精品解析：江苏宿迁市沭阳县2025～2026学年度第二学期学情检测 八年级数学

2025~2026学年度第二学期期中学情检测 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 调查某品牌烟花爆竹燃放安全质量 B. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 C. 了解国内外观众对电影《哪吒之魔童闹海》的观影感受 D. 检测神舟二十号飞船返回舱的零部件 2. 为了检查一批灯管的使用寿命，从中抽取了20只进行检测，以下说法正确的是（ ） A. 这一批灯管是总体 B. 样本容量是20只 C. 每只灯管是个体 D. 20只灯管的使用寿命是总体的一个样本 3. 下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A. 平行四边形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形 4. 下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（ 　） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号是或的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，点E在上，F，G分别是和的中点，连接，，，则的长是（ ） A. B. C. 4 D. 2 8. 如图，在中，，相交于点，，．过点作于点，记长为，长为．求的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 无法求出 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 若事件A为必然事件，则事件A发生的概率________． 10. 把多项式分解因式的结果是______． 11. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为______． 12. 如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于______°． 13. 将40名学生的身高数据分成4个小组，其中第一、二、三组的频数分别是7，8，15，则第四组的频率是______． 14. 如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为______． 15. 如图，梯形中，，，，则为______． 16. 如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 17. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是______． 18. 如图，在中，分别是各边的中点，是高，连接，．有如下结论：①四边形是平行四边形；②；③；以上结论正确的有______． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为　　　　　事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； （3）从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值． 20. 为更好的引导学生，促进学生身心健康和全面发展，某校对全体学生进行了心理健康评估．为了解学生的成绩分布情况，随机抽取了部分学生，对他们的成绩进行调查，并分为了四组：分（表示大于等于60同时小于70，后续同样）为A组，分为B组，分为C组，分为D组．张老师根据调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中随机抽取的学生总人数为________； （2）请通过计算补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中组所在扇形心角的度数． 21. 若长方形的长为，宽为，周长为，面积为，求的值． 22. 如图，在中，点分别在上，且．连接，．求证：四边形是平行四边形． 23. 如图，在▱中，为的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出经过点的一条线段，使； （2）在图2中，作出一条经过点且与平行的直线． 24. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，连接．若，． （1）求菱形的面积； （2）求的长． 25. 如图，在梯形中，，E，F是下底上的两点，．连接．求证：． 26. 如图，在中，点是上的任意一点（不与点重合），过点平行于的直线l分别与和的平分线交于点，连接，． （1）求证：； （2）如图，点是的中点，若，判断四边形的形状，并说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，直线轴，已知，，四边形为矩形，是的中点，点是直线上一个动点． （1）______； （2）若点是线段上一个动点，当为等腰三角形时，请求出所有符合条件的点的坐标； （3）在平面上取一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 28. 探索与应用： （1）如图1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）． ①在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？请证明你的结论． ②如图2，若连接，则之间的数量关系是什么？请证明你的结论． （2）如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为8的菱形”，改为时，其他条件不变，四边形的面积是______． （3）如图4，在中，，D为中点，，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请直接写出线段的长是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中学情检测 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 调查某品牌烟花爆竹燃放安全质量 B. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 C. 了解国内外观众对电影《哪吒之魔童闹海》的观影感受 D. 检测神舟二十号飞船返回舱的零部件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，普查适用于结果至关重要、必须全面检查的情况，而抽样调查适用于对象数量多、具有破坏性或无法全面调查的情形． 根据抽样调查和普查的定义以及适用范围分析即可． 【详解】解：A、烟花爆竹燃放安全质量检测具有破坏性，需抽样调查，不符合题意； B、 端午节粽子质量调查对象数量庞大，适合抽样调查，不符合题意； C、 国内外观众观影感受调查范围广，无法全面普查，适合抽样调查，不符合题意； D、 航天器零部件检测要求绝对精确，必须全面检查以确保安全，适合普查，符合题意， 故选：D． 2. 为了检查一批灯管的使用寿命，从中抽取了20只进行检测，以下说法正确的是（ ） A. 这一批灯管是总体 B. 样本容量是20只 C. 每只灯管是个体 D. 20只灯管的使用寿命是总体的一个样本 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查总体、个体、样本及样本容量的概念．总体指研究对象的全体；个体是总体中的每个研究对象；样本是从总体中抽取的部分个体；样本容量是样本中包含的个体数目，不带单位． 【详解】解：A选项错误，总体应为这批灯管的使用寿命，而非灯管本身． B选项错误，样本容量是20，而非“20只”，容量不带单位． C选项错误，个体是每只灯管的使用寿命，而非灯管实体． D选项正确，20只灯管的使用寿命是从总体中抽取的样本． 故选：D． 3. 下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A. 平行四边形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的对角线性质，根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的对角线特征来逐一判断选项即可． 【详解】解：A.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等且垂直，A选项不符合题意； B.正方形的对角线相等且互相垂直平分，B选项符合题意； C.菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，C选项不符合题意． D.矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，D选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：是整式的乘法，故A不符合题意； 不是化为整式的积的形式，故B不符合题意； 是因式分解，故C符合题意； 不是化为整式的积的形式，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是因式分解的含义，掌握“利用因式分解的定义判断是否是因式分解”是解题的关键． 5. 在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号是或的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，利用概率公式直接计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个不透明的装有个完全相同的小球的口袋中，随机摸出一个小球，共有种等可能结果，其中标号是或的倍数的结果共有种， ∴标号是或的倍数的概率为， 故选：． 6. 如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 7. 如图，，，点E在上，F，G分别是和的中点，连接，，，则的长是（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据全等三角形的性质得出，，从而得出，，，，根据中点坐标公式得出，，根据两点间距离公式求出答案即可． 【详解】解：以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴轴， ∴，，，， ∵F，G分别是和的中点， ∴点的坐标为，G点的坐标为， 即，， ∴． 8. 如图，在中，，相交于点，，．过点作于点，记长为，长为．求的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 无法求出 【答案】B 【解析】 【分析】作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 若事件A为必然事件，则事件A发生的概率________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据概率公式计算概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据必然事件发生的概率为1直接作答即可． 【详解】解：事件A为必然事件，则表示事件A一定发生， 根据概率的基本性质，必然事件的概率为1， 即． 故答案为：1． 10. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．先确定公因式，再提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为______． 【答案】1000 【解析】 【分析】本题考查了利用样本频率估计总体，设鱼塘中有鱼条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得， 解得， 所以估计鱼塘中有鱼条． 故答案为：． 12. 如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于______°． 【答案】69 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴． 13. 将40名学生的身高数据分成4个小组，其中第一、二、三组的频数分别是7，8，15，则第四组的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，用40减去第一、二、三组的频数得出第四组的频数，然后再求出频率即可得到答案． 【详解】解：， ∴第四组的频数是10， 则第四组的频率是． 故答案为：． 14. 如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，由勾股定理得出，从而可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴ 15. 如图，梯形中，，，，则为______． 【答案】1.8 【解析】 【分析】利用同底等高的三角形面积相等可得，利用和差关系进行转化得，同理，即可解决问题． 【详解】解：梯形中， ， ∴， ∴， ， 同理， ∴． 16. 如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴. 17. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由菱形对角线互相垂直平分可得，则可由勾股定理求出，证明四边形是矩形，则，进一步求出即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∵于点F，于点G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E是边上一点（不与B，C重合）， ∴当时，取得最小值，， 此时， ∴， 则， ∴设的长为x，则x的取值范围是． 18. 如图，在中，分别是各边的中点，是高，连接，．有如下结论：①四边形是平行四边形；②；③；以上结论正确的有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，继而得到四边形是平行四边形，结论①正确；根据三角形中位线定理和直角三角形斜边中线定理得到，结论③正确；同理可证，根据判定，得到，结论②正确． 【详解】解：∵分别是的中点， 是的中位线， ，， 四边形是平行四边形，结论①正确； 分别是边的中点， 是的中位线， ， ，是的中点， ， ，结论③正确； ，同理可得， 在和中， ， ， ，结论②正确． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为　　　　　事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； （3）从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值． 【答案】（1）不可能 （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此进行判断即可． （2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式构造方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵写有“县”字的卡片有3张， ∴事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为不可能事件； 【小问2详解】 解：由题意可知，写有“美”字的卡片有（张）， ∴随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为； 【小问3详解】 解：由题意可知：， 解得． 20. 为更好的引导学生，促进学生身心健康和全面发展，某校对全体学生进行了心理健康评估．为了解学生的成绩分布情况，随机抽取了部分学生，对他们的成绩进行调查，并分为了四组：分（表示大于等于60同时小于70，后续同样）为A组，分为B组，分为C组，分为D组．张老师根据调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中随机抽取的学生总人数为________； （2）请通过计算补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中组所在扇形心角的度数． 【答案】（1）60 （2） 解：补全频数分布直方图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图和扇形统计图有关知识，从图表得到数据和数据之间的数量关系是解决问题的关键． （1）根据A组扇形统计图所占的百分比，结合频数分布直方图中A组的人数可求出调查的总人数． （2）根据B组圆心角的度数求出B组所占的百分比，依据（1）的总人数，算出B组频数和D组频数，然后补全频数分布直方图即可解题． （3）根据组的频数占比与对应的圆心角占圆周角的占比相等，即可求出圆心角． 【小问1详解】 解：由题意可知：（人）， 故答案为：60． 【小问2详解】 解：组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 【小问3详解】 解：扇形统计图中组所在扇形圆心角的度数为：． 21. 若长方形的长为，宽为，周长为，面积为，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据长方形的周长和面积得到与的值，再将所求式子提取公因式因式分解，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴ ． 22. 如图，在中，点分别在上，且．连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，得，，然后通过线段的和与差得，再由平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】略 23. 如图，在▱中，为的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出经过点的一条线段，使； （2）在图2中，作出一条经过点且与平行的直线． 【答案】（1） 线段即为所求作； （2） 如图，直线即为所求作． 【解析】 【分析】本题是无刻度直尺作图题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）连接与交于点，由平行四边形的性质可知，点为的中点，则是的中位线，即； （2）连接与交于点，由平行四边形的性质可知，点为的中点，连接并延长交于点，则点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，则四边形是平行四边形，射线交于点，直线即为与平行． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，连接．若，． （1）求菱形的面积； （2）求的长． 【答案】（1）菱形的面积为； （2）． 【解析】 【分析】（）由菱形的性质可得，，，然后通过直角三角形的性质可得，所以，最后由菱形的面积为即可求解； （）由（）得，，，则，所以，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为； 【小问2详解】 解：由（）得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，在梯形中，，E，F是下底上的两点，．连接．求证：． 【答案】 证明：∵梯形中，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】先证明梯形是等腰梯形，再证明，即可求证． 【详解】略 26. 如图，在中，点是上的任意一点（不与点重合），过点平行于的直线l分别与和的平分线交于点，连接，． （1）求证：； （2）如图，点是的中点，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴； （2） 解：四边形是正方形，理由如下， 由（）得，， ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，直线， ∴， ∴四边形是菱形， 由（）得：， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（）由直线，得，又平分，所以，则，故有，同理，从而求证； （）先证明四边形是平行四边形，又，直线，则，证明四边形是菱形，由（）得，所以，则，从而可证四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，直线轴，已知，，四边形为矩形，是的中点，点是直线上一个动点． （1）______； （2）若点是线段上一个动点，当为等腰三角形时，请求出所有符合条件的点的坐标； （3）在平面上取一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或或或 （3）点的坐标为或或或或 【解析】 【分析】（）根据三角形的面积公式求解即可； （）根据等腰三角形定义分三种情况，然后据矩形的性质和勾股定理即可求解； （）分三种情况，分别画出图形，利用菱形的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点是直线上一个动点， ∴点的纵坐标为， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 如图，当时， ∴， ∴； 如图，当时， 此时点在垂直平分线上， ∴； 如图，当或时， 设， ∴， ∴，即， 根据平方根定义可得：， ∴，， 综上可得：当为等腰三角形时，点的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：如图，当时， 或 ∴， ∴或； 如图，当时， ∴点在垂直平分线上，且关于对称， ∴，； 如图，当时， 或 ∴， ∴或； 综上可得：以，，，四点为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或或． 28. 探索与应用： （1）如图1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）． ①在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？请证明你的结论． ②如图2，若连接，则之间的数量关系是什么？请证明你的结论． （2）如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为8的菱形”，改为时，其他条件不变，四边形的面积是______． （3）如图4，在中，，D为中点，，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请直接写出线段的长是______． 【答案】（1）①解：不会发生变化， 证明：∵四边形是正方形， ∴，，，， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 即在旋转过程中，四边形的面积不会发生变化； ②解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）①证明，根据三角形和四边形面积间的关系即可证明结论；②利用全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论； （2）在上截取，连接，证明，利用菱形的性质和勾股定理等知识求出，再利用四边形和三角形的面积之间的关系即可得到答案； （3）设则分点E，F分别在线段上和点E在线段的延长线上两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：①略 ②略 【小问2详解】 上述结论仍然成立； 在上截取，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 【小问3详解】 解：设则 当点E，F分别在线段上时，作交的延长线于点，则， ∴ ∵D为中点， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， 当点E在线段的延长线上时，如图， 把补成矩形，延长交的延长线于点，连接则，此时， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 解得 综上可知，线段的长是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $