,2或-6，-2)或(-2，-5) 第7页 22.(I2分)在△ABC中，AB=AC=5,sin∠ABC=,AD⊥BC于点A,P是边AC上( 点A,C不重合)的动点，连接PB交AD于点M,过C,P,M三点作⊙O交AD的延长线 于点N,连接CN,PN. B 图1 图2 (1)求证：CW=PW: (2)如图2，连接BNW,若BN与⊙O相切，求此时⊙O的半径”： (3)在点P的运动过程中，设线段MN长为y,圆半径为r,求y关于"的函数解析式 及r的取值范围， (1)证明：如图1，连接1心C, N 图1 .CN =CN, ∴∠CMN=∠CPN, ,四边形CPMN是圆内接四边形， ∴.∠PCN+∠PMN=180°， 又∠BMN+∠PMN=180°， ∴.∠BAMN=∠PCN, 又AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=CD, ∴BM=CM .∠BMN=∠CMN, .∠PCN=∠CPN, .CN=PN; (②)解：如图2，连接NO并延长交AC于点H,连接OC,OP. B D N 图2 ADLBC,AB=AC=5,sin/ABC=是， .∴AD=3,BD=CD=4,∠ADC=∠NDB=180°-∠ADB=90°， .OC=OP,CN=PN, ,∴.ON为C的垂直平分线，即NH⊥CP, 又BN与⊙O相切，即NH⊥BN, ..ACI BN, ∴.∠CAD=∠BND 在△ADC和△NDB冲， I∠CAD=∠BND ∠ADC=∠NDB ACD-BD ∴.△ADC型NDB(AAS, ..ND=AD=3, .ADLBC,AN=2AD=6,CD=4, SAACN=AN●CD=×6×4=12, 又，：S△ACN=是AC·NH=是×5×NH=12, ∴NH=装， 在CNH仲，CH=VCN2-N严=V5R-(0)2=多， 在Rt△COH中，CH+O=OC, 即：(g)2+(-)2=2, 解得r二装。 当BN与⊙0相切时，⊙0的半径为装； 第9页 (3)解：如图3，连接OM,ON,MC,作OQ⊥MN, M B D 0 N 图3 .PM PM, .∴∠PCM=∠PNM, '∠PCN=∠PCM+∠MCN,∠CPN=∠PNM+∠CAD,∠CPN=∠PCN, ∴.∠MCN=∠CAD, ,OQ⊥MN, .MQ=MN,LMOQ=∠MON, 又.∠MCN=∠MON, ∴.∠MOQ=∠MCN=∠CAD, 又，∠MQ0=∠ADC=90°， 器=sin/MOQ-=sin∠CAD=g0 =, :n=, 即y=r(0<r<6)