四川省阆中中学校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

秘密★启用前 阆中中学校2025年春高2024级期中学习质量检测 数 学 试 题 （满分：150分 时间：120分钟 命题教师：李丹 审题教师：王正全） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（每小题5分，共40分） 1． 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2． 已知，则（    ） A． B． C．- D． 3． 已知平面向量，若，则实数（    ） A． B．1 C．4 D．或1 4． 已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5． 在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设 ，则（   ）． A． B． C． D． 6． 在 中，若，则（    ） A． B． C． D． 7． 如图，在 中，点是的中点，过点的直线分别 交直线，于不同的两点，若， ，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 8． 已知，函数在上单调递增，且对任意，都有 ，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每个小题6分，共18分,全对得6分，部分选对得部分分，选错不得分） 9． 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，，则的取值范围为 C． D．若，，则 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象的对称轴方程为 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 11．已知函数若关于的方程有四个实数根，， ，（其中为实数，），则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，若与的夹角为钝角，则的范围为 ． 13．已知，则 ． 14．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角 为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地 ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 四、解答题（共77分） 15．（13分）设两个非零向量与不共线． （1） 若．求证：A、B、D三点共线； （2） 若和共线，求实数k的值． 16．（15分）已知，其中 （1） 求； （2） 求． 17．（15分）已知 的内角的对边分别是，且. （1） 求； （2） 若，求 的面积. 18．（17分）已知向量，，函数， 相邻对称轴之间的距离为． （1） 求的解析式； （2） 求函数单调递增区间和对称轴方程； （3） 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得 的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m 的取值范围． 19．（17分）定义：若非零向量，函数的解析式满足， 则称为的伴随函数，为的伴随向量， （1） 若向量为函数的伴随向量，求； （2） 若函数为向量的伴随函数，在 中，，且 ，求证：． （3） 若函数为向量的伴随函数，关于的方程 在上有且仅有四个不相等的实数根，求 实数的取值范围． 阆中中学校2025年春高2024级期中学习质量检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B A A C A AB AC 题号 11 答案 ABD 7．C【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 8．A 【详解】由，得，依题意， ，解得（*）. 又又，则，故由（*）得，时，即①. 由，得，因对任意，都有， 则，解得， 因为，故时，即②. 综合①，②，可得的取值范围为. 9．AB 10．AC 【详解】对于A，函数的周期为，故A正确； 对于B，的单调增区间为， 即， 当时，的单调增区间为，因为，故B错误； 对于C，令，则，故C正确； 对于D，函数向右平移个单位长度得到，故D 11．ABD 【详解】对于A，如图，结合函数的图象，令，得或或， 若直线与函数的图象有4个不同交点， 由图象知，故A正确； 对于B，令，解得， 令时，对称轴为，故与关于对称成立， 由函数的对称性质得，解得，故B正确； 对于D，由题意得， 因为，所以，， 则，得到， 即，得到，整理得，故D正确； 对于C，结合图象可知，于是， 当且仅当时取等，但本题无法取等，解得， 即，因此结合重要不等式得到，故C错误．故选：ABD． 12． 【详解】由向量，且与的夹角为钝角，可得，解得， 当向量与共线时，可得，解得， 所以向量与的夹角为钝角时，的取值范围为. 13．-1 【详解】将平方可得①， 将平方可得②， 将①②两式相加可得，所以. 14． 【详解】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有，其中． 所以当即时，． 15．【详解】（1），， 与共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线．（6分） （2）和共线，存在实数，使．（9分） 与不是共线的两个非零向量，，即．（13分） 16．【详解】（1）由题意得：，，（4分） ，（7分） （2），，（11分） ，（13分） .（15分） 17．【详解】（1）根据正弦定理， ，（4分）因为，所以，因此有，（6分）因为，所以；（7分） （2）由余弦定理可知： ，解得，（11分） （舍去），因此 的面积为.（15分） 18．【详解】（1），（1分） ，，（3分） 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以.（5分） （2）令，则， 所以的单调递增区间为;（8分） 令, 解得, 即的对称轴方程为.（10分） （3）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，（11分） 再向左平移个单位得，（12分） 令，则，所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是（17分） 19．【详解】（1）因为，（2分） 则，故.（4分） （2）依题意，， 由可得，（5分） 因，则，故，解得.（7分） ，① 因，则， ②+①可得：，②-①可得， 两式相比可得：，即.（10分） （3）依题意，， 由可得， 即，（12分） 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象.（14分） 因方程在上有且仅有四个不相等的实数根（15分） 等价于函数与函数的图象在上有四个交点. 由图知，当且仅当或时，两者有四个交点. 故实数的取值范围为.（17分） 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$