精品解析：2025年湖北省十堰市郧阳中学特长生数学考试

2025年郧阳中学学科特长生招生考试 数学试题 注意事项 1．本卷共有6页，24小题，满分150分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答，要求字体工整，笔迹清晰．请按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷、草稿纸上答题无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共计50分） 1. 计算一组数据，，8，，，的方差为，则数据7，8，4，6，5，6的方差为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析两组数据的数量关系：第二组数据的每个数都是第一组对应数据的；根据方差的性质，若一组数据中的每个数据都变为原来的倍，则方差变为原来的倍，这里，因此方差变为原来的，也可通过直接计算两组数据的方差验证结果． 【详解】解：方法一：∵第二组数据的每个数都是第一组对应数据的，根据方差性质：若一组数据中每个数据变为原来的倍，方差变为原来的倍，这里， ∴第二组数据的方差为． 方法二：∵， ， ， ， 而， ∴第二组数据的方差为． 2. 方程的整数解的组数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】首先将原方程变形为：（x+y）2+2y2=34，可得x+y必须是偶数，然后设x+y=2t，可得新方程2t2+y2=17，，求得此方程的整数解，即可求得答案． 【详解】把方程变形得：(x+y)2+2y2=34， ∵34与2y2是偶数， ∴x+y必须是偶数， 设x+y=2t，则原方程变为：(2t)2+2y2=34， ∴2t2+y2=17， 它的整数解为：， ∴当y=3，t=2时，x=1； 当y=3，t=−2时，x=−7； 当y=−3，t=2时，x=7； 当y=−3，t=−2时，x=−1． ∴原方程的整数解为：(1，3)，(−7，3)，(7，−3)，(−1，−3)，共4组． 故选B． 【点睛】本题主要考查二元二次方程的整数解，熟练掌握完全平方公式以及等式的基本性质，对原方程进行变形化简，是解题的关键． 3. 已知a，b，c，d均为正数，且a2＝2，b3＝3，c4＝4，d5＝5，那么a，b，c，d中最大的数是(　　)． A. a B. b C. c D. d 【答案】B 【解析】 【分析】比较a、b、c、d的大小关系，可以比较它们的相同的次幂，乘方的值大，则对应的数就大，据此即可作出判断． 【详解】解：∵a2=2，c4=4， ∴c2=2=a2，a=c， 又∵a6=（a2）3=8，b6=（b3）2=9， ∴b＞a=c，最后比较b与d的大小， ∵b15=（b3）5=243，d15=（d5）3=125， ∴b＞d， ∴a、b、c、d中b最大． 故选B． 【点睛】本题考查实数大小的比较，几个正数的相同次幂，幂的值越大则对应的数就越大． 4. 将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示200的有序数对是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】估算出前19排正整数的个数是190个，根据奇数排从左往右是从小到大排列，偶数排则是从右往左按从小到大排列的规律即可确定200的位置． 【详解】解：由正整数排列规律知，前19排正整数的个数是（个），且第十九排最后一个数是190， 由于奇数排从左往右是从小到大排列，偶数排则是从右往左按从小到大排列，则第20排从右往左数第十个数是200，从左往右数200是第11个数， 所以200位于第二十排，从左往右第11个数，即． 5. A、、、与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：A赛了4盘，赛了3盘，赛了2盘，赛了1盘．那么小强已经赛了（ ）盘 A. 2盘 B. 3盘 C. 4盘 D. 5盘 【答案】A 【解析】 【分析】画图辅助分析求解． 【详解】解：A赛了4盘，则与，，，小强各赛一盘； 赛了1盘，则不与A以外其它人比赛； 赛了3盘，则分别与，，小强各赛一盘； 赛了2盘，则与，各赛一盘； 所以，小强与，各赛一盘； 故选：A． 【点睛】本题考查组合问题，运用画图辅助分析是解题的关键． 6. 在中，，， ，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类讨论的思想，①当AC边为长边时，作交AC于点D，设BD=x，由题意可求出AD、DC长，再根据勾股定理可列出关于x的一元二次方程，解出x即可求出AB长；②当AB边为长边时，作交AB于点E，由题意可求出CE、AE长，再根据勾股定理可求出BE长，从而得到AB长． 【详解】分类讨论：①当AC边为长边时，作交AC于点D，设BD=x， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， 整理得：． 解得，． 当时，不合题意，所以此解舍去． ∴． ②当AB边为长边时，作交AB于点E， ∵， ∴，． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程．根据题意结合勾股定理得到边的关系是解答本题的关键． 7. 已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定AAS得出△ADF≌△ECF，进而得出FG是△DCP的中位线，得出再利用勾股定理得出BG的长即可． 【详解】解：过点C作CP∥BG，交DE于点P． ∵BC＝CE＝1， ∴CP是△BEG的中位线， ∴P为EG的中点． 又∵AD＝CE＝1，AD∥CE， 在△ADF和△ECF中， ∵， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴CF＝DF，又CP∥FG， ∴FG是△DCP的中位线， ∴G为DP的中点． ∵CD＝CE＝1， ∴DE＝， ∴DG＝GP＝PE＝DE＝． 连接BD，则∠BDC＝∠EDC＝45°， 所以∠BDE＝90°． 又∵BD＝， ∴BG＝＝＝． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理应用等知识，根据已知得出正确辅助线是解题关键． 8. 定义：若，则称与是关于数的“平衡数”. 比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”. 现有与（为常数）始终是关于数的“平衡数”，则 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用“平衡数”的定义可得a+b=n，代入计算即可． 【详解】解：∵与（k为常数）始终是关于数n的“平衡数”， ∴a+b===n， ∴5-10k=0， 解得：k=， ∴n=12-2×=11． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的加减的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键． 9. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口方向、对称轴，判断a、b的符号及数量关系，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据图象与轴交于和对称轴判断抛物线与x轴的另一个交点，则可判断x=2时y的正负，取x=1，x=-1时，函数的表达式，进行相关计算即可证明的正确性． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 当x=2时，位于x轴上方， ∴，故②正确； 若，当y=c时，x=-2或0， 根据二次函数对称性， 则或，故③正确； 当时，① ， 当时，② ， ①+②得：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上：②③正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根据开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标等判断所给式子的正确性，解题关键是熟悉函数图像与解析式的对应关系． 10. 如图，等边，在底边上取一点，在的延长线上取一点，使得，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由是等边三角形，则，，将绕点逆时针旋转，点与点是对应点，点与点是对应点，连接，， ，，，由旋转性质可知，从而证明，故有，取中点，连接，证明是等边三角形，所以，，再利用勾股定理求出，从而求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 如图，将绕点逆时针旋转，点与点是对应点，点与点是对应点，连接，， ∴， ∴，， ∴， 由旋转性质可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如上图，取中点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的外角性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共计25分） 11. 若与是同一个数的平方根，则为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平方根的有关定义，根据平方根的定义分两种情况讨论即可，解题的关键是正确理解平方根的定义． 【详解】解：∵与是同一个数的平方根， ∴时， 解得：， 时， 解得：， 综上可知，为或， 故答案为：． 12. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；若，则_________． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用．正确理解题意是解题的关键． 由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，当时，， 解得，或， ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； ∵时，， ∴符合要求； 当时，， 解得，或， ∵时，， ∴符合要求； ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； 综上所述， 或， 故答案为：或2． 13. 已知关于的不等式的解也满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解不等式组等知识点，根据不等式的性质结合题意得出不等式组是解题的关键． 根据不等式的性质结合题意可得，求解即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解也满足， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 的小数部分为的小数部分为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出、的取值范围，即可求出、的值，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， ， ， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， 故答案为：． 15. 如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m =_______． 【答案】2 【解析】 【详解】根据题意，得 C1：y=-x(x-3)（0≤x≤3）； C2：y=(x-3)(x-6)（3≤x≤6）； C3：y=-(x-6)(x-9)（6≤x≤9）； C4：y=(x-9)(x-12)（9≤x≤12）； …… C13：y=-(x-36)(x-39)（36≤x≤39）． 对于C13有：当x＝37时，y＝2，所以，m＝2， 故答案为2． 三、解答题（本题共9小题，共计75分） 16. 计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4tan60°． 【答案】10+3． 【解析】 【分析】首先计算负整指数幂和零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，然后计算加减法，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：﹣（π﹣）0+|﹣2|+4tan60° ＝9﹣1+2﹣+4 ＝10+3． 【点睛】本题考查了负整指数幂和零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键 17. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先求出红球的个数，再用画树状图法求概率即可． 【详解】解：设有红球个，由题意得：， 解得：， 经检验符合题意， 即红球1个； 画出树状图如下： 由图知，所有等可能结果有12种，两次摸到的球是白球的结果有2种， 则两次摸到的球都是白球的概率为． 答：两次摸到的球都是白球的概率为． 18. 如图，在钝角中，（，且），于点是的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】延长到点F，使得，连接，根据等边对等角和三角形外角的性质可推出，则可证明，得到，由三线合一定理得到，则可证明；由线段中点的定义可得，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：如图所示，延长到点F，使得，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 19. 已知直线．点为直线上一点，其横坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点．若的面积大于3，求出点的横坐标的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】由A在直线上且横坐标为m，可求点A的纵坐标为，由轴，可得点Q的纵坐标为．由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标为，从而可求利用三角形面积公式得到，由的面积大于3，列不等式，求出或（舍去）即可． 【详解】解：∵A在直线上且横坐标为m， ∴点A的纵坐标为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为． ∵点Q在函数的图象上， ∴点Q的横坐标为， ∴， ， ∵的面积大于3， ∴，即， ∴或 解得：或（舍去）， ∴． 20. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，求⊙O的半径． 【答案】⊙O的半径为6.25． 【解析】 【分析】首先连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，由在矩形ABCD中，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，易得四边形CDFE是矩形，由垂径定理可求得AF的长，然后设⊙O的半径为x，则OE=EF-OE=8-x，利用勾股定理即可得：（8-x）2+36=x2，继而求得答案． 【详解】连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA， ∵BC是切线，∴OE⊥BC，∴∠OEC=90°， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDFE是矩形， ∴EF=CD=AB=8，OF⊥AD，∴AF=AD=×12=6， 设⊙O的半径为x，则OE=EF﹣OE=8﹣x， 在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2，则（8﹣x）2+36=x2， 解得：x=6.25，∴⊙O的半径为：6.25． 【点睛】本题考查了切线的性质与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握切线的性质与垂径定理. 21. 如图，四边形是正方形，点，分别在，上，点在的延长线上，且． （1）以线段为边作出正方形，连接，猜想并写出四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； （2）当时，请写出的值，并说明理由． 【答案】（1）猜想四边形是平行四边形，证明见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）设交于点O，证明△，推出，得到，利用四边形是正方形，推出，即可证得四边形是平行四边形． （2）设，利用正方形的性质和勾股定理可得，再根据可得答案． 【小问1详解】 解：猜想四边形是平行四边形，证明如下： 如图所示，设交于点O， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴可设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 22. 如图1，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点． （1）如图2，连接，为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； （2）如图3，连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出其中一个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）最大值为， （2）存在；点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出的解析式，设，，表示出的长度，从而表示，然后根据二次函数的性质求出二次函数的最大值即可； （2）分两种情况①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点M；②当M点位于下方时，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，利用全等三角形的判定与性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得到， ， 将代入得， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， ， ，， 为直线下方， ， ， ， 当时，的值最大，最大为， 则； 【小问2详解】 解：存在； ①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于与点M， ， ， ， ， ， 此时使得， ， ， ， 设直线得解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当M点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 则E即为M点， ； 综上所述，使得，M点的坐标为或． 23. 在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线相交于A、B两点（点B在第一象限），点D在的延长线上． （1）已知，点B的纵坐标为2． ①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与的延长线交于点C，求的长． ②如图2，若，过点B、D的抛物线，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）如图3，若，过O、B、D三点的抛物线，顶点为P，对应函数的二次项系数为，过点P作轴，交抛物线L于E、F两点， 求的值，并直接写出的值． 【答案】（1）①；②； （2）； 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得，，求得A、B坐标，进而得出长，再由平移的性质可知，，即可求出的长； ②作抛物线的对称轴与相交于点N，根据抛物线对称性可求得点M坐标，根据顶点式设的解析式，再把B点坐标代入，求出的值，即可得到解析式； （2）抛物线与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点B作轴于点K，设，表示出G点坐标，进而利用交点式设抛物线的解析式，将代入解析式，化简求得的值，再利用解析式表示出顶点P的坐标，进而求得E、F两点的横坐标，从而得到的长，即可得出的比值． 【小问1详解】 解：①已知，则抛物线， 平行于x轴的直线与抛物线相交于A、B两点，点B的纵坐标为2， ，解得：， 点B在第一象限， 点的横坐标为，点横坐标为， ， 抛物线L向右平移得到抛物线，且抛物线过点B， ， ； ②如图，作抛物线的对称轴与相交于点N， 由①可知，，，则， 由抛物线的轴对称性可知，， ， 顶点M在x轴上， ， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 解：如图，抛物线与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点B作轴于点K， 设，则，点B的坐标为， 由抛物线的轴对称性可知，，， 抛物线过点和点， 设抛物线的函数表达式为， 抛物线过点， ， ， 点在第一象限， ， ， 抛物线的顶点为P， ， 轴， E、F两点的纵坐标为， E、F两点在抛物线L上， ， 解得：， 点的横坐标为，点横坐标为， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，掌握抛物线的对称性，正确理解抛物线上点的坐标特征是解题关键． 24. 如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角． （1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角． （2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积． （3）如图3，C是函数（）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标． 【答案】（1）证明见试题解析； （2）∠APB=180°﹣α，S△AOB=2sinα； （3）P（，）或（，）． 【解析】 【分析】（1）由角平分线得到∠AOP=∠BOP=∠MON=45°，得出∠OAP=∠OPB，即可证明△AOP∽△POB，得到，即OP2=OA•OB，从而得出结论； （2）由∠APB是∠MON的智慧角，得到，证出△AOP∽△POB，得到∠OAP=∠OPB，可得出∠APB=180°﹣α，过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△AOB=OB•AH，即可得出S△AOB=2sinα； （3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分三种情况：①当点B在y轴正半轴上时；②当点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时，得到，得到△ACH∽△ABO，从而有，得出OB=3b，OA=，求得OA•OB=，由∠APB是∠AOB的智慧角，得到OP，即可得到点P的坐标；③当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB=CA，由△ACH≌△ABO，得到OB=CH=b，OA=AH=a，得到OA•OB=，求出OP，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点， ∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°， ∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°， ∴∠OAP+∠APO=135°， ∵∠APB=135°， ∴∠APO+∠OPB=135°， ∴∠OAP=∠OPB， ∴△AOP∽△POB， ∴， ∴， ∴∠APB是∠MON的智慧角； （2）解∵∠APB是∠MON的智慧角， ∴， ∴， ∵P为∠MON的平分线上一点， ∴∠AOP=∠BOP=α， ∴△AOP∽△POB， ∴∠OAP=∠OPB， ∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣α，即∠APB=180°﹣α， 过点A作AH⊥OB于H，连接AB，如图1所示： 则S△AOB=OB•AH=OB•OAsinα=OP2sinα， ∵OP=2， ∴S△AOB=2sinα； （3）解：设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H； 分三种情况：①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示：BC=2CA不可能， ②当得A在x轴的正半轴上时，如图3所示： ∵BC=2CA， ∴， ∵CHOB， ∴△ACH∽△ABO， ∴， ∴OB=3b，OA=， ∴OA•OB=•3b==， ∵∠APB是∠AOB的智慧角， ∴OP===， ∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB， ∴点P的坐标为：（，）； ③当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示： ∵BC=2CA， ∴AB=CA， 在△ACH和△ABO中， ∵∠AHC=∠AOB，∠BAO=∠CAH，CA=AB， ∴△ACH≌△ABO（AAS）， ∴OB=CH=b，OA=AH=a， ∴OA•OB=a•b=， ∵∠APB是∠AOB的智慧角， ∴OP===， ∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB， ∴点P的坐标为：（，）； 综上所述：点P的坐标为：（，）或（，）． 【点睛】本题考查反比例函数图形与性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，能够熟练运用数形结合思想和分类讨论思想是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年郧阳中学学科特长生招生考试 数学试题 注意事项 1．本卷共有6页，24小题，满分150分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答，要求字体工整，笔迹清晰．请按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷、草稿纸上答题无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共计50分） 1. 计算一组数据，，8，，，的方差为，则数据7，8，4，6，5，6的方差为 A. B. C. D. 2. 方程的整数解的组数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知a，b，c，d均为正数，且a2＝2，b3＝3，c4＝4，d5＝5，那么a，b，c，d中最大的数是(　　)． A. a B. b C. c D. d 4. 将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示200的有序数对是（ ） A. B. C. D. 5. A、、、与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：A赛了4盘，赛了3盘，赛了2盘，赛了1盘．那么小强已经赛了（ ）盘 A. 2盘 B. 3盘 C. 4盘 D. 5盘 6. 在中，，， ，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（　　） A. B. C. D. 8. 定义：若，则称与是关于数的“平衡数”. 比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”. 现有与（为常数）始终是关于数的“平衡数”，则 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 9. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，等边，在底边上取一点，在的延长线上取一点，使得，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共计25分） 11. 若与是同一个数的平方根，则为_____． 12. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；若，则_________． 13. 已知关于的不等式的解也满足，则的取值范围是________． 14. 的小数部分为的小数部分为，则______． 15. 如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m =_______． 三、解答题（本题共9小题，共计75分） 16. 计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4tan60°． 17. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率． 18. 如图，在钝角中，（，且），于点是的中点．求证：． 19. 已知直线．点为直线上一点，其横坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点．若的面积大于3，求出点的横坐标的取值范围． 20. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，求⊙O的半径． 21. 如图，四边形是正方形，点，分别在，上，点在的延长线上，且． （1）以线段为边作出正方形，连接，猜想并写出四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想； （2）当时，请写出的值，并说明理由． 22. 如图1，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点． （1）如图2，连接，为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； （2）如图3，连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出其中一个点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线相交于A、B两点（点B在第一象限），点D在的延长线上． （1）已知，点B的纵坐标为2． ①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与的延长线交于点C，求的长． ②如图2，若，过点B、D的抛物线，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）如图3，若，过O、B、D三点的抛物线，顶点为P，对应函数的二次项系数为，过点P作轴，交抛物线L于E、F两点， 求的值，并直接写出的值． 24. 如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角． （1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角． （2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积． （3）如图3，C是函数（）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $