9.1.1 正弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第九章 解三角形 9.1.1 正弦定理 《人教B版2019高中数学必修第四册》 为了方便起见，本书中，将ΔABC3个内角A,B,C所对的边分别记为a,b,c.在这样的约定下，情境中的问题可以转化为：已知a,B，C，如何求c？类似的问题可以通过构造直角三角形来解决，更一般地，可利用本小节我们要介绍的正弦定理来求解. 如图9-1-2所示，在ΔABC中，过点A作BC边上的高AD，在RtΔADC中，由正弦的定义可知 AD=bsinC, 因此所求三角形的面积为 S=absinC=×5×3×sin= 探究新知 可以看出，上述求三角形面积的方法在C为锐角时都成立；而当C为钝角时，如图9-1-3所示，仍设ΔABC的BC边上的高为AD，则可知 AD=bsin∠ACD=bsin(π-C)=bsinC 因此仍有S=absinC；当C为直角时，sin90∘=1可知上述面积公式仍成立. 一般地，若记ΔABC的面积为S，则 探究新知 由此可知===，又因为sinA>0,sinB>0sinC>0（分母不为0），因此可得 这就是正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等. 探究新知 例1 已知ΔABC中，B=75∘,C=60∘,a=10，求c. 解 由已知可得 A=180∘−B−C=180∘−75∘−60∘=45∘ 由正弦定理可知=，所以 c===5 利用例1的解法即可求解出前述情境中的问题．而且，例1也可通过构造直角三角形求解，请读者自行尝试，并总结两种解法各自的优缺点. 构造直角三角形法把原理吃透，搞清楚正弦定理是怎么来的；熟练之后，考试和做题就直接用正弦定理法，效率高还不容易错。 探究新知 另外，由例1可知，在一个三角形中，如果已知两个角与一条边，就可以求出这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边.因此，确定了一个三角形的两个角与一条边之后，这个三角形就唯一确定了.事实上，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致. 习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 探究新知 例2  已知ΔABC中，a=2,b=2，A=30∘,求解这个三角形.① 解  因为,所以 sinB=== 由于0∘<B<180∘,所以B=60∘或B=120∘ 当B=60∘时，有C=180∘−A−B=180∘−30∘−60∘=90∘ 此时ΔABC是直角三角形，且c为斜边，从而有c== 当B=120∘时，有C=180∘−A−B=180∘−30∘−120∘=30∘ 此时ΔABC是等腰三角形，从而由等角对等边可知c=a=2. 探究新知 根据例2的解答可知，图9-1-4中的（1)(2）都满足例2的条件．事实上，这与我们初中所学的SSA不能作为三角形全等的判定定理一致. 探究新知 例3  已知ΔABC中，b=3 解  由=得 sinC===. 由于0<C<180，所以C=45或C=135 当C=45∘时，A=180∘−B−C=180∘−120∘−45∘=15∘,而 sin15∘=sin(60∘−45∘)=×−×=，所以三角形的面积为S=bcsinA=. 当C=145∘时，A=180∘−B−C=180∘−120∘−135∘=-75∘，不合题意，应舍去. 例3中的C=135 探究新知 例4  判断满足条件A=30∘,a=1,c=4的ΔABC是否存在，并说明理由 解 假设满足条件的三角形存在，则由=可知 ===2 又因为sinC≤1，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形. 探究新知 例5  在ΔABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C，求证： ΔABC是直角三角形. 证明 设=k，则k≠0，且 sinA= ,sinB= ,sinC=. 又因为sin2A+sin2B=sin2C,所以 +=， 即a2+b2=c2，因此由勾股定理的逆定理可知ΔABC是直角三角形. 探究新知 例6 如图9-1-5所示，在ABC中，已知＜BAC的角平分线 AD与边BC相交于点D，求证：  证明  如图，设∠ADB=α,∠BAD=β，则由题意可知∠ADC=π-α,∠CAD=β. 在ΔABD和ΔADC中，分别应用正弦定理，可得 =, =, 两式相除即可得 1. 先考虑直角三角形 设△ ABC是直角三角形，∠C = 90∘，根据直角三角形的性质，它的外接圆直径就是斜边c，所以外接圆半径R =，即c = 2R。 由正弦的定义：==2R，所以此时k=2R 对于任意△ ABC，作它的外接圆，圆心为O，半径为R. 连接BO并延长交外接圆于点D，连接AD，则∠BAD = 90∘（直径所对的圆周角是直角），且∠D =∠C（同弧所对的圆周角相等）.同样得：===2R,即k=2R 练习A ①在ΔABC中，已知c=10,C=45∘,B=60∘，通过构造直角三角形求出b的值. 解 在ΔABC中，A = 180∘- B-C =180∘-60∘-45∘=75∘. 过A作AH⊥BC于H，设AH = h 在RtΔAHC中,C=45∘，AC = b，则h = bsin45∘=b. 在RtΔAHB中,B=60∘，AB = c=10，则h = csin60∘=5 所以，b=5，解的b=5 A C B a b c H 练习A ②已知ΔABC中，A=60∘,B=30∘,a=3，求b. 解 由正弦定理=，代入A=60∘,B=30∘,a=3 解得 b= ③求证：在ΔABC中,=. 证明 由==2R（R为ΔABC外接圆半径） 得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. 所以右边==左边，故等式成立 练习A ④为了方便起见，有时可对三角形的边和角作一些标记，以表示其中的相等关系．如图（1）中，AB与AC上的标记相同，这表示AB=AC.类似地，有BC=CD,∠ABC=∠ACB,∠CBD=∠CDB,而且A=70∘,BD=10. 图（2)(3)(4）中使用了类似的标记，判断这些图中是否存在矛盾.如果有，请指出矛盾所在. 解析 图(2)：AB=AC则应该∠B =∠ C，但图中∠ B=70∘，∠C=71∘，矛盾。 图(3)：∠AOB =∠EOF则应该AB=EF,但图中AB=6.3，EF=6.5，矛盾。 图(4)：∠C=180∘-∠A-∠B=91∘,根据大角对大边，则应该AB>AC,矛盾。 练习A ⑤已知ΔABC中，A=45∘，B=75∘,b=8，求a. 解 由正弦定理=，代入A=45∘，B=75∘,b=8 且sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘= 解得a=8（ 练习B ①在ΔABC中,已知a=3,b=4,A=30∘,求sinC. 解 由正弦定理=，代入已知可求得sinB= 因为a<b,所以，B可以是锐角或者钝角 当B为锐角时，cos B == sinC=sin(A+B)= 当B为钝角时，cos B ==- sinC=sin(A+B)= 练习B ②在ΔABC中,已知b=2a, B=A+60∘,求A. 解 由正弦定理=，代入b=2a, B=A+60∘ 得=，消元展开得 sinAcos60∘+cosAsin60∘=2sinA整理可求 tanA= ∵A是三角形内角，∴ A=30∘ 练习B ③在ΔABC中,已知a=1,b= 解 ∵A+B+C=180∘, ∴3B=180∘即B=60∘ =可求得sinA= ∵a<b ∴A=30∘ 则C=180∘-30∘-60∘=90∘ ∴=1 练习B ④如果在ΔABC中,角A的外角平分线AD与BC的延长线相交于点D，求证：  A B C D 1 3 证明：在ΔABD中 即 在ΔACD中 即,又因为sin()=sin,sin=sin 所以=，即 2 练习B ⑤已知ΔABC中,a=3,b=2,B=2A,求sin B及c的大小. 解 由正弦定理=，B=2A,sinB=2sinAcosA，已知a=3,b=2可求 cosA=，因为A<B，所以sinA== 由=，可求得sinB= 由sinC=sin(A+B),cosB=2cos2A-1=,=，可求得 c=5 总结 1.三角形的面积为：S=absinC 2.正弦定理内容：==2R（R为三角形ABC外接圆的半径） 3.变形: （1）a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC; （2）sinA=;sinB=;sinC=; （3）a:b:c=sinA:sinB:sinC; （4）==2R 4.在ΔABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB;sinA=sinB⇔A=B.若sin2A=sin2B，则A=B或者2A=若cosA=cosB，则A=B；若cos2A=cos2B,则A=B 巩固提升 1.在ΔABC中,已知B=45∘，b=2，c= 解 有正弦定理得sinC=== 因为b>c,B=45∘ 所以C=30∘ 巩固提升 2.在ΔABC中,若a=3，SΔABC=4则b= . 解 ∵,∴C∈(0∘,90∘),∴sinC=, 又SΔABC=absinC=×3×b×=4 ∴2 2 $