9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦正弦定理与余弦定理的应用，以故宫角楼高度测量情境导入，通过术语表格、自我诊断题落实基础，构建从实际问题到数学原理的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是分测量距离、高度等题型，结合河宽测量、塔高计算等实例，培养数学建模与运算能力，通性通法表格梳理方法助结构化思维，课时作业分层设计，学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 1 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度的测量问题（直观想象）. 2.能够运用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题（数学建模、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量. 　 　　　　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　 【问题】　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由. 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点　实际应用问题中的有关名词、术语 名 称 定义 图示 仰 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线 ⁠方时与水 平线的夹角 俯 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线 ⁠方时与水 平线的夹角 上　 下　 数学·必修第四册（B版） 目 录 名称 定义 图示 方 向 角 从指定方向线到 的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 方 位 角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 目标方向线　 数学·必修第四册（B版） 目 录 【想一想】 李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李 尧的家在学校的哪个方向？ 提示：东南方向. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）方位角是从正北方向逆时针旋转到目标方向线的水平角. （　×　） （2）东偏北45°的方向就是东北方向. （　√　） （3）俯角和仰角都是对于水平线而言的. （　√　） （4）仰角与俯角所在的平面是铅垂面. （　√　） （5）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为 α＋β＝180°. （　×　） × √ √ √ × 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　） A. 东偏北45°10'方向上 B. 东偏北44°50'方向上 C. 南偏西44°50'方向上 D. 西偏南44°50'方向上 解析：如图所示. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏 东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　　） A. a km B. a km C. a km D. 2a km √ 解析：　如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝ a. 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 如图，为测量塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得 ∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20 m到达D点，测得∠ADB＝ 30°，则塔高为（　　） A. 40 m B. 20 m C. 40 m D. 20 m 解析：在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在 Rt△ABD中，AD＝x＋20（ －1），∠ADB＝30°，所以 ＝tan 30°， ＝ ，解得x＝20.则塔高为20 m. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜测量距离问题 【例1】　（1）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望 对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河 的宽度是 m； 60 解析： tan 30°＝ ，tan 75°＝ ，又∵AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，∴AD＝60 ，故CD＝60 m. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的 C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°， ∠ADC＝30°，则A，B两点间的距离是 m. 20 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40 .在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝ ＝20 .在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－ 2AC×BC× cos ∠BCA＝（20 ）2＋（40 ）2－2×40 ×20 cos 60°＝2 400，∴AB＝20 ，故A，B两点之间的距离为20 m. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 测量距离的基本类型及方案 类 型 A，B两点间不可 通或不可视 A，B两点间可 视但有一点不可达 A，B两点都不可达 简 图 数学·必修第四册（B版） 目 录 方 法 先测∠ACB，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 先测∠ACB， ∠ABC，BC＝ a，再用正弦定 理求AB 先测CD＝a，∠BCD， ∠BDC，∠ACD，∠ADC， ∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 结 论 AB＝ AB＝ ①AC＝ ； ②BC＝ ； ③AB＝ 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距 离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔MC＝100 m，NB＝50 m，在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为 60°和30°，且测得∠MAN＝45°，则M，N间的距离为（　　） A. 100 m B. 50 m C. 100 m D. 100 m √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：由题意，可得∠MAC＝60°，∠NAB＝30°，MC＝100 m，NB＝50 m，∠MAN＝45°，且∠MCA＝∠NBA＝90°.在Rt△ACM中，可得AM＝ ＝200 m.在Rt△ABN中，可得AN＝ ＝100 m.在△AMN中，由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cos ∠MAN＝1002［22＋（ ）2－2×2× × ］＝20 000，所以MN＝100 m. 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 某海轮以每小时30海里的速度航行，在点A测得海面上油井P在其南偏 东60°方向上；海轮向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在其南偏东 30°方向上；海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C，则P， C两点的距离为（　　） A. 20 海里 B. 海里 C. 20 海里 D. 海里 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　如图，过点P作AB的垂线，垂足为点E. 由题意 得∠APB＝∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝30× ＝20（海 里）.在Rt△PAE中，PE＝AP sin 60°＝10 （海里）.在 Rt△PBE中，PB＝ ＝20 （海里）.由已知可得 ∠PBC＝90°，BC＝30× ＝40（海里），∴在Rt△PBC 中，PC＝ ＝ ＝20 （海里）. 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型二｜测量高度问题 【例2】　遵义市正安县被誉为“中国吉他制造之乡”， 正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中 心.现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安 “大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方 式来进行测量：在地面选取相距30米的C，D两观测点，且C，D与“大 吉他”建筑的底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得“大吉 他”建筑顶部A的仰角分别为45°，30°，测得∠CBD＝30°，则“大吉 他”建筑AB的高度为（　　） A. 30 米 B. 34米 C. 34 米 D. 30米 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：设“大吉他”的高度为h，在Rt△ABC中，因为∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝h.在Rt△ABD中，因为∠ADB＝30°，所以 ＝tan 30°，所以BD＝ AB＝ h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD cos ∠CBD，代入数值可得302＝h2＋（ h）2－2h· h× ，解得h＝30或h＝－30（舍），故选D. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 　　测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底 部 不 可 达 点B与C，D 共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 数学·必修第四册（B版） 目 录 类型 简图 计算方法 底部 不可 达 点B与C，D 不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数. 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 底部可达 测得BC＝a， ∠BCA＝C， AB＝a·tan C 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 如图，无人机在离地面高200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°， 山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN＝60°，则山的高度MN为（　　） A. 200 m B. 300 m C. 300 m D. 300 m √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　因为AD∥EC，所以∠ACE＝∠DAC＝45°，又AE⊥EC，所 以∠CAE＝90°－∠ACE＝45°，所以AE＝CE，所以AC＝ AE＝ 200 .又∠MCA＝180°－60°－45°＝75°，∠MAC＝15°＋45°＝ 60°，所以∠AMC＝180°－75°－60°＝45°.在△AMC中，由正弦定 理可得 ＝ ，所以MC＝ ＝200 .在Rt△MNC 中，因为∠MCN＝60°，所以MN＝MC sin ∠MCN＝200 sin 60°＝ 300 m. 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型三｜测量角度问题 【例3】　在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点 n mile的B处 有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉私船， 奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速 度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快 截获走私船？ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：如图，设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截 获（在D点）走私船，则CD＝10 t n mile，BD＝ 10t n mile. 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos A ＝ ＋22－2（ －1）·2 cos 120°＝6， ∴BC＝ ， ∵ ＝ ， 数学·必修第四册（B版） 目 录 ∴ sin ∠ABC＝ ＝ ＝ ， ∴∠ABC＝45°， ∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°. 在△BCD中，由正弦定理得 ＝ ， ∴ sin ∠BCD＝ ＝ ＝ ， ∴∠BCD＝30°. 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 　　测量角度问题画示意图的基本步骤 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 如图，当甲船位于A处时，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇 险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°， 相距10海里C处的乙船，现乙船朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救 援，则 cos θ＝ ⁠. ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝202＋102－2×20×10× cos 120°＝700，所以BC＝10 海里.由正弦定理 ＝ ，得 sin ∠ACB＝ ＝ ＝ ，则 cos ∠ACB＝ .从而 cos θ ＝ cos （∠ACB＋30°）＝ cos ∠ACB· cos 30°－ sin ∠ACB sin 30°＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型四｜求速度问题 【例4】　如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速 情况，现派交警进行测量.交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平 公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分 别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到 C点历时14 s，则这辆汽车的速度为 m/s. ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：由题意知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和△ACD 中，AB＝200 m，AC＝100 m，∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－ 2AB×AC cos ∠BAC＝100 000，即BC＝100 m，∴这辆汽车的速度 为 ＝ ＝ m/s. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 解决实际问题应注意的问题 （1）首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所 求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步； （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余 弦定理解决问题. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相 距8 海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此 时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为（　　） A. 8（ ＋ ）海里/时 B. 8（ － ）海里/时 C. 16（ ＋ ）海里/时 D. 16（ － ）海里/时 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°， ∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理 得 ＝ ，即 ＝ ，得AB＝8（ － ），因此该船的航行速度为 ＝16（ － ）（海里/时）. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C 的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 （　　） A. 北偏东10° B. 北偏西10° C. 南偏东80° D. 南偏西80° 解析：　由条件及题图可知，A＝B＝40°，又因为∠BCD＝60°，所 以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了 与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（△ABC的角A， B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b， C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为 （　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定 理 ＝ 解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C即 可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定 理 ＝ 解出c.故选A. 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 如图，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和 30°，已知CD＝100 m，点C位于BD上，则山高AB＝（　　） A. 100 m B. 50 m C. 50 m D. 50（ ＋1）m 解析：　设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝ h，∴ h－h＝ 100，即h＝50（ ＋1）. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与 它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方 向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是（　　） A. 5 海里/时 B. 5海里/时 C. 10 海里/时 D. 10海里/时 解析：　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA ＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于 是这艘船的航行速度是10海里/时. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 已知A，B，C，D四个景点，如图所示，∠CDB＝45°，∠BCD＝ 75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距 km，求 A，B两景点间的距离. 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°， 由正弦定理得 ＝ ， 即BD＝ ＝2. 在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD， 所以△ABD为等边三角形，所以AB＝2. 所以A，B两景点间的距离为2 km. 数学·必修第四册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD 为水平线，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD的大小是 （　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 解析：AD2＝602＋202＝4 000，AC2＝602＋302＝4 500.在△CAD中，由余弦定理，得 cos ∠CAD＝ ＝ ，故∠CAD＝45°.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角 分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 （　　） A. 10 m B. 100 m √ C. 20 m D. 30 m 解析：如图，设炮台顶为A，底为D，两船为B，C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30 ，∴BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC· cos 30°＝900，∴BC＝30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速 为2 km/h，经过 h船实际航程为（　　） A. 2 km B. 6 km C. 2 km D. 8 km 解析：　如图所示，在△ACD中，AC＝2 ，CD＝ 4 ，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2 ×4 × ＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6 km.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递， 活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆 的端点A在A0处.设连杆AB长100 mm，曲柄CB长35 mm，则曲柄自CB0按 顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离 A0A）约为（结果保留整数）（参考数据： sin 53.2°≈0.8）（　　） A. 17 mm B. 18 mm C. 19 mm D. 20 mm √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：在△ABC中，AB＝100，BC＝35，∠ACB＝53.2°，因为 sin 53.2°≈0.8，所以 cos 53.2°≈0.6.由余弦定理得：AB2＝CB2＋CA2－ 2CA·CB· cos 53.2°，所以1002＝352＋CA2－2CA×35×0.6⇒CA2－ 42CA－8 775＝0⇒CA＝117或CA＝－75（舍去）.因为135－117＝18，所 以A0A＝18 mm.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线 航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其 方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C 两点间的距离是（　　） A. 10 海里 B. 10 海里 C. 20 海里 D. 20 海里 解析：　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海 里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得 ＝ ，解得BC＝10 海里. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 6. 一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东15°，距离为12 海里， 灯塔C在A的北偏东60°，距离为12 海里，该渔船由A沿正东方向继续 航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时灯塔C位于渔船的 （　　） A. 南偏东60°方向 B. 南偏西30°方向 C. 北偏西60°方向 D. 北偏西30°方向 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　如图，由题意，在△ABD中，B＝15°＋ 30°＝45°，AB＝12 ，∠ADB＝60°，由正弦定理 得 ＝ ＝ ＝24 ，所以AD＝24.在 △ACD中，因为AC＝12 ，∠CAD＝30°，由余弦定 理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD× cos 30°＝ （12 ）2＋242－2×12 ×24× ＝144，所以CD＝12，由正弦定理得 ＝ ，所以 sin ∠CDA＝ ＝ .因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，故∠CDA＝60°，此时灯塔C位于渔船的北偏西30°方向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 7. 如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈， 末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（1 丈＝10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折 断处离地面的高为 尺. 4.55 解析：设折断处离地面的高为x尺，由勾股定理得x2＋32＝（10－x）2， 化简得20x＝91，解得x＝4.55. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 8. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列的 第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，若同一列的第 一排和最后一排之间的距离为10 m（如图所示），则旗杆的高度 为 m. 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：如图所示，依题意可知∠PCB＝45°， ∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∴∠CPB ＝180°－45°－105°＝30°，∴在△PBC中， 由正弦定理，可知PB＝ ＝20 （m），∴在Rt△POB中，OP＝PB× sin ∠PBO ＝20 × ＝30（m），即旗杆的高度为30 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 9. 如图，某城市有一条公路从正西方MO通过市中心O后转向东北方 ON，为了缓解市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在MO， ON上分别设置两个出口A，B，若AB部分为直线段，且要求市中心O与 AB的距离为20千米，则AB的最短距离为 千米. 40（ ＋1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：如图所示，作OP⊥AB，垂足为P，则OP＝20， 由题意知∠AOB＝135°.设∠BAO＝α，0°＜α＜45°， ∠OBA＝45°－α.在△AOB中，由正弦定理得 ＝ ，可得AB＝ · .在△POB中，OB＝ ，所以AB＝ · ＝ ＝ ＝ ＝ .因为0°＜α＜45°，所以当α＝22.5°时，AB取得最小值40（ ＋1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 10. 如图所示，一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在 船的北偏东20°方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东 65°方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海域为航行安全区域，这艘船 可以继续沿正北方向航行吗？（ ≈1.414， sin 115°≈0.906， sin 20°≈0.342） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：在△ABS中，AB＝32.2×0.5＝16.1 n mile， ∠ABS＝115°， 根据正弦定理，得 ＝ ， AS＝ ＝AB× sin ∠ABS× ＝16.1× sin 115°× ， S到直线AB的距离是d＝AS× sin 20°＝16.1× sin 115°× × sin 20°≈7.06（n mile）＞6.5（n mile）. 所以这艘船可以继续沿正北方向航行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 11. 如图，一艘客船在A处测得灯塔D在它的南偏东15°方向，测得灯塔 C在它的南偏东60°方向.该客船向正东方向行驶60 km后到达B处，此时 客船测得灯塔D在它的南偏西45°方向，测得灯塔C在它的南偏西30°方 向，则灯塔C与灯塔D之间的距离CD＝（　　） A. 10 km B. 30 km C. 20 km D. 30 km √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　由题意可知，∠DAC＝60°－15°＝45°，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝45°－30°＝15°，∠ABD＝45°，所以在△ABD中，∠DAB＝30°＋45°＝75°，∠ADB＝180°－75°－45°＝60°.因为 sin 75°＝ sin （45°＋30°）＝ sin 45° cos 30°＋ cos 45°· sin 30°＝ ， cos 15°＝ cos （45°－30°）＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°＝ ，由正弦定理可得 ＝ ，则 ＝ ，解得BD＝ ＝10 ＋30 .在△ABC中，∠ACB＝180°－30°－60°＝90°，所以BC＝30.在△BDC中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC cos 15°＝（10 ＋30 ）2＋900－2×（10 ＋30 ）×30× ＝1 500，所以CD＝10 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 12. 〔多选〕一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°，之 后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达 B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的（　） A. 北偏东75° B. 南偏东15° C. 东北方向 D. 东南方向 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　画出示意图如图，客船半小时航行的路程为 32× ＝16（n mile），∴AB＝16 n mile. 又∵BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，∴ ＝ ， ∴ sin ∠ASB＝ ，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°，当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 13. 如图，某人在塔的底端B的正东方向上的C处，与塔垂直的水平面内 沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行1分钟后到达D处，在D处 望见塔的底端B在东北方向上.已知沿途某点E处塔的仰角∠AEB＝α，且α 的最大值为60°. （1）该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大处时，走了几分钟？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：依题意知在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝100米，D＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理得 ＝ ， 故BC＝ ＝ ＝ ＝ ＝50（ －1）（米）. 在Rt△ABE中，tan α＝ ，∵AB为定长， ∴当BE的长最小时，α取得最大值60°，此时BE⊥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 当BE⊥CD时，在Rt△BEC中， EC＝BC cos ∠BCE＝50（ －1）× ＝25（3－ ）（米）. 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大处时，走了t分钟. 则t＝ ＝ ＝ （分钟），故走了 分钟. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）求塔高. 解：由（1）知当α取得最大值60°时，BE⊥CD. 在Rt△BEC中，BE＝BC sin ∠BCE， ∴在Rt△ABE中，AB＝BEtan 60°＝BC sin ∠BCE·tan 60°＝50（ －1）× × ＝25（3－ ）（米）. ∴所求塔高为25（3－ ）米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 14. 如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海 岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40 海里到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东 度， 航行路程为 海里. 65 20（ ＋ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：由题意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40， BC＝40 ， 根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC× cos ∠ABC＝402＋ （40 ）2－2×40×40 × ＝3 200＋1 600 ，∴AC＝20（ ＋ ）. 根据正弦定理得 ＝ ， 得 sin ∠CAB＝ ，又BC＜AC，∴∠CAB＝45°， ∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20（ ＋ ）海里. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 15. 某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形ABCD，经测量，边界CD＝BC＝12 m，∠A＝ ，∠C＝ . （1）若AD的长为8 m，求AB的长； 解：由题意可知△BCD为等边三角形，即CD＝BC ＝BD＝12 m， 在△BAD中，利用余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－ 2AD×AB cos ， 即AB2＋8AB－80＝0，解得AB＝（4 －4）m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）现需要沿该园地的边界修建篱笆（不计宽度）以提醒同学们不要随 意进入该园地，问所需要的篱笆的最大长度为多少米？（提示：设∠ADB ＝α） 解：设∠ADB＝α，且0＜α＜ ， 则在△BAD中，利用正弦定理得 ＝ ＝ ， 即AB＝8 sin α，AD＝8 sin （ －α）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 则AB＋AD＝8 sin α＋8 sin （ －α）＝8 sin α＋8 （ cos α－ sin α） ＝4 sin α＋12 cos α＝8 sin （ α＋ ）. 因为0＜α＜ ，则 ＜α＋ ＜ ，结合正弦函数图象可知， ＜ sin （ α ＋ ）≤1， 则AB＋AD∈（12，8 ]，故AB＋AD＋DC＋BC∈（36，8 ＋24]， 则所需要的篱笆的最大长度为（8 ＋24）m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 $