精品解析：四川阆中中学校2025-2026学年高一下学期期中学习质量检测数学试题

阆中中学校2026年春高2025级期中学习质量检测 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨旭明 审题人：李小雄） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 长度相等的向量叫相等向量 B. 零向量的长度是0 C. 若，则 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】B 【解析】 【详解】长度相等，且方向相同的向量叫做相等向量，所以A不正确； 零向量的长度为0，所以B正确； ，只能说明与的长度相等，并不能确定其方向，所以C不正确； 共线向量也叫做平行向量，只需保证方向相同或相反即可， 所以并不一定在同一条直线上，所以D不正确. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以与共线，所以A不正确； 因为 ，所以和共线，所以B不正确； 因为 ，所以与共线，所以C不正确； 若和共线，则 ， 所以，且，所以无解，所以和可作为基底. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于，则， 于是. 5. 如图，在平行四边形中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 6. 已知向量满足与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义、向量的模的公式计算即可. 【详解】因为向量满足与的夹角为， 所以. 7. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可 【详解】因为，所以，且，所以，则 故选：A． 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量模的坐标运算求解可判断A；根据平面向量垂直的定义和数量积的坐标运算可判断B；根据平面向量夹角的坐标运算公式求解可判断C；根据投影向量的定义求解可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：若，则，又， ，， 所以，故C正确； 对于D：若若，则，， 则在上的投影向量为，故D错误． 故选：BC. 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】，所以A正确； ，所以B不正确； ，所以C正确； ，所以D正确. 11. 已知函数部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数部分图象求出函数解析式，由可得选项A错误；由可得选项B错误；根据图象平移“左加右减”的原则可得选项C错误；数形结合可得选项D正确. 【详解】由图象可得，，，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴. 当时，，选项A错误. 当时，，选项B错误. 将函数的图象向左平移个单位得到函数 的图象，选项C错误. 当时，， ，， 函数在上的图象如下： 由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 即方程在上有两个不相等的实数根，选项D正确. 故选：ABC. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量.若，则__________. 【答案】-1 【解析】 【详解】由题意得， ，解得. 13. 函数的最小值是__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先根据二倍角的余弦公式化简函数，然后根据二次函数的性质确定最小值. 【详解】.设 ， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值为. 14. 若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的零点表达式，再结合给定区间，分析零点个数与的关系，从而确定的取值范围. 【详解】令 ，根据余弦函数的性质得， ， 解得 . 当时，； 当时，； 当时，； 因为函数在区间内有两个零点，即， 所以要大于等于，才能保证在区间内；同时要小于不在区间内， 所以实数的取值范围是. 四､解答题（共5题，共计77分，根据答题步骤､格式､结果是否正确给分，体现出答题过程与演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）若，，求的值； （2）若，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量坐标运算以及相等向量计算即可得； （2）借助向量垂直可得数量积为0，解出，再结合向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 由题设，所以， 因为，所以，解得，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 即，解得，所以， 故． 16. 可知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正切函数二倍角公式及两角和正切公式即可求解； （2）由正弦函数、余弦函数二倍角公式，及弦化切即可求解. 【小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 由正弦、余弦二倍角公式得： ． 由于，则， 所以， 即. 17. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. （1）求实数的值； （2）若，，求； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量加法得到，由于三点共线，则存在实数，使得，然后建立方程求得； （2）由（1）写出，然后由得到向量坐标，由坐标求得模长； （3）由（2）得到，坐标，由得到坐标，设点坐标得到点坐标，即可得到坐标，由平行四边形得到，建立方程解出点坐标. 【小问1详解】 ， 当三点共线时，存在实数，使得， 即， 即，解得. 【小问2详解】 由（1）可知， ∴， ∴. 【小问3详解】 ，， ∴， 设，∴， ∴， 在平行四边形中，，即，解得， ∴. 18. 已知函数（）. （1）化简，并求函数的对称中心； （2）求在区间上的值域； （3）若，，求的值. 【答案】（1），对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式，可得，再由正弦函数的性质，即可求出对称中心； （2）根据条件，求出的范围，再由正弦函数的性质，即可求解； （3）根据条件求得，由平方关系求出，再由余弦的差角公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由，解得，所以的对称中心为. 【小问2详解】 当时，，所以， 则，所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 因为，得到， 又，则，所以， 则. 19. 如图，在边长为1的正方形中，点，分别在边，上． （1）若点为边上的一个靠近点的三等分点，且，求； （2）若的面积加1等于两条直角边之和， ①求的大小； ②设，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】（1） （2）①；②，此时的取值的集合为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，利用，结合两角差的正切公式计算可求的值； （2）①设，由已知可得，计算可得，可求的大小；②由题意得：，利用两角差的余弦公式以及二倍角的正余弦公式可求的最小值及取得最小值时的集合． 【小问1详解】 因为点为靠近点的三等分点， ， 因为，所以； 【小问2详解】 ①设， 由的面积加1等于两条直角边之和可得，化简可得． 又， 于是 ，则 所以的大小为． ②由题意得：， 所以． 而 ， ， ，， 当，即时，取最大值为， 因此的最小值为， 取最小值时的集合为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中中学校2026年春高2025级期中学习质量检测 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨旭明 审题人：李小雄） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 长度相等的向量叫相等向量 B. 零向量的长度是0 C. 若，则 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 2. （ ） A. B. C. D. 3. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量.若，则__________. 13. 函数的最小值是__________. 14. 若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为__________. 四､解答题（共5题，共计77分，根据答题步骤､格式､结果是否正确给分，体现出答题过程与演算步骤） 15. 已知向量，，. （1）若，，求的值； （2）若，求与的夹角的余弦值. 16. 可知． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. （1）求实数的值； （2）若，，求； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 18. 已知函数（）. （1）化简，并求函数的对称中心； （2）求在区间上的值域； （3）若，，求的值. 19. 如图，在边长为1的正方形中，点，分别在边，上． （1）若点为边上的一个靠近点的三等分点，且，求； （2）若的面积加1等于两条直角边之和， ①求的大小； ②设，求的最小值以及取得最小值时的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $