精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市科尔沁区初中毕业生学业水平考试模拟试题 数学

2026年科尔沁区初中毕业生学业水平考试模拟试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 内蒙古牛肉干以内蒙古草原散养牛的瘦肉为原料，肉质紧实，咸香有嚼劲．若每包内蒙古牛肉干的标准质量为，超出标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，则下面四个包装中最接近标准质量的是（　　） A. B. C. D. 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为4，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. －4 D. －8 6. 如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 6 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若的面积为，则的面积为（ ） A. 8 B. C. 20 D. 8. 若点A(x1，y1)和B(x2，y2) 都在一次函数y=(k)x+2(k为常数)的图像上，且当x1<x2时，y1>y2，则k的值可能是（ ） A. k=0 B. k=1 C. k=2 D. k=3 二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 9. 春暖花开，学校准备组织学生走进辽河公园，开展春游踏青活动．小明去商店购买食品，若购买2个单价为元的面包和3瓶单价为元的饮料，所需钱数用代数式表示为_____元． 10. 如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于_____． 11. 如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为____（保留一位小数，参考数据：，） 12. 如图，正方形和正方形的顶点、、在同一条直线上，且，，点、分别是线段和的中点，则的长为___________． 三、解答题（共6个小题，共64分） 13. 计算或化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 14. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 整理1：学生在心理健康课后测试成绩由小到大记录，部分如下：， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 【数据处理和应用】 （1）任务1：测试成绩大于或等于80为优良，则心理健康课前测试成绩的优良率为 ； （2）任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是 ，E组对应扇形的圆心角是 ；（结合整理1和整理2回答） （3）任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.3分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 15. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元；辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划用不多于万元购进以上两种型号的新能源汽车共辆（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利元，销售辆B型汽车可获利元，问：进A型，B型汽车各几辆，全部售出后能获得最大利润？最大利润是多少？ 16. 如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，交于，延长交直线于点，并且，． （1）求证：平分； （2）求的半径； （3）如果时，求出线段，和围成几何图形面积．（用的代数式表示，结果保留） 17. 小明是个热爱数学的学生，平时总喜欢把数学知识用到生活里．周末，小明帮妈妈准备午饭，看到家里常用的炒菜锅图1，他发现锅的侧面线条十分规整，仔细观察后联想到数学中的抛物线，发现其侧面可抽象为图2中的几何图形，其中经过锅心与盖心的纵截面是两段抛物线组成的封闭图形．他测量得知：锅口与锅盖贴合面的直径为，锅深，锅盖的高度是锅深的．小明以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系，点，均在轴上．请你和小明一起解决下列问题： （1）请求出锅盖所在抛物线的函数表达式； （2）小明求出锅底所在抛物线的函数表达式为．妈妈准备蒸鱼，需要往锅里加水如图3，当水深达到时，求水面的直径的长；（保留根号） （3）小明拿出一个直径为，高为的蒸屉图4，将其平放在锅中如图5，蒸屉边缘，两点恰好落在炒菜锅所在的抛物线上（点，关于轴对称，），这个蒸屉能否让锅盖正常盖严？说明理由． 18. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长， （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点； ①求证：； ②当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年科尔沁区初中毕业生学业水平考试模拟试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 内蒙古牛肉干以内蒙古草原散养牛的瘦肉为原料，肉质紧实，咸香有嚼劲．若每包内蒙古牛肉干的标准质量为，超出标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，则下面四个包装中最接近标准质量的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最接近标准质量意味着偏离标准的程度最小，只需比较各偏差值的绝对值，绝对值越小，越接近标准质量． 【详解】解：，，，， ∵， ∴的绝对值最小，偏差最小，是最接近标准质量的选项． 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，，故A，B，C错误， ，故D正确． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方及同底数幂乘法的运算法则分别计算各选项，即可判断正误． 【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意． 5. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为4，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. －4 D. －8 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义可得，再由反比例函数的图象经过第一、三象限，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 又∵的面积为4， ∴，即， ∴ 6. 如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由作图过程可知，是的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，进而证明，推出，可得是斜边上的中线，进而即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是斜边上的中线， ∵， ∴． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若的面积为，则的面积为（ ） A. 8 B. C. 20 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出，根据位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ∴平行， ∴， ， ， ． 8. 若点A(x1，y1)和B(x2，y2) 都在一次函数y=(k)x+2(k为常数)的图像上，且当x1<x2时，y1>y2，则k的值可能是（ ） A. k=0 B. k=1 C. k=2 D. k=3 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数y随x的增大而减小，可得，即可求解． 【详解】∵当x1<x2时，y1>y2 ∴一次函数y=(k)x+2的y随x的增大而减小 ∴ ∴ ∴k的值可能是0 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是利用一次函数图象上点的坐标特征，求出． 二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 9. 春暖花开，学校准备组织学生走进辽河公园，开展春游踏青活动．小明去商店购买食品，若购买2个单价为元的面包和3瓶单价为元的饮料，所需钱数用代数式表示为_____元． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出购买面包和饮料的费用，再将两者相加得到总钱数. 【详解】解：购买个单价为元的面包，所需费用为元； 购买瓶单价为元的饮料，所需费用为元； 总费用为两种商品的费用之和，因此所需钱数为元. 10. 如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用简单概率公式求解． 【详解】解：根据电路图可知，只有当开关单独闭合时，小灯泡才发光， ∴小灯泡发光的概率为． 11. 如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为____（保留一位小数，参考数据：，） 【答案】3.7米##3.7m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是掌握锐角三角函数定义及特殊三角函数值，根据在中，，得，计算得米，再根据在中，，即可求得的值，然后根据，计算即可得出答案． 【详解】解：在中，米，，， ， (米)， 在中，，， ， ， （米）， 故答案为：3.7米． 12. 如图，正方形和正方形的顶点、、在同一条直线上，且，，点、分别是线段和的中点，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据正方形的性质求得，，根据勾股定理求得，再根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：连接，，交直线l于点G， ∵正方形中，， ∴，， ∵正方形的边长， 在中，，， ∴， ∵点M、N分别是线段和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共6个小题，共64分） 13. 计算或化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质，负整数指数幂的运算法则，特殊三角函数值先化简，再计算； （2）先化简分式，再将x代入求值. 【小问1详解】 解：（1）原式 ； 【小问2详解】 （2）原式• ， 当时，原式． 14. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 整理1：学生在心理健康课后测试成绩由小到大记录，部分如下：， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 【数据处理和应用】 （1）任务1：测试成绩大于或等于80为优良，则心理健康课前测试成绩的优良率为 ； （2）任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是 ，E组对应扇形的圆心角是 ；（结合整理1和整理2回答） （3）任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.3分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 【答案】（1） （2）80.5，72 （3）达到“效果显著” 【解析】 【分析】（1）根据直方图，用测试成绩大于或等于80的人数除以总人数进行求解即可； （2）将数据从大到小排序，利用中位数的计算公式进行计算即可，用360度乘以E组所占的比例，进行求解即可； （3）求出课前测试的平均分，进而求出心理健康课后的平均分比心理健康课前高出的百分比，进行判断即可. 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：E组的人数为， 将数据从大到小排序，第25和第26个数据分别为81和80， ∴中位数为； ； 【小问3详解】 解：心理健康课前测试成绩的平均分为： ， ， ∴达到“效果显著”． 15. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元；辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划用不多于万元购进以上两种型号的新能源汽车共辆（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利元，销售辆B型汽车可获利元，问：进A型，B型汽车各几辆，全部售出后能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每辆A型汽车的进价是万元，每辆B型汽车的进价是万元 （2）购进辆A型汽车，辆B型汽车时，能获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是万元，每辆B型汽车的进价是万元，根据辆A型汽车、辆B型汽车的进价共计万元；辆A型汽车、辆B型汽车的进价共计万元，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组即可出结果； （2）设该公司购进辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为元，则该公司购进辆B型汽车，又因为总利润每辆A型汽车的销售利润A型汽车的购进数量每辆B型汽车的销售利润B型汽车的购进数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每辆A型汽车的进价是万元，每辆B型汽车的进价是万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元． 【小问2详解】 解：设该公司购进辆A型汽车，则该公司购进辆B型汽车，全部售出后获得的利润为元 根据题意得：25m＋，解得m≤， 利润， 即， ， 随的增大而增大， 由题意知，当时，取得最大值，最大值为（元）， 此时（辆）． 答：购进辆A型汽车，辆B型汽车时，能获得最大利润，最大利润是元． 16. 如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，交于，延长交直线于点，并且，． （1）求证：平分； （2）求的半径； （3）如果时，求出线段，和围成几何图形面积．（用的代数式表示，结果保留） 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵直线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，则，因此，结合等腰三角形的性质可得，命题得证； （2）由（1）可知，，由圆周角定理可得，则，从而证明，则，由此计算得，，最后计算半径即可； （3）连接、，容易判断所求面积为扇形与的面积之和．容易证明，从而计算出，，进一步计算出．由圆周角定理可得，，再根据扇形面积公式求出，最后求和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴的半径为； 【小问3详解】 解：如图，连接、， 由图可知，所求几何图形的面积即为扇形与的面积之和， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴围成几何图形面积为． 17. 小明是个热爱数学的学生，平时总喜欢把数学知识用到生活里．周末，小明帮妈妈准备午饭，看到家里常用的炒菜锅图1，他发现锅的侧面线条十分规整，仔细观察后联想到数学中的抛物线，发现其侧面可抽象为图2中的几何图形，其中经过锅心与盖心的纵截面是两段抛物线组成的封闭图形．他测量得知：锅口与锅盖贴合面的直径为，锅深，锅盖的高度是锅深的．小明以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系，点，均在轴上．请你和小明一起解决下列问题： （1）请求出锅盖所在抛物线的函数表达式； （2）小明求出锅底所在抛物线的函数表达式为．妈妈准备蒸鱼，需要往锅里加水如图3，当水深达到时，求水面的直径的长；（保留根号） （3）小明拿出一个直径为，高为的蒸屉图4，将其平放在锅中如图5，蒸屉边缘，两点恰好落在炒菜锅所在的抛物线上（点，关于轴对称，），这个蒸屉能否让锅盖正常盖严？说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：这个蒸屉能让锅盖正常盖严．理由如下： 由条件可知蒸屉直径，高， ∵点，关于y轴对称， ∴， ∴，， ∵， ∴这个蒸屉能让锅盖正常盖严． 【解析】 【分析】（1）根据已知点的坐标，设出抛物线的交点式解析式，代入点坐标求出系数，进而得到解析式 （2）根据水位高度确定的值，代入求出，进而得到水面直径； （3）根据蒸屉的高度与炒菜锅(含锅盖)的高度比较即可判断锅盖能否盖上． 【小问1详解】 解：由条件可知， ∵以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系，直径为，点，均在轴上， ∴，，， 设锅盖所在抛物线的函数表达式为，过点， ∴， 解得：， ∴， ∴锅盖所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即， ∵锅底所在抛物线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴水面的直径的长为； 【小问3详解】 略 18. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长， （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点； ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1） 解：由旋转的性质可知，， ， ， ； （2） （3） ①证明：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，进而推出，，即可证明； （2）利用相似三角形性质，以及直角三角形性质推出，利用勾股定理推出，进而得到，再利用相似三角形性质，以及勾股定理求解，即可解题； （3）①利用平行线性质，等腰三角形性质推出，再结合旋转性质，以及角的和差分析求证，即可证明； ②延长、相交于点，过点作于点，证明，设，则，结合全等三角形性质，勾股定理，以及等腰三角形性质分别求出，再证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质以及勾股定理是解题关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 证明①， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②延长、相交于点，过点作于点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $