题海探秘04 二项式定理与二项式系数的性质11考点复习指南-2025-2026学年高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘04 二项式定理与二项式系数的性质 11考点复习指南 知识点01：知识链接 （1） （2） 知识点02：二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. （4）二项式定理的三种常见变形 ① ② ③ 知识点03：二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点04：二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 考点1 二项展开式的正用和逆用 1．（2026高二·广西·阶段检测）的展开式共有（    ） A．54项 B．55项 C．56项 D．57项 2．（2026高二·江苏·课后作业）求的展开式. 3．（2026高三·广东深圳·开学考试）的值为__________． 4．（2026高二·全国·课后作业）化简：． 5．（2026高二·山东枣庄·期中）（   ） A． B． C． D． 6．（2026高三·安徽·开学考试）设，则__________. 考点2 求展开式的特定项或特定项的系数 7．（2026高二·安徽芜湖·期中）的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D．1 8．（2026高三·北京·阶段检测）在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 9．（2026·上海·模拟预测）二项式展开式中的常数项为________.（用数字作答） 10．（2026·四川攀枝花·模拟预测）的二项展开式中含的项的系数为______（用数字作答）． 11．（2026高二·安徽蚌埠·月考）的有理项共有（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．8 12．（2026高二·江苏南京·月考）已知在的展开式中. (1)求展开式中的常数项，并指出是第几项； (2)求展开式中的所有有理项. 13．（2026高二·浙江杭州·期中）若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点3 多项式积的展开式中的特定项问题 14．（2026高三·安徽·开学考试）的展开式中x的系数为______. 15．（2026高二·天津西青·期末）的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 16．（2026高三·云南楚雄·期末）已知，则__________. 17．（2026高三·广东·开学考试）展开式中的常数项为（    ） A． B．0 C．5 D．10 18．（2026·上海金山·模拟预测）在的展开式中，记项的系数为，则___________． 19．（2026·吉林白山·模拟预测）已知（）的展开式中的系数为13，则实数b的值为（   ）. A． B． C． D． 20．（2026高三·江苏无锡·期末）的展开式中，的系数是（    ） A．－2 B．2 C．12 D．16 考点4 三项展开式的系数问题 21．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 22．（2026·辽宁·模拟预测）的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 23．（2026高二·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（　　） A． B．320 C． D．240 24．（2026·河北张家口·模拟预测）的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．10 D．64 25．（2026·四川南充·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 26．（2026高二·吉林四平·阶段检测）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 27．（2026高三·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 28．（2026·广东佛山·模拟预测）若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 考点5 二项展开式的二项式系数和问题 29．（2026高二·河北石家庄·期中）若的展开式中各二项式系数和为64，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 30．（2026高二·河北唐山·月考）已知的展开式的二项式系数之和为256，则_______. 31．（2026高二·江苏连云港·期中）若，则展开式中二项式系数和为________ ．（结果用数字作答） 32．（2026高二·山西·月考）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式共有________项． 33．（2026·山东德州·模拟预测）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. 34．（2026高三·四川成都·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 35．（2026高二·北京·期中）已知且该多项式展开式的二项式系数和为64，则（   ） A．21 B．64 C．78 D．156 考点6 用赋值法求系数和问题 36．（2026高二·广东惠州·期中）已知，则______． 37．（2026高二·上海·期中）若对任意实数都有，则________. 38．（2026·河北保定·模拟预测）若，则______． 39．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A．16 B．30 C．32 D．60 40．（2026高二·江苏镇江·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 41．（2026高二·河北衡水·阶段检测）若（），则（ ） A． B． C． D． 42．【多选】（2026高二·山东枣庄·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 43．【多选】（2026高二·江苏淮安·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 44．【多选】（2026高二·河北承德·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 45．【多选】（2026高三·湖南长沙·阶段检测）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 46．【多选】（2026高二·江西吉安·期末）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 47．【多选】（2026高二·山东潍坊·阶段检测）已知，则下列选项中正确的是（    ） A． B．展开式中二项式系数的最大值为84 C． D． 48．【多选】（2026高二·辽宁丹东·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 考点7 二项式系数的最值问题 49．（2026高二·江苏扬州·期中）的展开式中二项式系数的最大值是______．（用数字作答） 50．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）的展开式中二项式系数的最大值为__________.（用数字作答） 51．（2026高二·广西防城港·期中）若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则______. 52．（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 53．（2026高二·云南·期中）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（   ） A．84 B． C．56 D． 54．（2026高二·广东广州·期中）已知的二项式系数的最大值分别为，则正整数（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 55．（2026高二·安徽滁州·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 考点8 求展开式中系数最大(小)的项 56．（2026高三·安徽蚌埠·期末）的展开式中系数最大的项为______． 57．（2026高二·内蒙古赤峰·期中）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值___ 58．（2026高二·全国·课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 59．（2026高二·全国·课堂例题）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 60．（2026高三·全国·专题练习）二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 61．（2026高三·全国·月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．（2026高二·江苏淮安·期中）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项 A．6 B．8 C．9 D．11 63．（2026高二·江苏常州·期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 考点9 利用二项式定理证明整除问题或求余数 64．（2026高二·贵州黔东南·期中）除以80的余数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 65．（2026高二·河北秦皇岛·月考）被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 66．（2026高二·江苏镇江·期中）的个位数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 67．（2026高二·北京海淀·月考）今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过天后是星期______． 68．（2026高二·辽宁锦州·期末）设,且,若能被整除,则__________. 69．（2026高二·江苏镇江·期中）设，且，若能被13整除，则a=___________. 70．（2026高二·山西临汾·期中）若能被整除，则正数的最小值是______． 考点10 利用二项式定理求近似值问题 71．（2026高二·全国·课后作业）用二项式定理估算______.（精确到0.001） 72．（2026高二·全国·专题练习）1.028的近似值是___________.(精确到小数点后三位) 73．（2026高二·全国·课后作业）的计算结果精确到0.001的近似值是________ 74．（2026高二·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 75．（2026·江苏镇江·模拟预测）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 76．（2026高三·辽宁·月考）已知，，，则下列排序正确的是（    ） A． B． C． D． 考点11 杨辉三角问题 77．（2026高二·全国·单元测试）根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 78．（2026高二·浙江·期末）杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式． 借助上面的表示形式，判断与的值分别是（    ） A． B． C． D． 79．（2026高二·河北·期中）“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一．如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（    ） A．35 B．36 C．56 D．70 80．（2026高二·重庆渝北·期中）“杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.如图，由“杨辉三角”下列叙述正确的是（    ） A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中相邻两个数比值的最大值为12 81．（2026高二·湖北·期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（   ） A．第12行中第6个数最大 B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:3 82．（2026高二·重庆·阶段检测）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘04 二项式定理与二项式系数的性质 11考点复习指南 知识点01：知识链接 （1） （2） 知识点02：二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. （4）二项式定理的三种常见变形 ① ② ③ 知识点03：二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点04：二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 考点1 二项展开式的正用和逆用 1．（2026高二·广西·阶段检测）的展开式共有（    ） A．54项 B．55项 C．56项 D．57项 【答案】C 【详解】的展开式共有项. 2．（2026高二·江苏·课后作业）求的展开式. 【答案】 【分析】可以利用二项式定理直接展开或者先通分化简，再进行展开. 【详解】方法1： 方法2： 3．（2026高三·广东深圳·开学考试）的值为__________． 【答案】0 【分析】根据二项式定理的逆用，可得答案. 【详解】． 故答案为：. 4．（2026高二·全国·课后作业）化简：． 【答案】 【分析】根据式子结构，逆用二项式定理即可求解. 【详解】∵，，， ∴原式 ． 5．（2026高二·山东枣庄·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 6．（2026高三·安徽·开学考试）设，则__________. 【答案】3 【分析】由二项式定理得，代入求值即可. 【详解】由二项式定理可得， ， 则有， 当时，. 故答案为：3. 考点2 求展开式的特定项或特定项的系数 7．（2026高二·安徽芜湖·期中）的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】展开式第二项为． 8．（2026高三·北京·阶段检测）在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出展开式的通项，再根据通项求解即可. 【详解】由题知二项式展开式的通项且， 当时，解得， 此时含的项为. 故选：C. 9．（2026·上海·模拟预测）二项式展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解即可. 【详解】二项式展开式中的常数项为. 故答案为：. 10．（2026·四川攀枝花·模拟预测）的二项展开式中含的项的系数为______（用数字作答）． 【答案】 【分析】利用展开式的通项公式来求指定项系数即可. 【详解】展开式中的第二项为， 所以含的项的系数为， 故答案为： 11．（2026高二·安徽蚌埠·月考）的有理项共有（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】先求得二项式的通项公式，再根据有理项求解. 【详解】的通项公式为：， ， ， ， 所以有理项共有6项， 故选：C 12．（2026高二·江苏南京·月考）已知在的展开式中. (1)求展开式中的常数项，并指出是第几项； (2)求展开式中的所有有理项. 【答案】(1)常数项为60，是第5项 (2)，，60， 【分析】（1）根据二项式展开式通项公式求解即可. （2）根据展开式通项公式，有理项即，求出值依次代入即可. 【详解】（1）该二项式展开式中的通项公式为. 令，则， 所以常数项是第5项，为. 所以展开式中的常数项为60，是第5项. （2）由（1）知，通项公式为. 令，则. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以展开式中的所有有理项为：，，60，. 13．（2026高二·浙江杭州·期中）若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设二项式通项，待定系数计算即可. 【详解】设的通项为，若有常数项，则只需，而，显然的最小值为3，此时. 故选：A 考点3 多项式积的展开式中的特定项问题 14．（2026高三·安徽·开学考试）的展开式中x的系数为______. 【答案】11 【分析】按第一个括号内的数分类，再利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】当第一个括号取2，第二个括号取的一次项时，展开式中的系数为； 当第一个括号取，第二个括号取常数项时，展开式中的系数为， 故展开式中的系数为. 故答案为：11 15．（2026高二·天津西青·期末）的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 【答案】B 【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解. 【详解】由的展开式中的项是：， 所以的展开式中的系数是， 故选：B. 16．（2026高三·云南楚雄·期末）已知，则__________. 【答案】 【分析】变形，利用展开式的通项求解即可. 【详解】， 展开式的通项为， 令，可得；令，可得. 则项的系数为. 故答案为：76. 17．（2026高三·广东·开学考试）展开式中的常数项为（    ） A． B．0 C．5 D．10 【答案】B 【分析】直接由二项式定理进行求解即可. 【详解】展开式中的通项为， 所以展开式中的常数项为. 故选：B. 18．（2026·上海金山·模拟预测）在的展开式中，记项的系数为，则___________． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 所以， 则. 故答案为：40 19．（2026·吉林白山·模拟预测）已知（）的展开式中的系数为13，则实数b的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理写出的展开式通项，分两部分求解的系数，进而建立关于的方程，求解的值. 【详解】根据二项式定理，的通项为（）. 展开式中项由两部分组成： ①的常数项乘以的项，因中项的系数为， 因此这部分的系数为. ②的一次项乘以的项，因中项的系数为， 因此这部分的系数为. 依题意，，解得. 20．（2026高三·江苏无锡·期末）的展开式中，的系数是（    ） A．－2 B．2 C．12 D．16 【答案】B 【分析】从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项，即可得解. 【详解】在中， 个因式选择，个因式选择常数即可得到含的项， 故的系数. 故选：B 考点4 三项展开式的系数问题 21．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项特征求解即可. 【详解】因为展开式的通项为， 当，即时，展开式中会出现，此时， 对于，通项为，要想得到，则需， 此时，即含的项的系数为， 故选：B. 22．（2026·辽宁·模拟预测）的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 【答案】B 【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论. 【详解】∵， 由二项式定理可知，展示式中共有项， ∴的展开式共有项. 故选：B． 23．（2026高二·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（　　） A． B．320 C． D．240 【答案】A 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以通项公式为：， 令，所以， 设二项式的通项公式为：， 令，所以， 因此项的系数为：， 故选：A. 24．（2026·河北张家口·模拟预测）的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．10 D．64 【答案】A 【分析】根据二项式的通项公式，运用赋值法进行求解即可. 【详解】在的展开式中，通项公式为 若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项. 令，得这些项的系数之和为 故选： 25．（2026·四川南充·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【分析】先化简得到，再利用二项展开式的通项计算的系数 【详解】化简得到， 的展开式通项为。 令 ，即，得到， 故的系数为. 26．（2026高二·吉林四平·阶段检测）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 【答案】C 【详解】的展开式中的常数项为． 27．（2026高三·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可． 【详解】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 28．（2026·广东佛山·模拟预测）若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案. 【详解】依题意，，所以，即． 故选：C. 考点5 二项展开式的二项式系数和问题 29．（2026高二·河北石家庄·期中）若的展开式中各二项式系数和为64，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】由题意得，解得． 30．（2026高二·河北唐山·月考）已知的展开式的二项式系数之和为256，则_______. 【答案】8 【分析】由二项式系数的性质进行求解． 【详解】由得，． 31．（2026高二·江苏连云港·期中）若，则展开式中二项式系数和为________ ．（结果用数字作答） 【答案】1024 【分析】先由组合数公式求出n的值，再利用二项式定理求解. 【详解】因为， 所以，且 解得或1（舍去）， 所以二项式的展开式中二项式系数为：． 故答案为： 32．（2026高二·山西·月考）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式共有________项． 【答案】8 【分析】先由二项式系数和的公式求出，再由二项式展开式定理即可得解. 【详解】在的二项展开式中，所有二项式系数之和为， 解得，则二项展开式共有8项． 故答案为：8. 33．（2026·山东德州·模拟预测）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. 【答案】240 【分析】先通过得到，再写出的展开式的通项，令的次数为即可得到常数项. 【详解】由的展开式中，二项式系数之和为64得，， 则的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中常数项为. 34．（2026高三·四川成都·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 35．（2026高二·北京·期中）已知且该多项式展开式的二项式系数和为64，则（   ） A．21 B．64 C．78 D．156 【答案】A 【分析】根据已知条件求出，结合二项式展开式的通项公式求出值，求和即可. 【详解】由该多项式展开式的二项式系数和为64，得，解得， 则展开式通项公式为， 所以，. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 所以. 考点6 用赋值法求系数和问题 36．（2026高二·广东惠州·期中）已知，则______． 【答案】 【详解】， 令时，即得. 37．（2026高二·上海·期中）若对任意实数都有，则________. 【答案】81 【详解】令，则，即. 38．（2026·河北保定·模拟预测）若，则______． 【答案】32 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，. 39．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A．16 B．30 C．32 D．60 【答案】B 【分析】对式子两边求两次导数后令得，两边同时除以2即可求出答案. 【详解】因为， 对两边求导得， 对两边再次求导得， 令得， 两边除以2得. 40．（2026高二·江苏镇江·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项展开式得到，进而可得，再代入求和即可． 【详解】解：， 则， 所以， 所以 ． 41．（2026高二·河北衡水·阶段检测）若（），则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：因为，所以多项式最高次项的次数为6， 所以，所以，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：在中， 令，得，所以， 令，得， 所以，故C正确； 对于D：对两边同时求导， 得， 令，得，故D错误. 42．【多选】（2026高二·山东枣庄·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，所以，A正确； 对于B，令，则， 所以，正确； 对于C，，所以，错误； 对于D，，所以，正确. 43．【多选】（2026高二·江苏淮安·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二项式展开式的通项，令，可求得，判断A；令，求得，利用赋值法令，得，从而求得，判断B；利用赋值法，令，，可判断C；对展开式两边求导，再令，可判断D. 【详解】的展开式的通项为. 令，得展开式中的常数项，所以A错误； 令，得展开式中的系数， 令，得， 所以，所以B正确； 当为奇数时，的系数为负数；当为偶数时，的系数为正数. 令，得， 即， 所以，所以C正确； 对两边求导， 得， 令，得，所以D正确. 44．【多选】（2026高二·河北承德·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令通过换元得，通过通项公式可得A选项的正确，通过赋值可判断BC选项，通过对二项式展开式求导并赋值可判断D选项. 【详解】令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； 令，则，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 45．【多选】（2026高三·湖南长沙·阶段检测）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于ABC，利用赋值法分别判断即可；对于D，对等式两边同时求导，再赋值即可求解判断. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 46．【多选】（2026高二·江西吉安·期末）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断. 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD 47．【多选】（2026高二·山东潍坊·阶段检测）已知，则下列选项中正确的是（    ） A． B．展开式中二项式系数的最大值为84 C． D． 【答案】AD 【分析】根据二项式的展开式可判断A；根据二项式系数的性质可判断B，通过赋值可判断CD. 【详解】展开式的通项公式为， ，故A正确； 根据二项式系数的性质，二项式系数的最大值为和，即最大值为，故B错误； 当时，， 当时，， 所以，故C错误； 当时，， 当时，， 所以， 又，则，故D正确. 故选：AD. 48．【多选】（2026高二·辽宁丹东·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据乘法的运算法则，结合赋值法、二项式系数公式逐一判断即可. 【详解】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 考点7 二项式系数的最值问题 49．（2026高二·江苏扬州·期中）的展开式中二项式系数的最大值是______．（用数字作答） 【答案】70 【详解】由二项式系数及组合数的性质知， 的展开式中二项式系数的最大值为. 50．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）的展开式中二项式系数的最大值为__________.（用数字作答） 【答案】70 【分析】二项式系数中间项最大． 【详解】，所以二项式系数最大值为：； 故答案为：70. 51．（2026高二·广西防城港·期中）若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则______. 【答案】10 【分析】利用二项式系数的性质以及二项式定理建立方程即可求解. 【详解】解：因为展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以n为偶数，且第项的二项式系数最大， 则解得 故答案为： 52．（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】分为偶数和为奇数两种情况，分析二项式系数最大的项，结合题意求出的可能值. 【详解】当为偶数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项， 令，得； 当为奇数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项和第项， 令，得； 令，得. 所以结合选项可知的值不可能是. 53．（2026高二·云南·期中）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（   ） A．84 B． C．56 D． 【答案】D 【详解】因为二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，即，故， 故展开式中的系数为. 54．（2026高二·广东广州·期中）已知的二项式系数的最大值分别为，则正整数（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的系数求出的表达式，然后根据即可求解. 【详解】根据二项式的展开式，的二项式系数的最大值为，即， 的二项式系数的最大值为或且，即， 已知，即，得， 化简得，解得. 55．（2026高二·安徽滁州·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【分析】利用二项式系数的性质求解最大项即可. 【详解】因为展开式中共有7项，所以展开式中间项的二项式系数最大， 则第4项的二项式系数最大，故B正确. 故选：B. 考点8 求展开式中系数最大(小)的项 56．（2026高三·安徽蚌埠·期末）的展开式中系数最大的项为______． 【答案】 【分析】利用二项式定理求得展开式可得结论. 【详解】 ， 所以的展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 57．（2026高二·内蒙古赤峰·期中）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值___ 【答案】/ 【分析】依据二项展开式分别求得的值，进而求得的值. 【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为， 设第项的系数最大，则， 即，解之得， 求得或6，此时，， 故答案为： 58．（2026高二·全国·课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 【答案】D 【分析】结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项. 故选：D 59．（2026高二·全国·课堂例题）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 【答案】C 【分析】先根据系数比列式计算得出，再应用系数为实数及系数最大得出即可求解. 【详解】． 由，得， 所以， 又， 据此可知当时系数为实数， 实数系数分别为， ，， ， ，， 经比较可知最大值为210，此时，对应第五项. 故选：C． 60．（2026高三·全国·专题练习）二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【分析】根据已知写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定参数，即可得. 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 显然系数最大项对应为偶数，而对于其最大值为或时取得， 综上，系数最大项对应，即第项. 故选：B 61．（2026高三·全国·月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 62．（2026高二·江苏淮安·期中）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项 A．6 B．8 C．9 D．11 【答案】B 【分析】写出展开式的通项公式，由已知可得出，解得.进而写出展开式中系数的绝对值的表达式，列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，展开式的通项公式为，. 所以，第5项的系数为，第3项的系数为， 由题意知，，整理可得，， 解得或（舍去）， 所以，. 设第项，系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为， 则有，即， 整理可得，所以. 又，所以，所以展开式中系数的绝对值最大的是第8项. 故选：B. 63．（2026高二·江苏常州·期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为：， 设第项的系数绝对值最大， 所以有， 因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项， 故选：B 考点9 利用二项式定理证明整除问题或求余数 64．（2026高二·贵州黔东南·期中）除以80的余数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】,由于且能被80整除， 所以除以80的余数为9， 故选：C 65．（2026高二·河北秦皇岛·月考）被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 【答案】C 【分析】显然211被10除所得的余数为1，故只需由二项式定理求得被10除所得的余数即可. 【详解】 ， 因为能被10整除， 所以被10除所得的余数9； 因为211被10除所得的余数为1，所以被10除所得的余数为0． 故选：C. 66．（2026高二·江苏镇江·期中）的个位数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】因为， 而是10的倍数， 所以的个位数是. 故选：A. 67．（2026高二·北京海淀·月考）今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过天后是星期______． 【答案】五 【分析】利用二项展开式求出除以7的余数为1可得所求结果. 【详解】因为, 故除以7的余数为1，故经过天后是星期五， 故答案为：五. 68．（2026高二·辽宁锦州·期末）设,且,若能被整除,则__________. 【答案】1 【分析】由,利用二项展开式可知只需能被整除整除即可,由的范围即可得到结果. 【详解】, 要使能被整除, 则能被整除, 又,, ,解得. 故答案为:. 69．（2026高二·江苏镇江·期中）设，且，若能被13整除，则a=___________. 【答案】12 【分析】直接利用二项式定理求解即可. 【详解】由已知得 即被13整除的余数为，而，且， 若能被13整除，则，即， 故答案为：. 70．（2026高二·山西临汾·期中）若能被整除，则正数的最小值是______． 【答案】 【分析】把写成，二项式展开后前面都是的倍数，只剩，要被1000整除，正数最小就是24. 【详解】 ，为整数. 所以要使能被整除，即能被整除， 又是正数，所以的最小值为． 考点10 利用二项式定理求近似值问题 71．（2026高二·全国·课后作业）用二项式定理估算______.（精确到0.001） 【答案】1.105 【分析】利用二项式定理进行近视计算作答. 【详解】 . 故答案为：1.105 72．（2026高二·全国·专题练习）1.028的近似值是___________.(精确到小数点后三位) 【答案】1.172 【分析】由题意，，根据二项式定理，展开计算，即可得答案. 【详解】由题意得：. 故答案为：1.172 73．（2026高二·全国·课后作业）的计算结果精确到0.001的近似值是________ 【答案】0.941 【分析】利用二项展开式可求近似值. 【详解】， 故答案为：0.941. 74．（2026高二·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 75．（2026·江苏镇江·模拟预测）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 76．（2026高三·辽宁·月考）已知，，，则下列排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先直接计算得的值，构造函数，利用导数研究其单调性得到，再利用二项式定理求得的值，从而得解. 【详解】因为，， 令，则， 故在上单调递减， 所以，即，故， 因为 ， 所以，即. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数证得，再利用二项式定理求得，从而得解. 考点11 杨辉三角问题 77．（2026高二·全国·单元测试）根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】观察规律即可求得结果. 【详解】从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和， 所以a=3+3=6. 故选：C. 78．（2026高二·浙江·期末）杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式． 借助上面的表示形式，判断与的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“杨辉三角”中的数的特点求解即可. 【详解】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点： 1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为1， 2.从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和， 所以. 故选：D. 79．（2026高二·河北·期中）“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一．如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（    ） A．35 B．36 C．56 D．70 【答案】C 【分析】根据杨辉三角的规律再向下写出4行，找出第12条斜线上的数，比较大小可得答案. 【详解】杨辉三角第8行的数据为：1  7  21  35  35  21  7  1， 第9行的数据为：1  8  28  56  70  56  28  8  1， 第10行的数据为：1  9  36  84  126  126  84  36  9  1， 第11行的部分数据为：1  10  45  ……， 第12条斜线上的数为：1 10 36 56 35 6，所以最大的数是56. 故选：C. 80．（2026高二·重庆渝北·期中）“杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.如图，由“杨辉三角”下列叙述正确的是（    ） A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中相邻两个数比值的最大值为12 【答案】D 【分析】根据条件及组合数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由杨辉三角性质得在第10行里，有11个数，所以第10行中正中间即第6个数最大，故A错误； 第2025行中，第1012个数为，第1013个数为， 由组合数性质得，故B错误； ，故C错误； 根据对称性，只考虑后一项与前一项之比即可， 当且时，， 可得当时，相邻两个数的比值最大，最大值为12，故D正确； 81．（2026高二·湖北·期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（   ） A．第12行中第6个数最大 B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:3 【答案】D 【分析】根据条件及组合数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：由题意得，第12行共有13个数，根据对称性可得，只有第7个数最大，故A错误； 选项B：第2026行共有2027个数，根据对称性可得，只有第1014个数最大， 即第1013个数与第1014个数不相等，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D：第19行中第8个数为，第9个数为， 则，故D正确. 82．（2026高二·重庆·阶段检测）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到第3行到第10行的各行的第4个数的和为，结合组合数的性质，即可求解. 【详解】由二项式， 可得第3行到第10行的各行的第4个数的和为， 又由组合数的性质知：且 所以，即第3行到第10行的各行的第4个数的和为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $