9.1.2余弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

《余弦定理》 人教版普通高中数学B版必修第四册 第九章 正弦定理： （R为△ABC外接圆半径） 如何证明正弦定理？ 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，等于外接 圆的直径。 回顾旧知 利用任意三角形的面积 正弦定理可以解决三角形中的哪两类问题： (1)已知两角和任意一边，求其它的边角 (2)已知两边和其中一边的对角，求其它边角 回顾旧知 已知三角形中的哪些元素可以利用正弦定理解三角形？ ①AAS ②ASA ③SSA ④SAS 发现问题，提出问题 解三角形：已知两边及其夹角（SAS）. 正弦定理 这类解三角形问题能否运用正弦定理 求解？ 不能.因为无论运用哪一个等式，方程 都至少有两个未知数. 发现问题，提出问题 如图所示，设无法到达的两个 山峰的顶点分别为A，B.其中利 用现代化的测量工具可以测得 地面上可到达的一点和其它任 意一点的距离，也可以测得地 面上可到达的一点和其它任意 两点连线的夹角.那么我们如何 获得A，B两点间的距离呢？ 数学抽象：在△ABC中，已知a ,b 和C，求 c . 探究：如右图，在△ABC中，C=30°，b=2,a=+，求c. 2 c 发现问题，提出问题 过点A作AD垂直于BC， D , 在△ABD中, AB 探究：如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 发现问题，提出问题 过点A作AD垂直于BC， D ， 在△ABD中, b c a 余弦定理 探究：如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ b c a 发现问题，提出问题 D 过点A作AD垂直于BC， ， 在△ABD中, 探究：如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ b c a 发现问题，提出问题 思考?：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。你能说说这两个定理之间的关系吗？ 勾股定理 令C＝900 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广， 而勾股定理是余弦定理的特例。 探索新知 向量法 图9.1.2-1 证明：如图9.1.2-1所示，注意到,,, , 所以, ,而且 类似地，可得, . ，因此,又 ,因此 . 探索新知 11 . . . A B C a b c 结构特征： （1）每一个等式都有四个量： 三条边和一个角； （2）等式左侧：其中一边的平方； 等式右侧：另外两边的平方 和减去这两边与它们夹角余 弦的积的2倍. 探索新知 12 . . . A B C a b c 文字语言： 三角形任何一边的平方，等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍. 探索新知 13 余弦定理的公式变形 a2=b2+c2－2bccosA b2= a2+c2－2accosB c2 =a2+ b2－2abcosC （1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角(SAS)； （2）已知三边，求三个角(SSS)。 探索新知 解：由余弦定理可知 2 = 2 + 2 – 2cos C = 32 + 62 – 2×3×6×cos 60° = 27， 因此 c = = 3. 例1：已知 △ABC 中，a = 3，b = 6，C = 60°，求 c. B A C 探索新知 解：由 2 = 2 + 2 – 2cos C ()2 = 62 + 42 – 2×6×4×cosC 可解得cosC=， 例2：已知 △ABC 中，a = 6，b =4，c =2，求 C. 又因为0°＜C＜180°，所以C=120°. 探索新知 例3.已知 △ABC 中，已知 cos A = cos B，试判断这个三角形的形状. 解：利用余弦定理可知 × = × 因此 2(b2 + c2 – 2) = b2(2 + c2 – b2)，即 2c2 – b2c2 – 4 + b4 = 0， 从而 (2 – b2)c2 – (2 – b2)(2 + b2) = 0， 所以 (2 – b2)(c2 – 2 – b2) = 0， 因此 2 – b2 = 0 或 c2 – 2 – b2 = 0. 当 2 – b2 = 0 时， = b，此时 ABC 是等腰三角形； 当 c2 – 2 – b2 = 0 时，2 + b2 = c2，此时 ABC 是直角三角形； 故 ABC 是等腰三角形或直角三角形. 探索新知 例3.已知 △ABC 中，已知 cos A = cos B，试判断这个三角形的形状. 解：利用正弦定理可知 sinAcos A = sinBcos B 所以 sin2A= sin2B， 因此 2A=2B+2k或2A+2B=+2k，其中k 又因为,所以A=B或A+B=， 故 ABC 是等腰三角形或直角三角形. 探索新知 例3变式.在△ABC中，若a2>b2+c2,试判断△ABC的形状. 解： <0，A是钝角 所以,△ABC是钝角三角形 探索新知 探索新知 如何判断三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？ (1)锐角三角形 探索新知 如何判断三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？ (1)锐角三角形 (2)直角三角形 (3)钝角三角形 B D A C 例4.如图，平面四边形ABCD中，已知 B + D = 180°，AB = 2，BC = 4，CD = 4，AD = 2，求四边形 ABCD 的面积. 探索新知 探索新知 例5.已知 △ABC 中，求证 cos C + cos B. 如图所示， 因此 又由图可知， 所以， 即 cos C + cosB 。 23 探索新知 例5.已知 △ABC 中，求证 cos C + cos B. 要证 cos C + cosB 。由正弦定理。 A B C a b c 只需证 cos C +cosB 。 只需证cos C +cosB 。 证毕 24 探索新知 例5.已知 △ABC 中，求证 cos C + cos B. 要证 cos C + cosB 。 A B C a b c 只需证 + cos 。 只需证 + 。 只需证 + 证毕 25 数学文化 “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的(如图所示),其实质是根据三角形的三边长a,b,c求三角形面积S,即 26 数学文化 “海伦公式”是古希腊数学家阿基米德得出的,根据三角形的三边长a,b,c求三角形面积S的公式，表达式为 27 解:连接A,C，如图所示， 在 因为B+D=180°，所以cosB=-cosD 因此， 解得：cosB=0，因此cosD=0，则B=D=90° 从而四边形ABCD面积为=4（） $