专题04 二项式定理8种常见考法归类讲义（78题）-2025-2026学年高二下学期人教A版选择性必修第三册数学题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题04 二项式定理8种常见考法归类（78题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 二项式定理的正用、逆用 考点二 二项展开式的通项的应用 考点三 求两个多项式积的特定项 考点四 三项展开式的通项的应用 考点五 求余问题 考点六 整除问题 考点七 近似值问题 考点八 证明组合恒等式 知识点1 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 注：①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等 于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。 知识点2　二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 拓展：二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？一般不同．前者仅为C，而后者是字母前的系数，故可能不同． 策略方法 1.二项式定理的结构与展开式规律 （1）项数：的展开式共有项。 （2）指数规律： -字母呈降幂排列，指数从依次减到； -字母呈升幂排列，指数从依次加到； -每一项中与的指数和恒等于。 （3）二项式系数：依次为，只与有关，与无关。 （4）核心区分： -二项式系数：仅指； -项的系数：是该项中除字母外的全部数字（含符号、系数），二者不一定相等。 2.通项公式的标准用法（最核心） （1）通项公式 第项：， 使用时先写通项，再整理指数与系数。 （2）求特定项的通用步骤 ①写出通项； ②合并同类字母的指数； ③根据题意列方程（如指数=0、指数为整数等）； ④解出，再代回求该项。 3.求展开式中“特定项”的方法 （1）求常数项 条件：字母指数为； 做法：令通项中所有字母指数和为0，解出，再求。 （2）求有理项 条件：字母指数均为整数； 做法：令指数为整数，求满足条件的，再写出对应项。 （3）求指定幂次项（如项） 做法：令通项中该字母指数等于指定次数，解即可。 4.两个多项式乘积的展开式特定项——“双通法” 形如： (1)分别写出两个通项： (2)相乘得到总项： (3)根据要求令指数为目标值，求整数； (4)代入求系数。 5.三项式展开问题（高频拓展） 形如： 常用两种处理方式： (1)整体化二项式：把两项看成整体，如； (2)组合模型：个因式中分别选，用组合数直接计数。 6.整除与求余问题（高频） (1)思路：将底数写成除数的倍数+余数形式； (2)展开后，只有最后一项不含除数，即为余数； (3)若余数为负，加除数转正。 例：求除以的余数→写成 7.近似计算问题 当很小时，利用： 按精度保留前几项即可。 8.逆用二项式定理化简求和 观察式子结构，凑成： 常用于化简组合数求和、多项式求和。 9.二项式定理综合解题步骤 (1)辨清：二项式系数/项的系数； (2)写通项：； (3)整理指数：合并同类字母指数； (4)列条件：常数项、有理项、指定项列方程； (5)求：注意； (6)求项/系数：代回计算。 10.高频易错点 (1)混淆二项式系数与项的系数； (2)通项是第项，不是第项； (3)忽略的范围：； (4)求余数时出现负数，未转正； 考点一 二项式定理的正用、逆用 1．（2026高二·山西·期中）的展开式为______. 【答案】 【分析】由二项式展开公式即可求解. 【详解】根据二项式展开公式， 令，，， 可得 2．（2026高二·全国·课后作业）求的二项展开式． 【答案】 【分析】法一：直接利用二项式定理展开并化简；法二：先化简再利用二项式定理展开． 【详解】法一： ， 法二： ， ， ． 3．（2026高二·江苏·寒假作业）求多项式的展开式． 【答案】 【分析】先将多项式等价转化成二项式，再利用二项式定理可得展开式. 【详解】， ． 4．（2026高二·全国·期末）求多项式的展开式. 【答案】 【分析】利用完全平方公式将三项式转化为二项式，然后根据二项式定理即可得到展开式. 【详解】因为， 所以. 所以多项式的展开式为. 5．（2026·北京房山·模拟预测）的二项展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以ABC不是的二项展开式中的项，是的二项展开式中的项. 6．（2026高三·全国·专题练习）______. 【答案】 【分析】根据二项式定理，将题目中的式子整理为二项式的形式进行计算即可. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：. 7．（2026高二·山东枣庄·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 8．（2026·重庆永川·模拟预测）设是正整数，表达式化简的结果是______ 【答案】 【分析】根据二项式定理化简. 【详解】 故答案为：. 9．（2026高三·安徽·开学考试）设，则__________. 【答案】3 【分析】由二项式定理得，代入求值即可. 【详解】由二项式定理可得， ， 则有， 当时，. 故答案为：3. 10．（2026高三·全国·专题练习）设复数（是虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简，再利用二项式定理变形后再计算． 【详解】由， 则 ． 故选：A. 考点二 二项展开式的通项的应用 11．（2026高二·重庆渝北·期中）的展开式中的常数项为（    ） A．20 B．15 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得展开式的通项为， 令，即，所以展开式中的常数项为. 12．（2026·天津和平·模拟预测）的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】84 【分析】根据展开式的通项，再令进行计算． 【详解】解：二项式的展开式， 当，即时，常数项为． 13．（2026高一·上海·期中）的二项展开式中的系数是________． 【答案】 【分析】根据展开式通项公式可写出含的系数. 【详解】因为， 令，解得， ， 所以的系数为， 故答案为： 14．（2026高三·四川成都·期中）的展开式的中间项为___________． 【答案】 【分析】根据二项式定理只需求解展开式第4项即可. 【详解】由二项式定理可知，展开式共项， 所以的展开式的中间项为第项， 所以，由二项式定理展开的通项公式得： 所以的展开式的中间项为 故答案为： 15．（2026·陕西榆林·模拟预测）若的展开式中常数项为180，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的指数为0，求出，再由常数项为解得. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得，所以，即，， 又，故． 16．（2026高二·安徽芜湖·期中）的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】展开式第二项为． 17．（2026·北京密云·模拟预测）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 【答案】 24 【详解】的二项展开式的第1 项是， 常数项为. 18．（2026高二·内蒙古巴彦淖尔·期中）二项式的展开式的第3项的二项式系数是（　　） A．21 B． C．84 D． 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的通项公式结合组合数公式计算求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为. 展开式的第3项的二项式系数为. 19．（2026高三·上海青浦·期中）在的二项展开式中，第四项是常数项，则______． 【答案】6 【分析】求出通项，再令可解. 【详解】展开式的通项为，， 因为第四项是常数项， 所以当时，， 所以 故答案为：6. 20．（2026高二·全国·课堂例题）的展开式中第7项为________． 【答案】 【分析】利用二项式定理可得出展开式的第7项. 【详解】． 故答案为：. 21．（2026高二·安徽蚌埠·月考）的有理项共有（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】先求得二项式的通项公式，再根据有理项求解. 【详解】的通项公式为：， ， ， ， 所以有理项共有6项， 故选：C 22．（2026高二·江苏南京·月考）已知在的展开式中. (1)求展开式中的常数项，并指出是第几项； (2)求展开式中的所有有理项. 【答案】(1)常数项为60，是第5项 (2)，，60， 【分析】（1）根据二项式展开式通项公式求解即可. （2）根据展开式通项公式，有理项即，求出值依次代入即可. 【详解】（1）该二项式展开式中的通项公式为. 令，则， 所以常数项是第5项，为. 所以展开式中的常数项为60，是第5项. （2）由（1）知，通项公式为. 令，则. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以展开式中的所有有理项为：，，60，. 23．（2026高二·全国·专题练习）已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，即可求得展开式的第4项； （2）令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项； （3）令的指数为0，即可求得展开式中的常数项. 【详解】（1）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . （3）由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 24．（2026高二·浙江杭州·期中）若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设二项式通项，待定系数计算即可. 【详解】设的通项为，若有常数项，则只需，而，显然的最小值为3，此时. 故选：A 25．（2026·四川泸州·模拟预测）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】首先写出二项式展开的通式，根据题意存在常数项，可得，进而得到的可能取值. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为. 故选：C 考点三 求两个多项式积的特定项 26．（2026高二·安徽芜湖·月考）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【详解】， 的二项展开式的通项为， 所以的系数为. 27．（2026·湖北武汉·模拟预测）在的展开式中，含项的系数为（   ） A．240 B． C．80 D． 【答案】D 【详解】的通项， 项的两种来源，①中项与相乘，②中项与相乘， ①令，得，此时该项为，与相乘后得到， ②令，得，此时该项为，与相乘后得到， 所以，含项的系数为． 28．（2026高二·重庆江津·月考）的展开式中的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【详解】由的展开式通项为，， 所以时，，时，， 可得展开式中的系数为. 29．（2026高二·山东济宁·期中）的展开式中的系数为（    ） A．84 B． C．56 D．28 【答案】B 【详解】. 其中的展开式中的系数为， 的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为. 30．（2026高二·浙江·期中）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 【答案】B 【详解】因为， 所以展开式的通项为. 令，得， 所以常数项为. 31．（2026高二·福建厦门·月考）的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 【答案】B 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含有的项为， 所以展开式中的系数为60. 32．（2026高三·四川成都·专题练习）的展开式中，含有的项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得二项式的展开式的通项，结合题意，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为，其中， 所以展开式中的项为： ， 所以含有的项的系数为. 33．（2026·山西晋城·模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．24 【答案】D 【详解】 展开式中的系数分别为， 而展开式中的系数分别为， 所以原展开式中的系数为． 34．（2026高三·山东泰安·月考）在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别展开，，找到两部分相乘后指数和为的项. 【详解】在的展开式中，第项为，其中， 含的项为， 含的项为， 结合， 可得的展开式中含的项为， 在的展开式中的系数为. 35．（2026高二·黑龙江·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．7 B．15 C．30 D．65 【答案】A 【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出的展开式中含和含的系数，再求原式的的系数即可. 【详解】在的展开式中，的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为. 故选：A. 36．（2026高三·湖北襄阳·月考）在展开式中的系数为（    ） A．-20 B．-30 C．-40 D．-50 【答案】C 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】展开式中的系数为. 故选：C. 37．（2026高二·江苏南京·月考）若的展开式中的系数为30，则（   ） A．9 B． C．10 D． 【答案】A 【详解】由二项式定理，的通项为. . 其中产生项的来源有两部分： ①与中项相乘：令，得，该项系数为； ②与中项相乘：令，得，该项系数为. 因此的系数为：. 代入组合数计算：，，即， 解得，. 38．（2026高二·河北保定·期中）已知的展开式中的系数为20，则（    ） A．4 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由展开式通项为，， 所以中的系数为，即. 39．（2026·吉林白山·模拟预测）已知（）的展开式中的系数为13，则实数b的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理写出的展开式通项，分两部分求解的系数，进而建立关于的方程，求解的值. 【详解】根据二项式定理，的通项为（）. 展开式中项由两部分组成： ①的常数项乘以的项，因中项的系数为， 因此这部分的系数为. ②的一次项乘以的项，因中项的系数为， 因此这部分的系数为. 依题意，，解得. 40．（2026高三·江苏无锡·期末）的展开式中，的系数是（    ） A．－2 B．2 C．12 D．16 【答案】B 【分析】从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项，即可得解. 【详解】在中， 个因式选择，个因式选择常数即可得到含的项， 故的系数. 故选：B 考点四 三项展开式的通项的应用 41．（2026高二·江苏无锡·期中）的展开式共（   ） A．15项 B．21项 C．25项 D．31项 【答案】B 【分析】将问题转化为求满足的解的个数,再利用隔板法计算. 【详解】展开式中任意一项的形式为（为系数），其中指数满足，为非负整数，不同的对应不同的项， 因此问题转化为求该不定方程的非负整数解的个数, 根据隔板法公式：个相同元素分给个不同对象，非负整数解的个数为， 此处，，代入得： . 42．（2026高二·河北承德·月考）展开式中的系数为（    ） A．40 B． C．120 D． 【答案】D 【分析】利用生成的方法，结合组合数公式，即可求解. 【详解】， 要生成项，相当于从6个括号中选取2个括号取， 剩下的4个括号中的1个括号取，另外3个括号取， 故为， 所以展开式中的系数为 43．（2026·四川南充·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【分析】先化简得到，再利用二项展开式的通项计算的系数 【详解】化简得到， 的展开式通项为。 令 ，即，得到， 故的系数为. 44．（2026高二·吉林四平·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 【答案】C 【详解】的展开式中的常数项为． 45．（2026高二·江苏宿迁·月考）展开式中含项的系数为（    ） A．240 B．242 C．246 D．244 【答案】A 【分析】先对多项式因式分解，再利用二项式定理求含项的系数，避免直接展开高次幂，简化计算. 【详解】， 两个二项式相乘，含的项由以下两种情况组合得到： 中的常数项乘以中的一次项，其系数为， 中的一次项乘以中的常数项，其系数为， 综上，展开式中含x项的系数为. 46．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 【答案】C 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 47．（2026高二·全国·课堂例题）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【分析】法一：将原式看作二项式的展开，利用二项式定理展开，仅选取展开式中不含的项并求和，得到常数项；法二：先将原式括号内配方并平方转化为，再写出其通项公式，令的指数为0确定值，代入计算得常数项. 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 48．（2026高三·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 【答案】D 【分析】求出展开式通项，再求出的展开式通项，即可求出. 【详解】展开式的通项为， 则含的项为，其中的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D. 49．（2026高二·河南南阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】写出展开式的通项，然后可得答案. 【详解】的通项公式， 令，则，所以的系数为 故选：B 50．（2026·辽宁丹东·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A． B．12 C． D．18 【答案】A 【分析】根据多项式展开式系数的计算直接求解即可． 【详解】根据题意， 展开式中项为， 所以展开式中的系数为． 故选：A． 51．（2026高三·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可． 【详解】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 52．（2026·广东佛山·模拟预测）若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案. 【详解】依题意，，所以，即． 故选：C. 考点五 求余问题 53．（2026高二·江苏南京·月考）除以的余数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再写出的展开式，即可判断. 【详解】因为，其中 所以， 即， 因此除以的余数是，故D正确. 54．（2026高二·江苏盐城·月考）除以1000的余数为（   ） A．0 B．1 C．9 D．99 【答案】B 【分析】利用二项式定理将展开即可求解. 【详解】 因为是1000的倍数， 且也是1000的倍数， 所以除以1000的余数为1. 55．（2026高二·湖北·期中）计算除以所得的余数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项展开式可求得结果. 【详解】因为 ， 故除以所得的余数为. 56．（2026高二·山东泰安·期中）除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由题意得， 又因为， 所以除以9的余数为. 57．（2026高二·安徽安庆·月考）被7整除的余数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题可知，， 则其展开式的通项公式为， 由通项公式可得，只有时，不能被7整除， 其余项均能被7整除，故被7整除的余数为3． 58．（2026·安徽合肥·模拟预测）被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】依题意，， 而是7的整数倍， 所以被7除所得的余数为1. 59．（2026·河南南阳·模拟预测）今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．五 【答案】A 【分析】将写成形式的二项展开式，然后计算除以余下的天数，最后判断是星期几. 【详解】因为 所以 则的余数为， 又因为今天是星期四，所以天后是星期，即星期一. 60．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知，则被10除的余数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】利用二项式定理化简原式，将问题转化为求除以10所得的余数，即可得. 【详解】， 由 ， 由于最后一项为，所以被10除的余数为9. 61．（2026·山东德州·模拟预测）除以7所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用二项式定理化简原式，再将问题转化为求除以7所得的余数，再次结合二项式定理将问题转化为除以7所得的余数即可. 【详解】， 因为，所以除以7所得的余数为，即， 故， 而， 故除以7所得的余数为， 故原式除以7所得的余数与除以7所得的余数相等均为. 考点六 整除问题 62．（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】运用二项式定理、结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 63．（2026高二·江苏南京·月考）设，且，若能被13整除，则（   ） A．0 B．1 C．11 D．12 【答案】D 【分析】由题意，根据二项式的展开式，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意 ， 因为52能被13整除，所以也能被13整除， 因为，所以. 64．（2026高二·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知能被整除，可得出，结合二项式定理可知能被整除，即可得出合适的选项. 【详解】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 65．（2026高二·湖北黄冈·期末）设，且，若能被9整除，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由，结合二项式定理即可求解. 【详解】 因为能被9整除，所以，所以. 故选：B 66．（2026高二·河南郑州·期末）若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除不能被9整除，其他项均能被9整除，进而只需满足能被9整除，即可根据的取值范围得出答案. 【详解】因为， 所以该二项展开式的通项为， 当时，能被9整除， 但时，不能被9整除， 要使能被9整除，则能被9整除， 因为，所以， ，即. 故选：A. 67．（2026高二·河北·期中）已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 【答案】C 【分析】根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案. 【详解】因为， 能被11整除， 所以能被11整除， 由选项知当时，符合题意． 故选：C. 考点七 近似值问题 68．（2026高二·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 69．（2026·江苏镇江·模拟预测）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 70．（2026·安徽滁州·模拟预测）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 【答案】D 【详解】， 因为，所以第五项及之后均可忽略不计， 所以. 71．（2026高三·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解． 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 72．（2026高二·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 73．（2026高二·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 74．（2026高三·辽宁·月考）已知，，，则下列排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先直接计算得的值，构造函数，利用导数研究其单调性得到，再利用二项式定理求得的值，从而得解. 【详解】因为，， 令，则， 故在上单调递减， 所以，即，故， 因为 ， 所以，即. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数证得，再利用二项式定理求得，从而得解. 考点八 证明组合恒等式 75．（2026高三·全国·课后作业）求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用恒等式及二项式定理，左右展开后对应项系数相同，利用组合数性质计算即可. 【详解】考虑恒等式：， 有 ． 左边展开式中的系数为： ， 而右边展开式中项的系数为零． 所以. 即得所证等式． 【点睛】利用待定系数法证组合恒等式，关键是构造多项式，然后利用等式两边对应系数相等，即得组合恒等式． 76．（2026高三·全国·课后作业）求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论. 【详解】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 77．（2026高三·全国·课后作业）求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用基本恒等式以及，即可证明 【详解】由基本恒等式，即得 因为， 所以， 即 78．（2026高三·全国·专题练习）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】应用二项式定理写出的展开式，将替换n，①、②对应相乘，幂级数乘法定义整理化简即可证结论. 【详解】取函数，，则： ①， ②， 将②用替换n，有：．其中的系数为． 将①，②对应相乘，根据上述形式幂级数乘法定义有：， 其中的系数为，由展开式的唯一性有：，， 因此可得：． $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题04 二项式定理8种常见考法归类（78题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 二项式定理的正用、逆用 考点二 二项展开式的通项的应用 考点三 求两个多项式积的特定项 考点四 三项展开式的通项的应用 考点五 求余问题 考点六 整除问题 考点七 近似值问题 考点八 证明组合恒等式 知识点1 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 注：①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等 于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。 知识点2　二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 拓展：二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？一般不同．前者仅为C，而后者是字母前的系数，故可能不同． 策略方法 1.二项式定理的结构与展开式规律 （1）项数：的展开式共有项。 （2）指数规律： -字母呈降幂排列，指数从依次减到； -字母呈升幂排列，指数从依次加到； -每一项中与的指数和恒等于。 （3）二项式系数：依次为，只与有关，与无关。 （4）核心区分： -二项式系数：仅指； -项的系数：是该项中除字母外的全部数字（含符号、系数），二者不一定相等。 2.通项公式的标准用法（最核心） （1）通项公式 第项：， 使用时先写通项，再整理指数与系数。 （2）求特定项的通用步骤 ①写出通项； ②合并同类字母的指数； ③根据题意列方程（如指数=0、指数为整数等）； ④解出，再代回求该项。 3.求展开式中“特定项”的方法 （1）求常数项 条件：字母指数为； 做法：令通项中所有字母指数和为0，解出，再求。 （2）求有理项 条件：字母指数均为整数； 做法：令指数为整数，求满足条件的，再写出对应项。 （3）求指定幂次项（如项） 做法：令通项中该字母指数等于指定次数，解即可。 4.两个多项式乘积的展开式特定项——“双通法” 形如： (1)分别写出两个通项： (2)相乘得到总项： (3)根据要求令指数为目标值，求整数； (4)代入求系数。 5.三项式展开问题（高频拓展） 形如： 常用两种处理方式： (1)整体化二项式：把两项看成整体，如； (2)组合模型：个因式中分别选，用组合数直接计数。 6.整除与求余问题（高频） (1)思路：将底数写成除数的倍数+余数形式； (2)展开后，只有最后一项不含除数，即为余数； (3)若余数为负，加除数转正。 例：求除以的余数→写成 7.近似计算问题 当很小时，利用： 按精度保留前几项即可。 8.逆用二项式定理化简求和 观察式子结构，凑成： 常用于化简组合数求和、多项式求和。 9.二项式定理综合解题步骤 (1)辨清：二项式系数/项的系数； (2)写通项：； (3)整理指数：合并同类字母指数； (4)列条件：常数项、有理项、指定项列方程； (5)求：注意； (6)求项/系数：代回计算。 10.高频易错点 (1)混淆二项式系数与项的系数； (2)通项是第项，不是第项； (3)忽略的范围：； (4)求余数时出现负数，未转正； 考点一 二项式定理的正用、逆用 1．（2026高二·山西·期中）的展开式为______. 2．（2026高二·全国·课后作业）求的二项展开式． 3．（2026高二·江苏·寒假作业）求多项式的展开式． 4．（2026高二·全国·期末）求多项式的展开式. 5．（2026·北京房山·模拟预测）的二项展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）______. 7．（2026高二·山东枣庄·期中）（   ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆永川·模拟预测）设是正整数，表达式化简的结果是______ 9．（2026高三·安徽·开学考试）设，则__________. 10．（2026高三·全国·专题练习）设复数（是虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 考点二 二项展开式的通项的应用 11．（2026高二·重庆渝北·期中）的展开式中的常数项为（    ） A．20 B．15 C． D． 12．（2026·天津和平·模拟预测）的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 13．（2026高一·上海·期中）的二项展开式中的系数是________． 14．（2026高三·四川成都·期中）的展开式的中间项为___________． 15．（2026·陕西榆林·模拟预测）若的展开式中常数项为180，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 16．（2026高二·安徽芜湖·期中）的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D．1 17．（2026·北京密云·模拟预测）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 18．（2026高二·内蒙古巴彦淖尔·期中）二项式的展开式的第3项的二项式系数是（　　） A．21 B． C．84 D． 19．（2026高三·上海青浦·期中）在的二项展开式中，第四项是常数项，则______． 20．（2026高二·全国·课堂例题）的展开式中第7项为________． 21．（2026高二·安徽蚌埠·月考）的有理项共有（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．8 22．（2026高二·江苏南京·月考）已知在的展开式中. (1)求展开式中的常数项，并指出是第几项； (2)求展开式中的所有有理项. 23．（2026高二·全国·专题练习）已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 24．（2026高二·浙江杭州·期中）若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 25．（2026·四川泸州·模拟预测）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 考点三 求两个多项式积的特定项 26．（2026高二·安徽芜湖·月考）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 27．（2026·湖北武汉·模拟预测）在的展开式中，含项的系数为（   ） A．240 B． C．80 D． 28．（2026高二·重庆江津·月考）的展开式中的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 29．（2026高二·山东济宁·期中）的展开式中的系数为（    ） A．84 B． C．56 D．28 30．（2026高二·浙江·期中）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 31．（2026高二·福建厦门·月考）的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 32．（2026高三·四川成都·专题练习）的展开式中，含有的项的系数为（    ） A． B． C． D． 33．（2026·山西晋城·模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．24 34．（2026高三·山东泰安·月考）在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 35．（2026高二·黑龙江·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．7 B．15 C．30 D．65 36．（2026高三·湖北襄阳·月考）在展开式中的系数为（    ） A．-20 B．-30 C．-40 D．-50 37．（2026高二·江苏南京·月考）若的展开式中的系数为30，则（   ） A．9 B． C．10 D． 38．（2026高二·河北保定·期中）已知的展开式中的系数为20，则（    ） A．4 B． C．2 D．3 39．（2026·吉林白山·模拟预测）已知（）的展开式中的系数为13，则实数b的值为（   ）. A． B． C． D． 40．（2026高三·江苏无锡·期末）的展开式中，的系数是（    ） A．－2 B．2 C．12 D．16 考点四 三项展开式的通项的应用 41．（2026高二·江苏无锡·期中）的展开式共（   ） A．15项 B．21项 C．25项 D．31项 42．（2026高二·河北承德·月考）展开式中的系数为（    ） A．40 B． C．120 D． 43．（2026·四川南充·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 44．（2026高二·吉林四平·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 45．（2026高二·江苏宿迁·月考）展开式中含项的系数为（    ） A．240 B．242 C．246 D．244 46．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 47．（2026高二·全国·课堂例题）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 48．（2026高三·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 49．（2026高二·河南南阳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 50．（2026·辽宁丹东·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A． B．12 C． D．18 51．（2026高三·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 52．（2026·广东佛山·模拟预测）若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 考点五 求余问题 53．（2026高二·江苏南京·月考）除以的余数是（ ） A． B． C． D． 54．（2026高二·江苏盐城·月考）除以1000的余数为（   ） A．0 B．1 C．9 D．99 55．（2026高二·湖北·期中）计算除以所得的余数为（   ） A． B． C． D． 56．（2026高二·山东泰安·期中）除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 57．（2026高二·安徽安庆·月考）被7整除的余数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 58．（2026·安徽合肥·模拟预测）被7除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 59．（2026·河南南阳·模拟预测）今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．五 60．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知，则被10除的余数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 61．（2026·山东德州·模拟预测）除以7所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 考点六 整除问题 62．（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 63．（2026高二·江苏南京·月考）设，且，若能被13整除，则（   ） A．0 B．1 C．11 D．12 64．（2026高二·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 65．（2026高二·湖北黄冈·期末）设，且，若能被9整除，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 66．（2026高二·河南郑州·期末）若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 67．（2026高二·河北·期中）已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 考点七 近似值问题 68．（2026高二·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 69．（2026·江苏镇江·模拟预测）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 70．（2026·安徽滁州·模拟预测）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 71．（2026高三·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 72．（2026高二·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 73．（2026高二·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 74．（2026高三·辽宁·月考）已知，，，则下列排序正确的是（    ） A． B． C． D． 考点八 证明组合恒等式 75．（2026高三·全国·课后作业）求证： 76．（2026高三·全国·课后作业）求证： 77．（2026高三·全国·课后作业）求证： 78．（2026高三·全国·专题练习）证明：． $