2026届高考数学核心考点预测专项训练

2026高考数学核心考点预测 目录 2考点1：集合 3考点2：复数 5考点3：平面向量 8考点4：二项式定理 11考点5：统计与概率小题 28考点6：三角函数的图像与性质 30考点7：三角恒等变化 34考点8：数列小题 37考点8：圆锥曲线小题 63考点9：立体几何小题 88考点10：函数与导数小题 107考点11：解三角形解答题 112考点12：数列解答题 118考点13：立体几何解答题 128考点14：概率与统计解答题 147考点15：解析几何解答题 166考点16：函数与导数解答题 考点1：集合 （2026·云南昆明二模）已知集合 ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】先解分式不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】 ，即 ， ，解得 ， 又因为集合 ，则 EMBED Equation.DSMT4 . （2026·山西二模）集合 ， ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【详解】由 ，其中 ， 又 ， 则 ． （2026·甘肃金昌三模）设集合 ， ，则集合 中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】因为 ， ， 所以 ，集合 中的元素个数为3． （2026·湖南怀化二模）已知集合 ， ．若 ，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先通过解一元二次不等式得集合 ，再根据并集的定义可得. 【详解】由 ，解得 ，所以 . 因为 ，所以 ，如图： 所以 ． （2026·安徽三模）已知集合 ，集合 ，则 的真子集个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算 【详解】由题意得 ，集合 ，则 ． 则 的真子集个数为 ． 考点2：复数 （2026·河北二模）已知 为虚数单位，若复数 ，则 在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，先利用复数的乘法法则化简复数，再根据复平面内点的坐标特征判断其所在象限. 【详解】解：由 ，所以 在复平面内对应的点的坐标为 ，因此，点在第一象限. （2026·河南郑州二模）已知复数 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算 【详解】因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . （2026·河北保定三模）复数 的实部与虚部的和为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】将复数进行化简写成 的形式，实部为 ，虚部为 ，进行计算即可． 【详解】由 可知：实部为2，虚部为1，故和为3． （2026·湖南长沙一模）已知复数z满足 ，则z的共轭复数 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】∵ ，∴ ，∴ . 考点3：平面向量 一、选择题 （2026·福建宁德二模）已知向量 .若 ，则 （    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【详解】由向量 ,可得 ， 再由 ，则 所以 ，解得 . （2026·湖南一模）已知平面向量 ， ，若 在 上的投影向量为 ，则 （   ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、利用数量积求参数、求投影向量 【详解】由题意可得 ， 因为 ，所以有 ， 即 ，解得 或 ． （2025·海南模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用数量积求参数、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、已知数量积求模 【分析】根据向量数量积的坐标公式计算求出 的值，代入坐标，即可求其模长. 【详解】因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ，则 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：B. （2026·陕西渭南二模）已知向量 ， ，若 ，则 （    ） A． B．4 C．9 D．11 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【详解】因为向量 ， ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 . （2026·陕西榆林模拟预测）在平行四边形ABCD中，点 是对角线BD上靠近点 的三等分点，设 ， ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用 【详解】 由题意可知： ， 则向量减法的三角形法则，可得： ， 又因为 ， ，所以 EMBED Equation.DSMT4 . 填空题 （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知平面向量 ，若 ，则 _____． 【答案】 或 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直的坐标运算求参数，进而分类求解即可. 【详解】根据题意 ，又 ，则 ， 所以 ，解得 或 . 当 时， ，则 ； 当 时， ，则 . 故答案为： 或 . （2026·山东临沂·一模）已知向量 ， ，则向量 与 的夹角正切值为_________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】先求得 ，然后利用向量的夹角公式求得向量 与 的夹角的余弦值，进而求得其正切值. 【详解】 ， 所以 ，设向量 与 的夹角为 ， 则 ， 由于 ，所以 ，所以 . （2026·河北邢台·二模）已知向量 ， 满足 ， ，则 ______． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】根据平面向量坐标表示的加减法及数量积公式即可求解． 【详解】由题得 ，又 ，作差得 ， 所以 ， ， 所以 ． 考点4：二项式定理 （2026·天津东丽·二模）在 的展开式中． 的系数为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【详解】 ， ， 使 可得 ，则 的系数为 . （2026·甘肃张掖·模拟预测） 的展开式中 的系数为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用二项展开式的通项公式分析 的展开式中含 项的系数，含 项的系数即可得解. 【详解】因为 的展开式通项为 ， 其中含 项的系数为 ，含 项的系数为 ， 所以 的展开式中 的系数为 . （2026·新疆喀什·一模） 的展开式中含 的项为____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】解法一：将三项展开式变为 ，根据 和 展开式的通项乘积可求得结果；解法二：直接根据组合数公式计算多项式的系数可得. 【详解】方法一:因为 ， 二项式 展开式的通项为 ， 二项式 展开式的通项为 ， 所以多项式 展开式的通项为 ， 令 ，得 ，且 ， 所以 或 或 或 或 . ①当 时， 的展开式中含 的项为 ； ②当 时， 的展开式中含 的项为 ， ③当 时， 的展开式中含 的项为 ； ④当 时， 的展开式中含 的项为 ； ⑤当 时， 的展开式中含 的项为 . 综上，得 的展开式中含 的项为 . 方法二： 可看成6个 相乘， 的展开式中含 的项有以下三种情况： ① 个 多项式取 ， 个 多项式取 乘积得到，即 ； ② 个 多项式取 ， 个 多项式取 ， 个 多项式取 乘积得到， 即 ； ③ 个 多项式取 ， 个 多项式取 乘积得到， 即 ； 综上所述， 的展开式中含 的项为 . 已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求指定项的系数、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】先由正态分布的对称性得到a的值，然后写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】随机变量 ，则图像关于 对称，且 ， 由对称性可得 ，解得 ， 的通项公式为 EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时得到展开式的常数项为 . 考点5：统计与概率小题 一、单选题 （2026·重庆一模）某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（    ） A．6人 B．16人 C．22人 D．28人 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由抽样比即可计算求解. 【详解】由题可得抽样比为 . 所以小学教师应抽取 人. 故选：C （2026·河南开封二模）某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的4000张图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为 ，现采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则 （   ） A．80 B．100 C．120 D．160 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【详解】已知四类图片的数量之比为 ，则厨余垃圾图片占总图片数量的比例为 ， 有害垃圾图片占总图片数量的比例为 . 因为采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，所以抽到的厨余垃圾图片数量为 ， 抽到的有害垃圾图片数量为 . 由题意可得 ，解得 . （2026·河北邢台二模）某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第 个数据， 对乙车间产量排序后，第6个数据是 月份的产量，不是6月份，A错误； 甲车间产量极差约为 ，乙车间产量极差约为 ，甲的极差小于乙的极差，B错误； 观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C错误； 第80百分位数为 ，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据， 从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确. （2026·天津东丽一模）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（    ） A． B．成绩在 的频数为35 C．成绩中位数在区间 内 D．成绩平均数在区间 内 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】利用频率分布直方图与数字特征的关系，逐个求解判断即可. 【详解】对于选项A，由频率分布直方图中所有频率之和为1，可列出方程 ， 解得， .正确. 对于选项B，成绩在 的频率为： ， 所以频数为 ，正确. 对于选项C，前3个小长方形的面积和为 ， 而 的频率是 .所以前4个小长方形面积和大于 . 即中位数一定出现在 内，正确. 对于选项D，平均数为每个区间组中值乘以对应频率之和， 即 . 所以D不正确. （2026·吉林长春二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为 的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位： ），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间 内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出 ，进而求出长度在 内的频率． 【详解】由题意知， ，整理得 ，解得 . 所以任取一个垫片为合格品的概率为： . （2026·陕西榆林模拟预测）有8位评委给一名考生打分，满分为100分．将8位评委的打分从低到高排列为36，42， ．若这8个分数的极差等于中位数，则该组数据的第60百分位数是（   ） A．62 B．63 C．64 D．65 【答案】C 【难度】0.68 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的中位数 【详解】 数据 共有8个，为偶数个， 中位数是中间两个数60和 的平均数，即为 ， 极差是最大值98减去最小值36，即极差为62． 这8个分数的极差等于中位数， ，解得 ， 所以这组数据为36，42，51，60，64，73，87，98．计算 ， 所以第60百分位数是第5个数，即64. （2026·云南曲靖一模）一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2，则（    ） A．中位数可能为3 B．众数可能为4 C．极差可能为5 D．方差可能为1 【答案】D 【难度】0.57 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】由该组数据中位数为3时得到该组数据情况不满足和为8即可判断A；由该组数据和为8得到数据4出现的次数情况即可分析求解判断B；由极差为5得到该组数据情况不满足和为8即可判断C；通过举例可判断D. 【详解】设该组数据从小到大排列为 ，且 ， ， 则由题 ， 对A，当该组数据中位数为3时，则该组数据满足 ， 则该组数据的和 ，与该组数据的和为8矛盾，故A错误； 对B，因为该组数据和为8，所以该组数据4的个数至多为一个， 当该组数据有一个数据4时，则另三个数据的和为4，故该组数据只能为 ， 此时该组数据众数为1，故该组数据众数不可能为4，故B错误； 对C，若该组数据的极差为5，则该组数据至少有一个6和一个1， 则该组数据的和 ，与该组数据的和为8矛盾， 所以该组数据极差不可能为5，故C错误； 对D，当该组数据为 时， 该组数据方差为 ，故D正确. （2026·重庆万州模拟预测）若一组样本数据 ， ， ， 的平均数为3，方差为2；另一组样本数据 ， ， ， ，3的方差为 ，则 的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、根据方差、标准差求参数 【分析】根据方差公式代入求解，即可得出答案. 【详解】 ， ， ， 这组样本数据的平均数为3，可得 ，则 ， 新增一个数据3后，数据变为 ， 则新数据的平均数为 ， 已知原数据 的方差为 2 ，根据方差公式可得 ， 则 ， 所以新数据的方差为， , 则 ，化简可得 ，解得 . （2026·山东德州二模）一组不全相等的数据 的平均数为 ，方差为 ；设新数据 的平均数为 ，方差为 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【详解】由题意得 的平均数为 ，故 ，故AB错误； 又 ，而 不全相等，故 ， 所以 ，故C正确，D错误. （2025·四川成都一模）三次产业增加值占国内生产总值的比重是衡量一个国家或地区经济发展阶段、产业结构优化程度以及未来经济发展潜力的重要指标、其中第一产业包括农业、林业、渔业等；第二产业涵盖制造业、建筑业等；第三产业则包括服务业、金融业、信息技术等.如图为我国2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重的等高堆积条形图，则（    ） A．2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重逐年递增 B．2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9% C．2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为55.1% D．2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第二产业 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】选项A，依据表中数据求出2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重，通过数据判断选项A错误；选项B，利用中位数的定义得到结论；选项C，求出平均数得解；选项D，分别求出每个产业的极差，从而得解. 【详解】选项A， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为 ， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为 ， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为 ， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为 ， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为 ， 从数据上看，2020-2021年第一产业增加值占国内生产总值比重递减，2021-2022年第一产业增加值占国内生产总值比重持平，2022-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重递减， 故选项A错误； 选项B，2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重依次为 ， 将这 个数从小到大排列为 ，则这 个数的中位数为 ， 故2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9%，故答案B正确； 选项C，2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重依次为 ， 则这 个数的平均数为 ， 2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为 ，故答案C错误； 选项D，2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重依次为 ， 这 个数中的最小值为 ，最大值为 ，故极差为 ， 2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重依次为 ， 这 个数中的最小值为 ，最大值为 ，故极差为 ， 2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重依次为 ，这 个数中的最小值为 ，最大值为 ，故极差为 ， 故2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第三产业， 故选项D不正确. 故选：B. （2026·河北保定三模）某校高三某班共50人参加某次数学测试，该班学生成绩（单位：分）的方差为30，男生成绩的平均数为86，方差为16，女生成绩的平均数为81，方差为36，则该班的女生人数是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】根据平均数求参数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】先设男、女生的人数占比，将已知条件转化为方程或方程组，最后求解. 【详解】设该班男生占比为 ，则女生占比为 ，其中 ， 已知男生成绩的平均数 ，方差 ， 女生成绩的平均数 ，方差 ， 全班成绩的总平均数 ， 因为全班成绩的总方差 ， 即 ， 化简得 ， 解得 或 （舍）， 所以该班女生人数为 人. 多选题 （2026·湖南湘潭·三模）PM2.5是空气中的细小污染物，其浓度（单位： ）越高，空气质量越差，浓度越低，空气质量越好.我国现行PM2.5国家标准规定：若PM2.5日平均浓度不超过35，则当天空气质量等级为“优”；若PM2.5日平均浓度超过35但不超过75，则当天空气质量等级为“良”.某城市一周内PM2.5日平均浓度如下表，则（    ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 PM2.5日平均浓度 34 27 43 23 45 26 19 A．该城市这周共有5天的空气质量等级为“优” B．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的 分位数为27 C．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的极差为28 D．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为31 【答案】AD 【难度】0.7 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【详解】由题可知，该城市这周共有5天的空气质量等级为“优”，A正确. 该城市这周PM2.5日平均浓度的数值按从小到大的顺序排列为 ， 因为 ，所以该城市这周PM2.5日平均浓度数值的 分位数为26，极差为 ，B不正确，C不正确. 该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为 ，D正确. （2026·福建宁德·二模）某市生态环境局记录了4月1-7日连续7天的PM2.5预测误差（预测误差 实际浓度-预测浓度，单位： ），如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差 2 0 3 2 2 则以下结论正确的是（    ） A．这组数据的中位数是 B．这组数据的众数是2 C．若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的平均数不变 D．若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的方差变小 【答案】BCD 【难度】0.72 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【详解】将数据从小到大排序得： . 对于A，最中间数据是2，所以这组数据的中位数是 ，故A错误； 对于B，2出现三次， 出现两次，其余一次，故众数为2，故B正确； 对于C，前7天预测误差的平均数为 ， 若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的平均数为 ， 所以加入该数据后的平均数不变， 原数据的方差 ， 若第8天的预测误差为1，则新数据的方差为 ， 所以加入该数据后的方差变小，故CD正确. （2026·山西晋城·模拟预测）已知随机变量 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.68 【知识点】方差的性质、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的概率求解思路，以及方差的性质，结合已知条件，对选项逐一分析，即可选择. 【详解】对A：因为随机变量 ，所以正态曲线关于直线 对称，所以 ，故A正确； 对B：因为 ，且 ， 所以 ，故B错误； 对C： ，故C正确； 对D： ，故D错误． 故选：AC. （2026·四川遂宁·模拟预测）下列命题正确的是（    ） A．若样本数据 ， ， 的方差为2，则数据 的方差为8 B．若 ， ， ，则 C．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 ，求得经验回归方程为 ，则 的值分别是 和4 D．在一组样本数据 ， ， ， ，（ ， 不全相等）的散点图中，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的线性相关系数为 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响、非线性回归、相关系数的意义及辨析、利用全概率公式求概率 【详解】原数据方差 ，设 ， 则 ，故A正确； ， 故 B 正确； 模型 取对数得 ， 令 ，则回归方程为 ， 已知 ，故 ， ，即 ， ，故C正确； 所有样本点都在直线 上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为 ， 直线斜率为负，故相关系数为 ，故D错误. （2026·内蒙古兴安·二模）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量 ，则 B．若事件 相互独立，则 C．对具有线性相关关系的变量 ，其经验回归方程为 ，若样本数据的中心点为 ，则实数 的值是4 D．根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 .依据 的独立性检验 ，可判断变量 与 不独立 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】独立性检验的基本思想、独立事件的乘法公式、正态曲线的性质、根据样本中心点求参数 【分析】根据正态分布曲线的对称性，可判定A正确；根据 ，可判定B不正确；将样本中心代入回归方程，求得 的值，可判定C错误；根据 ，拒绝“ 与 的独立”的原假设，可判定D正确. 【详解】对于A，随机变量 ，可得 ，即正态分布曲线关于 对称， 因为 ，所以 ，所以A正确； 对于B，若事件 相互独立，可得 ， 只有事件 和事件 互斥时，满足 ，所以B不正确； 对于C，对具有线性相关关系的变量 ，其经验回归方程为 ， 若样本数据的中心点为 ，可得 ，解得 ，所以C错误； 对于D，根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ， 依据 的独立性检验 ，可得 ， 此时拒绝“ 与 的独立”的原假设，可判断变量 与 不独立，所以D正确. （2026·陕西铜川·三模）下列说法正确的是（   ） A．已知 ， 之间的关系满足 ，假设 ，若 ， 之间具有线性相关关系，且与 对应的线性回归方程为 ， B．已知随机变量 ，则 C．若 ， ，则 D．若随机变量 的概率分布为 且 是常数，则 【答案】AB 【难度】0.62 【知识点】线性回归、利用随机变量分布列的性质解题、独立事件的乘法公式、二项分布的均值 【详解】对A， ，则 ， ，故 ，故A正确； 对B， ，故B正确； 对C， ，故 ，故C错误； 对D，由 可知， ， 而 ，解得 ，故D错误. 填空题 已知随机变量 X 服从正态分布 ，且 ，若随机变量 ， ，则 __________. 【答案】0.3/ 【难度】0.73 【知识点】均值的性质、正态曲线的性质 【分析】由变量间关系求得 即 ，然后根据正态分布的对称性求概率. 【详解】因为 ， ，所以 ，即 ， 所以 . 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 等于___________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】由随机变量 ，可知正态分布曲线关于均值 对称， 已知 ，因此 ， 由对称性可得： 和 关于 对称， 因此 ， . （2026·江西新余·二模）已知随机变量 ，且 ，则 ___________ 【答案】3 【难度】0.82 【知识点】正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】对于正态分布 ，其概率密度曲线关于 对称， 所以 ，解得 . （2026·福建莆田·模拟预测）有6个球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机取出一个，取出的球不放回，直到6个小球都取完为止．记第 次取出球的号码为 ，在 和 至少有一个大于 的条件下，数列 是递增数列的概率为___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算条件概率 【分析】设事件 为“在 和 至少有一个大于 ”，事件 为“数列 是递增数列””，根据组合数可求数列 的种数，再由条件概率公式可求题设中的概率. 【详解】设事件 为“在 和 至少有一个大于 ”， 事件 为“数列 是递增数列”，则 ， 因为在 和 至少有一个大于 ， 故数列 是先减后增或递增或递减数列， 考虑排列 左侧的元素的个数及种类，则不同的排列有 ， 故 ，故 . （2026·湖南张家界·三模）现有一个基于数字变换的游戏.初始时黑板上写有数字2，每轮游戏会对该数字进行一次独立变换，每一次变换有 的概率将其擦去并写上原先数字加1的数，否则将其擦去并写上原先数字2倍的数，设 轮变换后黑板上的数字为 ，已知在 的前提下，第1轮变换前后数字之差为1的概率为 ，则 __________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】设该事件为 ，设“3轮变换后 ”为事件 ，利用列举法，求得事件 的路径及其概率，得到 ，结合条件概率的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为初始数字为2，可得“第1轮变换前后数字之差为1”等价于“第1轮执行加1变换”， 设该事件为 ，设“3轮变换后 ”为事件 ， 列举所有3轮变换的路径，满足事件 的路径及其概率分别为： 加1､加1､乘2概率为 ，加1､乘2､乘2概率为 ， 乘2､加1､乘2概率为 ，乘2､乘2､加1概率为 ， 乘2､乘2､乘2概率为 ，求和得 ， 事件 包含前两条路径，其概率 ， 因为 ，由条件概率公式可得 ， 整理得 ，解得 或 ，结合 可得 . （2026·山东德州·模拟预测）某挑战赛设置了 个连续关卡，分别记为第1关卡，第2关卡，⋯，第 关卡，每个参赛团队的选手人数均为 ，每2名选手组成一个双人挑战组，共 个双人挑战组，每个关卡均由其中1个双人挑战组进行挑战，各关卡参赛选手均不相同，关卡挑战从第1关卡开始依次挑战，每个关卡至少有1名选手挑战成功（即该关卡挑战成功），才能进入下一个关卡的挑战.若某参赛团队这 个连续关卡均挑战成功，则该参赛团队的挑战赛通关.已知参赛团队 的每名选手挑战成功的概率均为 ，且各选手的挑战结果相互独立，若在 挑战赛通关的情况下，记 内挑战不成功的选手总人数为 ，则 __________. 【答案】8 【难度】0.32 【知识点】计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】求出双人挑战组关卡挑战成功的概率，再结合条件概率公式求出每个关卡挑战不成功人数的期望，进而列式求解. 【详解】依题意，当参赛团队 挑战赛通关时，每个关卡至少有1名选手挑战成功， 在 挑战赛通关的情况下，设第 个双人挑战组的挑战不成功的选手人数为 ， 的可能值为 ，挑战不成功的选手总人数 ，于是 ， 双人挑战组关卡挑战成功的概率 ，则 ， ， ， 所以 . （2026·江苏南京·一模）设正整数 ，其中 ， ．记 ．从集合 中随机抽取一个数 ，则 的概率为________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】实际问题中的计数问题、计算古典概型问题的概率 【详解】因为 ，所以 表示的二进制数最多有11位，即 ， 而 为 的二进制表示中1的个数，又 ，且 ， 当 时， 取得最大值为 ，故满足条件的 均不超过 2000， 所以 ，对应的 的个数为 ， ，对应的 的个数为 ， ，对应的 的个数为 ， 综上，满足条件的 的个数为 ， 所以 的概率为 . 考点6：三角函数的图像与性质 （2026·福建宁德二模）若 的最小正周期为 ，且 ，则 （    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【详解】由题可得： ，解得： ， 所以 ，又因为 ， 又 ，所以 ，所以 ，所以 . （2026·湖南湘潭三模）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列区间中， 单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据平移变换得到 解析式，结合正弦型函数性质求解判断即可. 【详解】由题意知， ， 令 ，得 ， 则 的单调递减区间为 ． 对于A：当 时， ，A正确. 对于BCD：无 满足条件，故BCD错误. （2026·天津和平二模）已知函数 （ ）在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、二倍角的余弦公式 【分析】先利用二倍角公式将函数 化简，再根据正弦函数的单调性求出 的单调递减区间，最后结合已知条件确定实数 的取值范围即可. 【详解】因为 ，所以： ， 因为 （ ）的单调递增区间就是 的单调递减区间， 由 ， ，解不等式得： ， ， 所以 的单调递减区间为 ， ， 又因为 在区间 上单调递减，当 时，单调递减区间为 ， 则有 ， 由 得 ，由 得 ， 因为 ，所以 ， 因此，实数 的取值范围为 . 考点7：三角恒等变化 一、选择题 （2026·吉林白山模拟预测）若 ，则 （   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 可得 . 因为 所以 . （2026·陕西榆林三模）已知 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【详解】由 ，得 ，解得 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . （2026·福建厦门模拟预测）已知 ， ，则 （） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【详解】因为 所以 所以 所以 即 又 ，所以 即 由 得 EMBED Equation.DSMT4 （2026·重庆北碚模拟预测）已知角 满足 ， ，则 （    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】先将已知角换成新元，方便化简，化简已知条件后，再求 与 的比值. 【详解】设 ， ， 则 ， ， ， ， 所以 . 二、填空题 （2026·广西桂林·一模）若 ，且 ，则 _____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题 【分析】利用降幂公式化简原式后，通过分解二倍角余弦、展开两角差正弦提取公因式，结合α的范围得到 ，平方后整体计算得到 . 【详解】因为 ，所以 原等式即 ， 整理得： . 又 ， ， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 ，因此得 两边平方得 ， 整理得： . （2026·北京石景山·一模）已知 ，则 __________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值 【详解】由 ，可知 ， ， ． （2026·四川成都·二模）已知 ， ，则 __________ 【答案】 / 【难度】0.8 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】对已知的两个式子左右两边平方，相加后利用同角三角函数基本关系，再结合两角差的正弦定理的逆用，代入即可求解. 【详解】由题知 ①， ②， 得 ， 即 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ，所以 . 考点8：数列小题 一、选择题 （2025·海南·模拟预测）数列 满足 ，对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、数列不等式恒成立问题 【分析】构造等比数列得 ，由题意对于任意的 恒成立，故只需求出 即可. 【详解】由题意令 ，所以 ，对比 ，可得 ， 所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列， 所以 ， 所以 ， 对于任意的 恒成立，即对于任意的 恒成立， 即对于任意的 恒成立， 显然当 增大时， 减小，此时 增大， 所以 . 故选：A. 已知数列 满足 ， ．若对于任意 ，都有 成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列不等式恒成立问题、根据数列的单调性求参数 【详解】因 ， ，且对于任意 ，都有 成立， 则 ，可得 ， 由 可得 ，即得 ，即 . 又由 及 可得 ，则 ， 易知 为递增数列，则 ，且 ， 因函数 在 上为增函数，则 ， 由题意可知数列 单调递增且有上界2，故极限存在，设 ，则 . 对 取极限得 ，即 . 函数 在 上单调递增，故 ，解得 ， 故实数c的取值范围是 . 二、填空题 （2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则 ______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由 ，可设 ， ，再利用 即可求解. 【详解】因为等差数列 ， 的前n项和分别为 ， ，所以 ， 因为 ，所以可设 ， ， ， 则 ， ，所以 . （2026·福建宁德·二模）记数列 的前 项和为 ，若 是等差数列， ，则数列 的通项 __________. 【答案】 【难度】0.6 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】记 ，由题意可得 ，从而得 ，根据 ，求解即可. 【详解】因为 是等差数列， ， 记 ，则 是等差数列， 所以 ， 设数列 的公差为 ，则 ，解得 ， 所以 ， 即 ，解得 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 ，满足 ， 所以 . 已知数列 和 分别是公差为 的等差数列和公比为 的等比数列，且 ，若数列 的前5项和与数列 的前4项和相等，则 ______. 【答案】76 【难度】0.7 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【详解】因为公比为 的等比数列，可得 ，因此 ， 则 ， ， 故 ，则 ， 易知 在 上单调递增，且 ， 故 ，则 ， ，则 ． 考点8：圆锥曲线小题 一、选择题 （2025·河北模拟预测）已知椭圆 ： 的焦点为 ， ，椭圆 上有一点 处于第一象限，且 ，则 的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】向量加法法则的几何应用、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】设 ，根据向量加法的平行四边形法则得到 ，再根据其模长可得关于 的等式，联立椭圆方程即可求出 的值，再利用纵坐标的绝对值求三角形面积即可. 【详解】 设 ， 为坐标原点，由 ， ，与 ， ， . 故选：C. （2026·河南开封模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交C于P，Q两点，若 为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设等边 的边长为 ，根据椭圆的定义，求得 和 ，在 中，利用余弦定理，列出方程，求得 ，结合椭圆离心率的定义，即可求解. 【详解】设等边 的边长为 ，可得 的周长为 ， 由椭圆的定义，可得 ，所以 ，解得 ， 则 ， 在 中，由余弦定理得 ， 即 ，整理得 ，即 ， 所以椭圆 的离心率为 . （2026·山东青岛一模）已知椭圆 上有两个动点 满足 ， 为线段 的中点，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设 ， ， 为椭圆的右焦点，则 ，再根据 代入数据即可求得答案． 【详解】设 ， ， 为椭圆的右焦点， 由题意，椭圆的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 同理可得， ， 而 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ，解得 ，则 的最大值为1. （2026·黑龙江哈尔滨三模）设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，过 的直线与椭圆 交于A，B两点，若 ， 的面积是 面积的4倍，则椭圆 的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.61 【知识点】三角形面积公式及其应用、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的通径问题 【分析】根据椭圆的性质，利用已知面积关系推出 ，从而得出 即为通径，结合已知条件求出 的关系，进而利用 求出 的关系，从而求解离心率． 【详解】 椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ， ， ， ， ，故 轴， 是椭圆的通径，即 ， ， ，故 ， ，解得 ，即 ， ． （2026·安徽芜湖二模）有公共焦点 的抛物线 与椭圆 相交于 两点，且 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.41 【知识点】椭圆的对称性、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的对称性的应用 【分析】根据题意得出 的位置关系，利用已知条件求出相应的点，代入方程中建立关于 的方程，解齐次方程，再由椭圆的离心率范围求解即可. 【详解】因为 为抛物线与椭圆的公共焦点，且抛物线与椭圆相交于 两点， 由抛物线和椭圆对称性以及 可知， 轴， 设点 在第一象限，如图所示： 令 ，此时有 ， 又抛物线 的焦点为 ，所以 ， 所以抛物线方程为 ， 因为点 在抛物线上，所以 ，所以 ， 即点 ，又点 在椭圆上， 所以 ， 又 ，所以 ，所以 即 ，又 ，所以 ， 令 ，则 ，解得 （舍去）或 ， 即 ， 又 ，所以 . （2026·福建厦门模拟预测）已知P为椭圆E： （ ）上的动点，M，N为圆 上的两个动点，若 的最大值为 ，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题 【详解】如图所示：若 是定点，则直线 与圆相切时， 最大， 此时 ，又 ， 所以 最小时， 最大， 又P为椭圆E： （ ）上的动点， 所以 最小时，点 为椭圆的短轴的端点， 又因为 的最大值为 ，所以 的最大值为 ， 所以 ，所以 ， 所以E的离心率为 （2026·陕西西安三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交 于 ， 两点，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的弦长 【分析】根据椭圆的定义、余弦定理、勾股定理列方程，利用整体法求得 . 【详解】设 ， ，则根据椭圆的定义可知 ， ， 且 ， 又 ，因为 ， 故由余弦定理有 ， 整理得 ①. 又因为 ，故由勾股定理有 ， 整理得 ②， 由①②解得 ，所以 . 故选：A 多选题 （2026·云南昆明·二模）已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 是 上任意一点， 为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A． 的离心率为 B．点 到 的两条渐近线的距离之积为 C．若 ，则 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线方程得出 计算离心率判断A，应用点到直线距离计算判断B，应用垂直关系计算判断C，应用向量关系结合余弦定理计算判断D. 【详解】由双曲线 化为标准方程形式： 可得： ， 对于A选项： 的离心率 ，故A正确； 对于B选项： 的两条渐近线方程为： ， 设 ，则点 到两条渐近线的距离分别为 ， 所以 ，故B错误； 对于C选项： 因为 且点 为 的中点，所以 ，故C正确； 对于D选项：因为 为 的中点，可得 ，两边平方结合余弦定理得出 ， 又因为 ， 所以 ，故D正确； （2026·河南南阳·二模）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，长轴长为4，点 在椭圆内部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为 时， 的最大值为3 C．存在点 ，使得 D．当离心率不小于 时， 的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由点 在椭圆内部求得 的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与 的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D. 【详解】由椭圆 的长轴长为4，得 ，由点 在 内部，得 ，又 ，则 ， 对于A，由 ，得 ，则离心率 ，A正确； 对于B，由 ，得椭圆 的半焦距 ，由 ， 得 ，因此 的最大值为 ，B正确； 对于C，由 ，得 ，而 ，则 ， 以原点为圆心， 为半径的圆在椭圆 内，因此不存在 使得 ，C错误； 对于D，由椭圆 的离心率不小于 ，得 ，则 ， 于是 ， ， 因此 ，当且仅当 时取等号，符合题意，D正确. （2026·河北保定·三模）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，其准线 与 轴交于点 ，过点 的直线交 于 两点，过点 且垂直于 的直线交 于点 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【详解】对于A， 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 其准线 与 轴交于点 ，抛物线 的准线方程为 ， 解得 ，A正确； 对于B，设过 的直线 的方程为 ， 与 联立可得 ，得 ， 设 ， ，由韦达定理得 ， ， 所以 ， ， ， ，B正确； 对于C，如下图： 过点 且垂直于 的直线 ，可得 ， ， ， ，所以 ，C错误； 对于D，由C的结论可知 ，设直线 的方程为 ， 点 的坐标为 ，计算弦长 ， 计算点 到直线 的距离为 ，根据三角形面积公式 ， 当且仅当 (即 与 轴垂直)时取等号，D正确. （2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线 的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为 ，则下列说法正确的是（   ） A．当直线AB垂直于x轴，且 时，则抛物线方程为 B． C．存在直线AB，使得以线段AB为直径的圆过原点 D．若 ，点 ，则 为钝角 【答案】ABD 【难度】0.6 【知识点】数量积的坐标表示、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】A：求出点 坐标，代入抛物线方程；B：利用几何性质得出 ；C：设 ，通过 判断；D：通过 判断. 【详解】A选项， ，则 ，得 ， 故抛物线方程为 ，A正确； B选项，因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，则 ， 同理可得， ，则 ，故B正确； C选项，直线 的斜率不为0，故设 ， ， 联立 ，得 ， 则 ， ， 故 ，即 为钝角， 则原点 一定在以线段AB为直径的圆内，故C错误； D选项，由C选项可知， 因为 ，所以 ， 则 ， 因为 ，所以 ， 故 为钝角，故D正确. （2026·内蒙古赤峰·三模）定义离心率是 的椭圆为“黄金椭圆”．已知“黄金椭圆” 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为 ，上、下顶点分别为 ，则下列说法正确的是（    ） A．短半轴长为 B． 成等比数列 C． D． 的外接圆半径为 【答案】BCD 【难度】0.55 【知识点】等比中项的应用、求椭圆的焦点、焦距、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】结合椭圆的几何性质，可判定A错误；求得 ，得到 ，可判定B正确；由 ，结合 ，可判定C正确；证得 ，结合直角三角形的性质，可判定D正确． 【详解】对于A，由椭圆 ，可得 ，即 ， 因为椭圆 离心率 ，则 ，所以 ， 短半轴长为 ，不等于 ，所以A错误； 对于B，由选项A知： ，可得 ， 则 ，即 ，所以 成等比数列，故B正确； 对于C，由 ， 由选项B知 ，可得 ，即 ， 因为 所以 ，故C正确； 对于D，由 ， 可得 ，即 ， 则直角 的外接圆半径 ，故D正确． （2026·湖南湘西·三模）已知 为坐标原点， 为抛物线 上一点，过 的焦点 的直线交 于 ， 两点（不与 点重合），过 ， 分别作 的准线的垂线，垂足分别为 ， ，则下列说法正确的是（   ） A． 的最小值为2 B． C．直线 的斜率之和为定值 D．若直线 与 的倾斜角互补，则直线 的斜率为 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由 点坐标可求出 的方程，设出直线 的方程后联立曲线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理；利用弦长公式计算可得A；利用抛物线定义可计算出 、 ，即可得B；举出反例可得C；表示出直线 与 的斜率后，计算即可得. 【详解】因为 ，所以 ，所以 的方程为 ， 设 ，直线 的方程为 ， 联立 ，整理得 ，所以 ， 对于A， ，所以 的最小值为4，故 错误； 对于B， ， ， 所以 ，故B正确； 对于C，当直线 的斜率不存在时，直线 的斜率之和为0， 当取 时，可得 ，此时直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，直线 的斜率之和为 ，故C错误； 对于D，因为直线 与 的倾斜角互补， 所以直线 与 的斜率均存在，且 ， 所以 ，代入 ， 化简得 ，所以 ， 所以 ，故直线 的斜率为 ，故D正确． （2026·山西临汾·二模）已知双曲线 ： （ ）的上、下焦点分别为 ， ，下顶点为 ， 是双曲线 上第一象限内的动点.当 时， 的面积为3，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C．若过点 作双曲线 的切线与渐近线交于 ， 两点，则 的最小值为4 D． 【答案】AD 【难度】0.32 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】选项A，焦点三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考察焦点在 轴上，渐近线方程.选项D，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到结论. 选项C，特殊点求解 的值计算判断C. 【详解】对于A：由双曲线定义得 ，平方得 ， 在 中由余弦定理得， ， 代入 ，整理得 ，即 ， 的面积 ， 得 ，即 ， 又因为 ，所以 ，则离心率 ，A正确； 对于选项B：焦点在 轴的双曲线渐近线为 ，得 ，B错误； 对于选项D： ，设 ，满足 ， 设 ， ，则 ， 代入 ，化简得 ， 设 ，同理得 ，且 ，故 ，即 ，D正确； 对于选项C：设点 为双曲线C上任意一点，过点P的直线 与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点， 设 ，因为 ，则 . 又可得双曲线渐近线方程为： ，将渐近线方程与直线方程联立， 可得 或 ， 则 ， . 则 ，则 的最小值不是4，C选项错误. 三、填空题 （2026·河北·二模）已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上位于 轴上方的一点，直线 交 于另一点 ， 且 ，则 的离心率为_______. 【答案】 / 【难度】0.55 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆定义和余弦定理可构造方程，利用 表示出 的长度，再利用余弦定理构造关于 的齐次式即可求得离心率. 【详解】 设 ，则 ， 由椭圆定义可知： ， ， 由余弦定理得： ， 整理可得： ， （舍）或 ， ， ， ， ， ，即 ， 的离心率 . （2026·湖南湘潭·三模）已知 是椭圆 和抛物线 的公共焦点， 是 的另一个焦点， 是 与 的交点，若 是等腰直角三角形，则 的离心率为__________． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、抛物线定义的理解 【分析】过 作 准线的垂线，设垂足为 ，通过 是等腰直角三角形，结合抛物线和椭圆定义即可求解. 【详解】如图，因为 是 的公共焦点， 是 的另一个焦点，所以 的准线经过点 ． 根据对称性，不妨令 在第一象限． 因为 是等腰直角三角形，所以 ． 过 作 准线的垂线，垂足为 ，则 是等腰直角三角形， 则 ．又 ， 所以 ，即 ． 设 ，则 ， 则 的离心率为 ． （2026·河北沧州·二模）已知双曲线 EMBED Equation.DSMT4 的左、右焦点分别为 ，点 在 的右支上，若 ，且直线 与 的一条渐近线垂直，则 的离心率为_______. 【答案】 【难度】0.5 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用焦点到渐近线的距离为 构造直角三角形，得到 ，再结合正弦定理、双曲线定义和余弦定理建立 和 的关系，即可求得离心率. 【详解】由题意可得 ，如图，不妨设点 在第一象限， 与 的渐近线 交于点 ， 因为直线 与 的渐近线 垂直， 所以点 到直线 的距离为 ， 在 中，因为 ，所以 ，所以 . 由 ，得 ， 在 中，由正弦定理可得 ，即 ， 故 ， 由双曲线的定义可得： ，故 ， 所以由余弦定理可得： ， 即 ，得 ，所以 . （2026·山东青岛·二模）已知平面内两点 ， 与 交于点 ．若 ，则 的面积为___________． 【答案】 【难度】0.38 【知识点】椭圆定义及辨析、数量积的运算律、平面向量基本定理的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】利用椭圆的定义结合已知条件求出椭圆方程，设 ，利用焦半径公式结合相似比求出点 坐标，进而求出 ，最后利用三角形面积公式计算求解． 【详解】已知 ，由椭圆定义可知， 在以 为焦点的椭圆上， 则 ，故 ， ， 椭圆方程为 ， 则 ， 由 得 ， ， 设 ，离心率 ， 由焦半径公式得 ， 则 ①， 由 得 ②， ， 联立①②可得 ， 由 得 ，相似比为 ， 则 在 上，分 的比为 ， ， ， ， ， ， ， 由相似比得 ， 由焦半径公式得 ， ， ， ， ，化简得 ， 则 ，变形可得 ， ， ． （2026·山东菏泽·二模）已知椭圆 ： ，曲线 ，若曲线 与椭圆 在第一象限内有两个交点 ， ，且直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为________. 【答案】 【难度】0.35 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】先设交点 坐标,利用曲线 方程作差结合 斜率求出 ,再对椭圆用点差法得到 关系式,借助 与 的等量代换化简,结合椭圆 的关系,推出 比例进而求出椭圆离心率. 【详解】设 ， ， ，由 在 上. 得 ， ， 两式作差得： . 即 ， 直线 斜率 ，解得 . 又 在椭圆 上，故 ， ， 两式作差得： ， 因式分解得： ， 化简得 ，代入 ，得 . 由 代入 ，得 将 代入上式： 因 ，约去得 ，即 . 又 ，代入得 ，化简得 . 即 ，故椭圆离心率 . （2026·江苏·二模）已知椭圆 的右焦点为 ，经过坐标原点 且斜率 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，设 的中点为 ， 的中点为 ，以线段 为直径的圆经过点 ，则 的离心率的取值范围________. 【答案】 【难度】0.32 【知识点】轨迹问题——圆、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】由题意可得点 在圆 上，设 ，圆与椭圆联立方程组结合 可得 ，根据 代入解不等式可得 ，进而可得离心率的取值范围. 【详解】由题意知， ， 又因为 是 的中点，所以 ， 所以点 在以原点为圆心，半径为 的圆上，即 ， 设 ，联立 ，解得 ， 因为 ，所以 ，即 ， 所以 且 ，所以 ， 又因为 ， 所以 ， ， 令 ，则 ，即 ， 解得 ，即 ，所以 ， 所以椭圆 的离心率 .    （2026·山西晋城·一模）过直线 上一动点 （点 不在 轴上）作抛物线 的两条切线，两条切线与 轴分别交于点 ，则 的外接圆面积的最小值为__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、抛物线中的三角形或四边形面积问题、求抛物线的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】 的焦点为 ，抛物线方程可改写为 ，则 ， 设两条切线分别为 ，切点分别为 ，如下图： 则 ， 令 ，可得 ．联立 的方程，可得 ， 所以 ，则 ，所以 ， 同理 ， 则 的外接圆以 为直径，又 ， 所以 外接圆面积的最小值为 ． （2026·浙江·二模）已知双曲线 ，左顶点为 ，过点 作双曲线 的两条切线，切点分别为 ， （ 在 的上方），设点 ， ， 在 轴上的投影分别为 ， ， ，直线 平分 ，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【难度】0.22 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】设 ， ， ，根据题意可用 ， ， 的纵坐标表示角度之间的关系，联立切点弦方程与双曲线方程，根据韦达定理可得到 之间的关系，进而求解. 【详解】设 ， ， ，如图： 由题意知 ， ， ， ， 因为 在 的上方，所以 ， 所以 ， ， ， 因为直线 平分 ，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ，代入相应数据得 ， 整理得 ；① 因为切点弦的方程为 ，即 ， 联立切点弦与双曲线的方程得 ， 消去x得 ，所以 ， 代入①式得 ，所以 ，所以 ． （2026·吉林·模拟预测）在平面直角坐标系 中，圆 是以原点为圆心， 为半径的圆，直线 与抛物线 和圆 分别相切于 两点，当 最小时， 的值为________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先利用抛物线切线方程与圆相切的条件，用点到直线距离公式建立关于切点横坐标与 的关系式，再由切线长公式表示出 ，通过基本不等式求最值的代数式，求出最小值成立的条件，最后回代算出 ． 【详解】因为抛物线 和圆 均关于 轴对称，    所以只需研究与抛物线切于第一象限的直线，此时 ，所以 ， 设 ，则直线 的方程为 ，即 ， 因为直线 与圆 相切，则 ，化简得 ， 因为 ， 所以 ． 当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立， 此时 ． 考点9：立体几何小题 一、选择题 （2026·湖南怀化二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是 ，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【详解】 设圆台的上底面圆的半径为 ，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为 ， 圆锥的母线 ， 圆锥的侧面积是 ， ，得 ，解得 ; 圆台的母线 ， 圆台侧面积为 ． （2026·安徽合肥·二模）已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆柱轴截面的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设该圆柱高为 ，底面半径为 ，则可得 、 间关系，再表示出圆柱的侧面积 后，利用二次函数性质可得 取最大时的 、 ，从而可求出此时该球的半径，即可得其体积. 【详解】设该圆柱高为 ，底面半径为 ，则 ，即有 ， 圆柱的侧面积 ， 故当且仅当 、 时， 取最大， 此时圆柱的外接球半径为 ， 则该球的体积 . （2026·重庆北碚·模拟预测）圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】面积、体积最大问题、柱体体积的有关计算 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的轴截面如图所示 则 易得 ，所以 ，即 ，所以 ， 所以圆柱体积 记 ， 得 ， ， 单调递增 ， 单调递减 故 （2026·湖南湘潭三模）如图，在三棱锥 中， 和 都是等腰三角形，且 ，二面角 的大小为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.42 【知识点】几何图形中的计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】如图，设 外接圆的圆心为 ，设三棱锥 外接球的球心为 ，连接 ， ，设 ，过点 作 的平行线，与 的延长线交于点 ，连接 ，利用题中条件分别求得 EMBED Equation.DSMT4 ， , 4，进而 ， ，由 ，列式 ，解得 ，再根据球的表面积公式即可得答案． 【详解】如图，设 外接圆的圆心为 ， 因为 都是等腰三角形， ， ， 所以 ， 是 的中点． 设三棱锥 外接球的球心为 ，连接 ， ，则 平面 ． 过点 作 交 的延长线于点 ． 设 在平面 内的射影为 ，连接 ， 因为二面角 的大小为 , 所以 ． 因为 是等腰三角形，且 ， 所以 ， 所以 ． 过点 作 的平行线，与 的延长线交于点 ，连接 ， 则 , 4， ， ． 设 ，则由 ，可得 ， 解得 ， 故三棱锥 外接球的表面积为 ． （2026·山西吕梁三模）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为 ，侧棱长为3，则该多面体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】求组合体的体积 【分析】由题意用两个柱体体积减去重叠部分体积，计算即可. 【详解】如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体 ，取 的中点I，    则多面体 可以分成8个全等三棱锥 ， 则 ，且 平面 ， ， 则 ， 该“十字贯穿体”的体积即为 . （2026·云南保山·二模）平行六面体 所有棱长都相等， ，点 在底面 的投影为 中点，且直线 与底面 夹角为 ，则三棱锥 的外接球被平面 截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.32 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、由线面角的大小求值 【分析】平面与球相交截面是一个圆，首先确定外接球球心及半径，再求球心到平面 距离，最后根据勾股定理求截面半径． 【详解】 如图，设 中点为 ， ， ， ， ，即 ， ，则 ， ． 又 平面 ， 平面 ， ， 则 ， ，即 ， 三棱锥 中， ， 均为直角三角形， 且平面 平面 ， 三棱锥 的外接球是以 为直径， 为球心，半径 ， 设 到平面 的距离为 ，外接球被平面 截得的截面半径为 ， 对于三棱锥 ，高为 ，底面积 ， 故 ， ， ， ，解得 ， 截面半径 ，面积为 ． 多选题 （2026·辽宁辽阳·二模）在长方体 中， ， ，M是棱AB的中点，下列说法正确的是（    ） A． B．二面角 的余弦值是 C．过 的平面截该长方体得到的图形面积是 D．沿长方体表面从 到 的最近距离是 【答案】BC 【难度】0.5 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、由平面的基本性质作截面图形、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】可建立适当空间直角坐标系，则可求出 、 ，再计算 即可得A；求出平面 与平面 的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得B；延长 、 使其交于点 ，连接 ，设 ，可得四边形 即为过 的平面截该长方体得到的图形，再结合勾股定理与梯形面积公式计算即可得C；将对应平面展开并计算即可得D. 【详解】以 为原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则 、 、 、 、 、 ， 则 、 ，则 ， 故 与 不垂直，故A错误； 对B： ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，取 ，则 ， ，则 ； 由 轴 平面 ，故平面 的法向量可取 ， 则 ，由图可知为锐角， 故二面角 的余弦值是 ，故B正确； 对C：延长 、 使其交于点 ，连接 ，设 ，连接 ， 则四边形 即为过 的平面截该长方体得到的图形， 由 为 中点，故 ，则 ，故 为 中点， 故 、 分别为 与 中点，故 且 ， 则四边形 为梯形， 则 ， 故C正确； 对D：如下图，将平面 延 展开，使得该平面与 位于同一平面， 此时 ； 如下图，将平面 延 展开，使得该平面与 位于同一平面， 此时 ； 如下图，将平面 延 展开，使得该平面与 位于同一平面， 此时 ； 综上可得，沿长方体表面从 到 的最近距离是 ，故D错误. （2026·山西·二模）如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为底面 内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在动点 ，使 平面 B．若 平面 ，则动点 的轨迹长度为 C．若 平面 ，则三棱锥 体积的最大值为2 D．若正方体 的外接球为球 ，则球 被平面 所截截面圆的面积为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、平行平面距离的向量求法 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，根据空间位置关系向量法计算判断；对于B，由线面平行的判定定理及面面平行的性质定理求得动点 的轨迹计算判断；对于C，由点到直线距离空间向量法及点到平面距离空间向量法结合图形计算判断；对于D，由点到平面距离空间向量法计算距离，进而计算截面圆的半径后可得截面圆面积. 【详解】以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， 对于A，设 ，且 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，取 ，则 ， 所以平面 的法向量为 ， 若 平面 ，则 ， 由 ，解得 ，不合题意， 不存在动点 ，使 平面 ，故A错误； 对于B，如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， 则 ，由正方体性质可知 ，故 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， ， 因为 ，且 平面 ， 平面 ， 且 平面 ， 平面 平面 ， 若 平面 ，则 平面 ， 动点 的轨迹为线段 ，其长度为 ，故B正确； 对于C， ， ， 空间向量法计算点 到直线 的距离为 ， 则 的面积为 ， 显然，当 与 重合时，三棱锥 的体积最大，则 ， 点 到平面 的距离为 ， 三棱锥 体积的最大值为 ，故C正确； 对于D， 正方体 外接球的球心为 ，半径 ， 则 ，则点 到平面 的距离为 ， 故球 被平面 所截截面圆半径 ， 截面圆的面积为 ，故D正确. （2026·广东深圳·二模）已知正三棱柱 的高为2，且有内切球 （球 位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过 三点的平面截该三棱柱所得截面为 ，则（   ） A． B．平面 平面 C．截面 的面积为 D．该三棱柱被截面 分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 【答案】BCD 【难度】0.32 【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、由平面的基本性质作截面图形、证明面面垂直 【分析】A选项，先求出下底面等边三角形的高，进而求出 ；B选项，找到两平面所成夹角的平面角，结合勾股定理逆定理得到垂直关系；C选项，找到截面四边形 为等腰梯形，求出面积；D选项，在C基础上，得到两部分的体积，得到比值. 【详解】A选项，如图，取上底面，下底面的中心分别为 ，取 的中点 ， 取 中点 ，于是四边形 为矩形，则 ， 于是 ， 又 为等边三角形，则 ，A错误； 选项B，由于 ，且 平面 平面 ，则 平面 ， 又因为 平面 ，平面 平面 ，则 ， 如图，连接 ，由于 ， 则 为平面 与平面 所成角的平面角， 由于 ，则 ， 于是平面 平面 ，B正确； 选项C，如图，连接 ，交 于点 ，过点 作 的平行线交 于 ， 由于 ∽ ，则 ，则 为 上靠近 的三等分点， 于是 ，由于 为 中点， 为 中点， 则四边形 为等腰梯形，且 ， 于是 ，C正确； 选项D，由于正三角形 与正三角形 相似，三条侧棱延长相交于一点， 于是 为正三棱台， 该三棱柱被截面 分成两部分，分别为三棱台 和剩余部分， 其中 ，同理可得 ， 三棱台 的体积 ， 而三棱柱的体积 ， 于是截面 所截的另一部分的体积 ， 则较小部分与较大部分的体积之比为 ，D正确． （2026·吉林长春·三模）已知四面体 中， ，则下列说法正确的是（    ） A．四面体 的体积为 B．四面体 的外接球的表面积为 C．若平面 平面 ，且平面 与四面体 的内切球相切，则平面 将该四面体分成体积比为 的两部分 D．若 为平面 内一动点，且直线 与平面 所成角的正切值为 ，则 点轨迹的长度为 【答案】BD 【难度】0.32 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、立体几何中的轨迹问题 【分析】将四面体 补成长方体 ，结合题意可得 ， .对于A：利用割补法求体积；对于B：结合长方体的结构特征求外接球半径和表面积；对于C：利用等体积法求内切球半径和点到面距离，进而分析判断；对于D：根据线面夹角分析可知点 的轨迹是以点 为圆心，半径为 的圆，即可得结果. 【详解】将四面体 补成长方体 ，可知底面 为正方形， 因为 ， ，则 ， . 对于选项A：四面体 的体积为 ，故A错误； 对于选项B：可知四面体 的外接球即为长方体 的外接球， 则外接球半径 ， 所以四面体 的外接球的表面积为 ，故B正确； 对于选项C：设四面体 的内切球半径为 ， 因为 的面积 ，则 ， 设点 到平面 的距离为 ， 则 ，可得 ，即 ， 若平面 平面 ，且平面 与四面体 的内切球相切， 则平面 与棱 的交点为各棱中点， 所以平面 将该四面体分成体积比为 的两部分，故C错误； 对于选项D：设点 在平面 内的投影为 ， 因为点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，则 ， 又因为直线 与平面 所成角的正切值为 ，则 ， 所以点 的轨迹是以点 为圆心，半径为 的圆，其长度为 ，故D正确. （2026·江苏南京·模拟预测）在棱长为1的正方体 中， 为正方体内（含表面）的动点， 为线段 上的动点，若直线 与 的夹角为 ，则（   ） A． 的最小值为 B．点 的轨迹形成图形的面积为 C．点 的轨迹与正方体表面交线的长度为 D．当点 在侧面 上时， 的最小值为1 【答案】ACD 【难度】0.32 【知识点】棱锥表面积的有关计算、立体几何中的轨迹问题 【分析】对于A，由图通过折叠相关平面，使 共面，据此可判断选项正误；对于B和C，由题设可得M的轨迹为如图以 为顶点，AB为高， 为母线的圆锥侧面的 ，据此可判断选项正误；对于D，注意到 ，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由图注意到 ，将平面 沿 折叠至平面 处，使 共面， 则 ，当且仅当 三点共线时取等号，故A正确； 对于B，注意到 ，则M的轨迹为如图以 为顶点，AB为高， 为母线的圆锥侧面的 ， 则点M的轨迹所形成图形的面积为： ，故B错误； 对于C，由B分析，点M的轨迹与正方体表面的交线长度为： ，故C正确； 对于D，注意到 ，过N作 平行线交 于 ，则 ， 从而 ，当且仅当 三点共线时取等号 （此时 分别位于正方形 ，正方体 ，正方形 中心），故D正确. （2026·安徽阜阳·二模）如图，五面体 中， ， ， ， ， ，点P为线段 上的动点，则下列结论正确的是（   ）. A． B．平面 平面 C．平面 截该几何体所得截面面积的最小值为 D．三棱锥 外接球的表面积为 【答案】ABD 【难度】0.32 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直 【分析】对于A，利用线面平行的性质判断即可；对于B，利用线面垂直证明面面垂直；对于C，分析出当 ， 之间的距离最小时，梯形 的面积最小，再计算面积的最小值；对于D，建立空间直角坐标系根据外接球性质计算半径后求表面积. 【详解】对于A，因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，又 ， 所以四边形 为平行四边形，则 ，正确. 对于B，因为 ， ， 故四边形 为等腰梯形. 如图，过点F作 ，垂足为O，连接 ， 又 ， ，所以 ， 又 ，所以 . 取 的中点Q，连接 ， 因为 ， ， 所以 ， ， ， 又 ， 所以四边形 为矩形， 所以 ， 又 ，所以 ， 故 ，又 ， ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 ，故正确. 对于C，如图，设截面 与棱 交于点M，连接 ， ，因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又平面 平面 ， 所以 ， 又 ，所以 ， 所以截面 是梯形.因为四边形 为平行四边形， 所以 .又 ， 所以当 ， 之间的距离最小时，梯形 的面积最小. 显然， ， 之间的最小距离等于直线 到平面 的距离， 也就是点O到平面 的距离. 过点O作 ，垂足为H， 由B知 ， ，又 ， 所以 平面 ，则 平面 ， 所以 ，又 ， ， 所以 平面 .所以点O到平面 的距离等于 ， 在 中， . 所以截面面积的最小值为 ，故错误. 对于D，由B可知 ，故由正弦定理可得， 外接圆的半径 . 因为 ， 所以 外接圆的圆心 在 上，且 . 如上图，以点O为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 ， ， . 易知三棱锥 外接球的球心T在过点 且与底面 垂直的直线上， 故可设T的坐标为 ， 因为A，F均在球T的球面上， 所以 ， 得 ， 所以三棱锥 外接球的半径 ， 故三棱锥 外接球的表面积为 ，故正确. （2026·山东济宁·二模）如图1， 与 是两个等腰三角形， ， .将 沿着 翻折到 ，如图2，设二面角 的平面角为 ， ， 分别为 和 的中点，则（    ） A． B．四面体 体积的最大值为1 C． 时，过直线 且与 平行的平面截四面体 所得截面面积为 D． 时，四面体 外接球表面积为 【答案】ABD 【难度】0.32 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、证明线面垂直、求二面角 【分析】对于A选项，作辅助线通过证明线面垂直证明线线垂直；对于B选项，找出二面角的平面角，计算四面体 体积与 的关系来判断体积的最大值；对于C选项，通过取各边中点把截面作出来，结合A选项得到截面为矩形，再计算面积；对于D选项， 时，四面体 有两个平面互相垂直，属于垂面型外接球，找到球心，计算出半径即可. 【详解】对于A选项，取 中点 ，连接 由于 与 是两个等腰三角形， ， 沿着 翻折到 ，所以， ,点 为 中点， 所以， 故 平面 , ,所以A选项正确； 对于B选项，作 于点 ，作 于点 ,连接 ,那么由 可知 ,那么 为二面角 的平面角, 面 , 所以， 面 , ， ， 所以，四面体 体积的最大值为1，故B选项正确； 对于C选项，分别取 的中点 ，连接 , 根据中位线的性质可知 ,且 所以， 且 ，四边形 为平行四边形， 所以，直线 且与 平行的平面截四面体的截面为 .当 时，由B选项可知 为正三角形， , , 由 可得， , 为矩形， ，故C选项错误； 对于选项D，当 时，平面 平面 ,由B选项可知 平面 , 取 的外心 ，取 的外心 ，外接圆半径 , 分别作平面 的垂线，平面 的垂线 交于一点 ,即四面体 外接球球心，作 于点 ，由于 ，所以 为等腰直角三角形， 所以， , 所以， ， ，故D正确. 填空题 （2026·湖南湘西·三模）如图，在直三棱柱 中， 分别是棱 的中点，三棱柱 的外接球为球 ，则过 的平面截球 所得截面面积的最小值为___________． 【答案】 / 【难度】0.42 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、点到直线距离的向量求法 【分析】将三棱柱补成正方体 ，建立空间直角坐标系，可求出外接球的半径为 ，利用空间向量求出点 到直线 的距离 ，进而求解截面面积的最小值. 【详解】根据题意，将该三棱柱补成正方体 ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，所以 ， 由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为 ，即为点 ， 则 ，外接球半径为 ， 点 到直线 的距离 ， 该截面面积最小时，点 到该截面的距离为 ， 则截面面积的最小值为 ． （2026·海南儋州·一模）已知正方体 的棱长为2，E，F分别为 的中点，则三棱锥 的外接球的表面积为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，设三棱锥 的外接球球心 ，利用球的半径相等建立方程组，求解即得球心坐标，算出半径，代入球的表面积公式计算即得. 【详解】 如图，以点 为坐标原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系. 则 ， 设三棱锥 的外接球球心为 ， 则 ， 解得 ，故 ， 则三棱锥 的外接球的半径为 ， 故三棱锥 的外接球的表面积为 . （2026·湖南永州·二模）在直四棱柱 中，底面ABCD为平行四边形， 分别是棱 的中点， 是底面 内一动点．若直线 平面 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为___________． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】多面体与球体内切外接问题、判断线面平行 【分析】先通过面面平行确定点 的轨迹为线段 ，再将三棱锥外接球表面积的最小值，转化为 外接圆半径的最小值，最后利用正弦定理，当 时 最小，从而求出外接球表面积最小值. 【详解】 连接 ，易知平面 平面 ，则点 的轨迹为线段 ， 在三棱锥 中，易知 平面 ，要使三棱锥 外接球表面积最小， 则只需 外接圆的半径 最小， 在 中，由正弦定理得 ， 又因为 为定值，只需 最小，显然当 时， 有最小值， 的最小值为 ， 所以三棱锥 外接球半径的最小值为 ， 三棱锥 外接球表面积的最小值为 . 故答案为： . 考点10：函数与导数小题 一、选择题 （2026·天津二模）函数 的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】零点存在性定理的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断零点所在的区间 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论 【详解】 定义域为 ， ， 令 得 ，令 得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ， 其中 ，故 ， ， ， 由零点存在性定理可得函数 的一个零点所在区间为 ， 其他选项均错误. （2026·河南郑州·二模）已知函数 ，若函数 与函数 的图象的交点有 个，记为 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.66 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、函数与方程的综合应用 【分析】判断出两函数的图象都关于点 中心对称，根据复合函数的性质判断出函数 的定义域为 上单调递增，作出两函数的图象，可得交点个数，根据函数的对称性求解即可. 【详解】因为 ， 且 ， 所以 的图象关于点 中心对称； 又因为 ， 由 ，可得 ， 即函数 的定义域为 ， 且 ， 易知函数 在 上单调递增， 又 ， 所以 的图象关于点 中心对称； 所以两函数的交点也关于点 中心对称； 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数图象共有3个交点，其中一个交点为 ， 设另外两个交点分别为 ， 则 ， 所以 . （2026·云南昆明二模）已知函数 ，则（    ） A． 是奇函数，且在 上单调递增 B． 是奇函数，且在 上单调递减 C． 是偶函数，且在 上单调递增 D． 是偶函数，且在 上单调递减 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先得出定义域，再应用偶函数定义判断偶函数，再结合对数复合函数单调性即可求解. 【详解】 的定义域为 ， 因为 ，所以 ，即 为偶函数， 当 时，则 ， 由复合函数的单调性质得： 在 上单调递增， 单调递增， 所以 在 上单调递增. （2026·江苏三模）设 上的可导函数 满足 ，且 是偶函数．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】函数对称性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据导数的正负得出 的单调性，再结合 是偶函数得出 的对称轴，由函数图像的对称性即可求解． 【详解】由 得，当 时， ，当 时， ， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 又 是偶函数，所以 的对称轴为直线 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 又 ， ， 所以 ， 所以 ． （2026·山东泰安·模拟预测）已知偶函数 ，对于 ，都有 成立，且任取 ，都有 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得 ，都有 成立，则函数图象关于点 对称， 为偶函数， 的图象关于 对称，即 ， 若 ，则 ， 可得 ，而 ， 化简得 ， 周期 ， 而任取 ， ， 在 上单调递减， 为偶函数， EMBED Equation.DSMT4 在 上单调递增， 函数 图象关于点 对称， 故 在 上单调递增，在 上单调递减， 则 ， ， ， 因为 ，所以 ． （2026·广东深圳二模）已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【详解】函数 ，定义域为 . 易知函数 只含 项， 因此 关于直线 对称.当 增大时， 增大，函数值增大， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 等价于 离 的距离小于 离 的距离大小问题， 即 .两边平方得 ； 整理得 ，解得 . 故 的取值范围为 . （2026·广东湛江·二模）已知定义在 上的可导函数 满足 是偶函数； ； ， ，则 （   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【难度】0.51 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】判断 的图象关于直线 对称，再求证 和 的周期均为4即可求解. 【详解】由 ， 令 ，得 ， 所以 的图象关于直线 对称，所以 . 将 换为 代入得 . 又 ，因此 ， 即 ，则 ①， 所以 ， 对①两边求导得 ，故 ， 故 和 的周期均为4， 于是 ， . 在 中，取 得 . 在 中取 得 ， 所以 . （2026·山东济南二模）已知正实数 满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，利用同构比较大小. 【详解】由于 ，所以， 设 ，则 ，所以 在 上单调递增， 那么 ，所以， ， ，设 ， ， 所以， 在 上单调递减， ， 即 , 由于 ，那么 , ， 综上， . （2026·山东东营模拟预测）若定义在 上的奇函数 满足 ，则 （   ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、判断证明抽象函数的周期性 【分析】先根据函数性质得到 ，再通过对已知等式进行赋值和变形，推导出函数 的递推关系，进而求出 的值. 【详解】因为 是定义在 上的奇函数， ， 由 ， 用 代替 可得 ， 因为 是奇函数， ， 则 ， 用 代替 可得 ， 所以 ， 函数 满足 ， 则 ， ，令 得 ， 所以 . （2026·河北沧州模拟预测）已知函数 在区间 上存在三个零点，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.38 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导数得到 在区间 上的单调性，结合零点存在定理知要使 存在三个零点，需满足 ，解不等式即可求解. 【详解】易知 ， 上， ，在 上 ，在 上 ， 可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， 因为函数存在三个零点，可得 ，即 ， 解得 . 多选题 （2026·山西晋中·三模）已知函数 ，则（    ） A． 是 的极大值点 B．当 时， C． ，使得点 是曲线 的对称中心 D． ，使得 ，直线 与曲线 均只有一个公共点 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、利用导数求函数（含参）的单调区间、求已知函数的极值点 【分析】对于A，利用导数确定函数的单调区间，求出极值即可判断；由 ，结合A中的单调性，即可判断B；判断 是否有解，即可判断C；两函数作差得到 ，根据两曲线只有一个交点求出 ，再分析 单调性，即可判断D. 【详解】对于A，由题可知 ， 当 时 ，当 时， ;当 时， , 即函数 在 上单调递增；在 上单调递减，故 是 的极大值点. 当 时，令 ，得 或 ， 当 时，在 时， ，在 时， ，在 时， ， 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 当 时，在 时， ，在 时， ，在 时， ， 在 和 上单调递减，在 上单调递增， 综上可得， 均是 的极大值点，故A正确； 对于B，当 时，由A项可知 在 上单调递增， 又因 ，所以 ，故B错误； 对于C. ， ， 令 ，可得 , 因该式对任意实数 恒成立，故可得 ， 即存在 ，使得点 是曲线 的对称中心，故C正确； 对于D，若直线 与曲线 只有一个公共点，则方程 只有一个实根， 令 ，则 ， 由 ，可得 ，此时 , 则 在 上单调递增，且当 时， ,当 时， ， 即当 时，函数 有且仅有1个零点，故D正确. （2026·重庆北碚·模拟预测）设三次函数 ，其中 ，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，若函数 的对称中心为 ，则 B．当 时，函数 的图象关于点 中心对称 C．当 时，若 的两个极值点为 ，且 ，则 D．当 时，若 有三个相异且成等差数列的零点，则实数 的取值范围为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、利用导数研究函数的零点、等差数列的应用、根据极值点求参数 【分析】对A：借助函数中心对称性质计算可得 、 ，再计算 即可得；对B：结合函数中心对称性质，验证 是否成立即可得；对C：求导后，结合极值点定义，利用韦达定理计算即可得；对D：结合等差数列性质，设出三个零点后代入计算即可得. 【详解】对A：当 时， ， 由函数 的对称中心为 ，则 ， 即有 ， 整理得 ，即有 ，解得 ， 即 ，故 ，故A错误； 对B：当 时， ， 则 ， 故函数 的图象关于点 中心对称，故B正确； 对C：当 时， ， ， 则 ， ， ， 由 ，且 ，则 ，故 ， ， 即有 ， ，且 ， ，故 ， ， 即有 ，即 ，故C正确； 对D：当 时， ， 设三个相异零点分别为 、 、 ， 则 ， 即 ， 则 ，由 得 ， 则由 可得 ，故 ， 又 ，故实数 的取值范围为 ，故D正确. （2026·陕西·二模）已知函数 ，使得 有三个零点 ，且 ，则下列说法正确的是（    ） A． 的取值范围为 B． C．若 ，则 D．函数 在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1 【答案】AC 【难度】0.32 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】对于A，根据题意可知函数 至少有两个极值点，则 有两个不相等的实数根，再求导结合根的判别式即可判断；对于B，举例说明即可；对于C，代入解不等式即可得到 ；对于D，由题得 ，再求导，利用导数的几何意义，计算 的值． 【详解】解：对于A，因为 有三个零点，得函数 至少有两个极值点， 因为 ，所以 有两个不相等的实数根， 所以 ，解得 ，故A正确； 对于B， 时， ， 的解为 ，此时 ，故B错误； 对于C， ，所以 ，所以 ，故C正确； 对于D，由题得 ，其简图如下： ， 所以 ， 同理 ， 故 ，故D错误． （2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知函数 ，其中实数 ， ，则下列说法正确的是（   ） A．函数 有两个极值点 B．若函数 有3个零点，则实数 C． 有两条与直线 平行的切线，且切点坐标分别为 ， ，则 的最小值为2 D．若直线 与曲线 有3个不同的交点 ， ， ，且 ，则 【答案】AD 【难度】0.42 【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质 【分析】对于A，根据极值的定义即可判断；对于B，根据函数单调性和极值情况列出不等式求解即可判断；对于C，由题意根据 结合判别式和韦达定理即可求解判断；对于D，根据导数和函数对称性即可求解判断. 【详解】对于A，由题得 ， 所以 时， ； 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 有两个极值点，故A正确； 对于B，由A知函数 有一个极大值 ，有一个极小值 ， 又 时， ， 时， ， 所以若函数 有3个零点，则 ，解得 ，故B错误； 对于C，由题意可得 有两个不同的解 ， ， 即 有两个不同的解 ， ， 所以 ， 且 ，解得 ， 所以 ，故C错误； 对于D，令 ， 则 ，令 ，解得 ， 所以函数 的图象关于点 中心对称， 又直线l与曲线 有3个不同的交点 ， ， ， 且 ， 则点A和点C关于点B对称，点B为函数 图象的对称中心， 所以 ， ， 所以 ，故D正确. 填空题 （2026·甘肃酒泉·二模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则曲线 在点 处的切线方程为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】若 ，则 ，则 ， 因为 是定义在 上的奇函数，所以 ， 对其求导得 ，则 ，又因 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . （2026·河北张家口·二模）已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ________． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义先求得 的切线方程，再设出该切线与 的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由 ，则 ， 所以曲线 在点 处的斜率为 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ． 设直线 与曲线 相切的切点为 ，且 ， 则 ，解得 ． （2026·云南昆明·二模）若斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为______． 【答案】 或 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】先根据导数得出切线斜率 计算求出参数及切点，再点到直线距离等于半径得出参数. 【详解】设直线 与曲线 的切点为 ， 由 ，则 ，则 ， ， 即切点为 ，所以直线 为 ， 又直线 与圆 都相切， 则有 ，解得 或 （2026·安徽·三模）若直线 与曲线 相切，则实数 的值为___________. 【答案】5 【难度】0.68 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设直线 与曲线 相切于点 ，进而结合导数几何意义求得切点为 ，再代入直线方程求解即可. 【详解】设直线 与曲线 相切于点 ， 由 得 ， 所以 ，整理得 ，解得 或 （舍去）， 所以 ，即切点为 所以将 代入直线方程得 ，解得 ． （2026·贵州六盘水·一模）函数 的极大值点为________. 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】利用导数分析函数 的单调性，即可得其极大值点. 【详解】函数 的定义域为 . . 所以当 或 时， ；当 时， . 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. 所以函数 的极大值点为 . （2026·河北保定·一模）已知函数 在区间 上单调递增，则a的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 因为函数 在 上单调递增， 所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 所以 ，令 ，则 ， 因为 ，所以 ，则 ， 故 在 上单调递减， 故 ，故 的取值范围为 . （2026·广东广州·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由 在区间 上单调递增，得到 在区间 上恒成立，从而得到 在区间 内恒成立，即 ，计算得解. 【详解】 ， ， 在区间 上单调递增， 在区间 上恒成立， 在区间 上恒成立， ， 在区间 内恒成立， ， ， 的取值范围为 . （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.5 【知识点】根据极值点求参数 【分析】先求导数 ，然后分 ， ， 三种情况讨论，借助导数研究函数 的极值，即可得解. 【详解】求导得 EMBED Equation.DSMT4 . 若 ，则 ，当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 处取得极大值，故 符合要求； 若 ，令 . 当 时，解得 ， ， 当 时， ，此时 是开口向上的抛物线， 所以当 时， ， ； 当 时， ， ， 所以 在 处取得极大值，故 符合要求； 当 时，此时 是开口向下的抛物线，欲使 成为 的极大值点， 只需 ，即 ，解得 . 综上，可得实数 的取值范围为 ． 考点11：解三角形解答题 （2026·江苏·三模）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ． (1)证明： ， ， 成等差数列； (2)若 ，延长 至 ，使得 ，求 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.61 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、等差中项的应用 【分析】（1）根据已知结合两角和的正弦公式，诱导公式及正弦定理即可证明； （2）由 及已知得出 是等边三角形，设 ，则 ，由余弦定理即可求解． 【详解】（1）因为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 由正弦定理得， ，所以 ， ， 成等差数列． （2）因为 ，代入 ，可得 ， 因为 ，所以 ，所以 是等边三角形， 设 ，则 ， 在 中，由余弦定理， 得 ， 所以 ． （2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角 中，角 的对边分别为 ， . (1)求角 ； (2)已知 ，求 周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.6 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦边角关系和余弦定理计算即可求得 ； （2）利用正弦定理将边 替换成角的表达式，再由锐角 以及三角函数值域即可求出周长的取值范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系知 ，得 ， 整理得 ，故 ，又 ，所以 ； （2）由（1）知 ， ， 由于 是锐角三角形，则 ，则 ， 由正弦定理得 ，即 ， . 又 ，故 的周长为 . 而 在 上单调递减， 所以 的周长的取值范围为 . （2026·江西·三模）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 . (1)求角 的大小； (2)若 边 上的中线 的长度为2，求 面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得 ，根据数量积的运算律得到 ，再由均值不等式求出 的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为 ， 由正弦定理得 ， 则 ， 即 ， ，则 ， . （2）因为 是 中点，所以 . 两边平方得 . 所以 ，即 ， 又由均值不等式得 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ，即 面积的最大值为 . （2026·湖北鄂州·模拟预测）在 中内角 的对边分别为 ，且 ． (1)若 的平分线 交 于点 的面积为 ，求 长； (2)若 ，求当 周长最小时 的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）先用半角公式将条件转化为边的关系，结合余弦定理求出角 ，再通过已知的 及和角公式求出角 的正弦值，由正弦定理得到两边比例关系；最后利用三角形面积求出具体边长，并借助角平分线分割面积的性质建立关于 的方程求解； （2）由已求得的角 用余弦定理消去 ，将 用 表示，进而构造出周长关于 的函数；利用基本不等式求得 的值. 【详解】（1）依题意有 即 又由余弦定理有 EMBED Equation.DSMT4 又 为 中内角 又 EMBED Equation.DSMT4 而 因为 的面积为 ， EMBED Equation.DSMT4 在 中， （2）由（1）知 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 设 周长为 ，则 令 ， 当且仅当 时周长取最小值． 故当 周长最小时 ． （2026·广东清远·二模）在 中，角 的对边分别为 ，若 ． (1)求角 ； (2)若 为 边上的高， ，且 的外接圆的面积为 ，求 的面积． 【答案】(1) ； (2) 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合诱导公式、两角和的正弦公式变形后可求得 ； （2）由正弦定理求得 ，由 得 ，化简得 ，然后由余弦定理求得 ，再由面积公式得三角形面积. 【详解】（1）因为 中， ，所以由正弦定理得 ， 所以 ， 所以 ， 中， ，所以 ，所以 ，从而 ； （2）设 的外接圆半径为 ，则 ， ， 由正弦定理得 ，所以 , 因为 ， 为 边上的高， 所以 ， 即 ， 化简得 ， 由余弦定理得 ， 所以 ， ， 所以 . 考点12：数列解答题 （2026·山西·二模）已知数列 是等比数列，满足 ，且 ， ， 成等差数列. (1)求数列 的通项； (2)设 ，且 的前 项和为 ，求证： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.62 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据给定条件，结合等差中项的意义列式求出公比，进而求出通项. （2）由（1）求出 ，再利用错位相减法求出 ，借助单调性推理得证. 【详解】（1）设 是等比数列 的公比，由 ， ， 成等差数列， 得 ，即 ，则 ，解得 ， 由 ，得 ，解得 ， 所以数列 的通项 . （2）由（1）得 ， 则 ， 于是 ， 两式相减得， ， 因此 ，又 ， 则数列 是递增数列， ， 所以 . （2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，记数列 的前 项和 ，求证： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用已知递推式得出数列 是等比数列，进而求出 的通项公式； （2）先求出 ，再利用裂项相消法求和，进而证明结论． 【详解】（1） ，则 ， ，又 ， 故 是首项为 ，公比是 的等比数列， ，即 ， 成立， 数列 的通项公式为 ． （2） ， ， ， ， ， ， ，故 ． （2026·广东汕头·二模）数列 的前三项均为 ， 是公比为3的等比数列，且 . (1)求 的前 项和 ； (2)求 . 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】累加法求数列通项、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据题意结合等比数列通项公式可得 ， ，结合等差数列求和公式运算求解； （2）整理可得 ，利用累加法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为 是公比为3的等比数列，且 ， 又因为 ，则 ， 可得 ，则 ， 可得 ， 所以 . （2）因为 ，即 ，则 ， 可得 ， 则 ， 所以 . （2026·山东聊城·二模）记数列 的前 项和为 ，若满足 ， ，且 ． (1)求证： 是等差数列，并求 的通项公式； (2)设 ， 为数列 的前 项和，若 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由 ，得 ，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式 中令 ，可求出 的值，结合 可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列 的通项公式； （2）求得 ，利用裂项求和法可求得 的表达式，得出 ，结合题意得出 对 恒成立，于是得出关于 的不等式组，即可解得实数 的取值范围. 【详解】（1）由 ①，得 ②， ②−①得 ③，则 ④， ④−③得 ，即 ， 所以 是等差数列，设其公差为 ， 由 ，得 ，所以 ． 因为 ，所以公差 ， 所以 ． （2） ， 所以 ． 由 对 恒成立，得 ，即 ． 设 ，由 对 恒成立， 得 ，解得 或 ，故 的范围为 ． （2026·陕西榆林·三模）已知数列 满足 ， . (1)求数列 的通项公式； (2)求 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【难度】0.52 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据等比数列的定义，分类讨论进行求解即可； （2）根据等比数列前 项和公式，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 构成以2为公比的等比数列， 也构成以2为公比的等比数列， 又 ，所以 ， 所以 ， ， 所以 ； （2）当 为偶数时， 中奇数项和偶数项均为 项， 所以 . 当 为奇数时， 中奇数项有 项，偶数项有 项， 所以 . 所以 . 考点13：立体几何解答题 （2026·吉林延边·三模）在梯形 中， ， ， ，AB的中点为E，将A点沿DE折起到P点位置，使得 ，如图所示． (1)证明： 平面 ； (2)求平面 和平面 夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) . 【难度】0.52 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在梯形 中，由 ， 为 的中点，得 ， 则四边形 为平行四边形， ，而 ，因此 ， ，又 平面 ，则 平面 ， 所以 平面 . （2）由（1）得平面 平面 ，在平面 内过 作 ，则 平面 ， 直线 两两垂直，以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系， 令 ，又 ，则 ， ， 设平面 和平面 的法向量分别为 ， 则 ，取 ，得 ， ，取 ，得 ， 设平面 和平面 夹角为 ，则 ， 所以平面 和平面 夹角的正弦值为 . （2026·江苏盐城·三模）如图，在四棱锥 中，四边形 是梯形， ， ， ，平面 平面 ， (1)证明： ； (2)若点 是 的中点，点 是线段 上的点，点 到平面 的距离是 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.57 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）先证明 平面 ，从而得到 ，再证明 平面 ，即可证明 ； （2）以 为原点，建立空间直角坐标系，根据点 到平面 的距离，确定点 的位置，进而确定平面 的法向量 ，设直线 与平面 所成的角为 ，再根据线面角的向量求法计算即可得解. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形， 取 的中点 ，连接 . 在梯形 中， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 为平行四边形，又 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 四边形 为正方形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 . 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 . 在梯形 中， EMBED Equation.DSMT4 ，且 ， EMBED Equation.DSMT4 必然相交. 又 EMBED Equation.DSMT4 ， 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 ； （2）如图，作出符合题意的图形， 由（1）知 平面 ，且 ，所以以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， . EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， . 设 ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ，则 . 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 . 令 ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 . 设点 到平面 的距离为 ， 则 ， 两边同时平方可得 ，整理可得 ，解得 ， 此时点 是线段 的中点， ，取 . 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 . （2026·浙江·三模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， 是正三角形，且 平面 ，若 分别为 的中点，点 在直线 上. (1)求证：直线 与直线 为异面直线； (2)求直线 与平面 所成角的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、线面角的向量求法 【分析】（1）取 中点 ，借助中位线性质可得 ，则可得 、 、 、 四点共面，结合点 在直线 上，即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线 的方向向量与平面 的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）取 中点 ，连接 、 ， 由 分别为 的中点，底面 是正方形， 故 、 ，则 ，故 、 、 、 四点共面， 因为 平面 ， ， 平面 ， 故直线 与直线 为异面直线； （2）由 是正三角形，且 为 中点，故 ， 由 平面 ， 平面 ，故 ， 又 ， 、 平面 ，故 平面 ， 故可以以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则 、 、 、 、 、 、 ， 由 分别为 的中点，故 、 ， 则 、 、 、 ， 设 ， ，则 ， 设平面 的法向量为 ， 则有 ， 取 ，则 、 ，即 ， 有 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 ， 当且仅当 时，等号成立， 故 最大值为 ，即直线 与平面 所成角的最大值为 . （2026·山西·二模）在如图（1）所示的直角梯形 中， ， ， ，点 是 的中点，将图形（1）沿 折起至图（2），使得 到 处，且 . 是 上一动点，且 ， (1)求证：平面 平面 ； (2)是否存在 ，使得平面 与平面 的夹角为 ？若存在，则求 的值及点 到 的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 ， . 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、已知面面角求其他量、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据题意，由 ，得到 ，证得 平面 ，得到 ，再由 ，证得 平面 ，结合面面垂直的判定定理，即可证得 平面 . （2）以 为原点，建立空间直角坐标系，由 ，得到 ，分别求得平面 和平面 的法向量 和 ，利用向量的夹角公式，列出方程，求得 ，得到 ，结合距离公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图（1）所示的直角梯形 中， 由 ， ， ，点 是 的中点， 可得四边形 是边长为2的正方形，且 ， 所以 ， 因为 ，可得 ，所以 ， 又因为 ，且 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 又因为 ， ，且 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 . （2）解：由（1）可知 平面 ，以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则 ， ， ， ， ， 因为 ，可得 ，其中 ， 所以 ， ， ， ， 设 ， 分别是平面 和平面 的法向量， 则 和 取 ，可得 ，取 ，可得 . 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 可得 ，即 ，解得 或 因为 ，所以 ， 即存在 ，使得平面 与平面 的夹角为 ， 此时点 ，所以 ， ， 则点 到 的距离 . 所以点 到 的距离是 . . （2026·山西晋中·三模）如图，在直角梯形 中， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 为 的中点，连接 ，将 沿 折起到 的位置，得到四棱锥 .    (1)求证： . (2)设二面角 的平面角为 ，且 （i）求直线 与平面 所成角的正弦值； （ii）求四面体 体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i） ；（ii） 【难度】0.38 【知识点】锥体体积的有关计算、二面角的概念及辨析、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由折叠前后 、底面 ，利用线面垂直判定定理证 平面 ，得证 ； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用线面角公式计算正弦值； （ii）应用四面体体积计算公式得到 ，要求 的最大值，只需求 的最大值. 通过差角公式与均值不等式求得 的最大值，从而得到体积的最大值. 【详解】（1）    如图，设 的中点为 ，连接 . 因为 ，且 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，所以四边形 是菱形. 在 中，有 ，在 中，有 ， 又 ， 平面 ，故有 平面 ， 又 平面 ，则 . （2）（i）由（1）知， 平面 ，作 平面 ，又 ， 所以分别以直线 为 轴建立空间直角坐标系 ， 则 . 由（1）得 ，故 即为二面角 的平面角， 则有 ，当 时， ，此时 ， 故 . 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ，取 ， 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 . （ii）由（1）知 平面 ，所以 平面 ， 记 ， 则四面体 的体积 . 由题意，可知 ，则 与 在 上均单调递增， 要求 的最大值，只需求 的最大值. ， 令 ，则 ，且 ， 当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 当 ，即 时， ，当 ，即 时， ， 所以当 或3时， 取得最大值 ，此时 取得最大值 ， 所以四面体 的体积的最大值 . 考点14：概率与统计解答题 （2026·河南·模拟预测）某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为 ，C正常运行的概率为 ． (1)若 ，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于 ，求p的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用条件概率及相互独立事件的概率计算即可； （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行，结合相互独立事件的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设事件M为恰有2个芯片正常运行，事件N为C的运行不正常． 由题可知 ， ． 所以 ， 即在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行不正常的概率为 ． （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行， 所以该设备正常工作的 ． 由 ，得 ， 所以p的取值范围为 ． （2026·福建漳州·三模）某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案： 方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检．第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机器人每次成功检测每台设备的概率为 ，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每台设备检测一次的费用为18元． 方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元． (1)当 时，求机器人无需对设备进行第二轮巡检的概率； (2)记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为 ，求 的数学期望（用 表示）； (3)若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？ 【答案】(1) (2) (3)应选方案一． 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意，机器人第一轮巡检成功检测到2台或3台设备，利用二项分布求概率； （2）由题意得， ，分别得出所需检测次数及其概率，即可得分布列及数学期望； （3）分别计算两种方案期望，即可做出决策. 【详解】（1）由题意，机器人第一轮巡检成功检测到2台或3台设备， 所以机器人无需进行第二轮巡检的概率为 （2）由题意得， ， ， 所以 ， 所以 ． （3）应选方案一，理由如下： 记 为机器人巡检的检测总费用， 为人工巡检的检测总费用， 由题意得， ， 令 ， 则 ， 因为 ，所以 ，即 在 上单调递减， 所以 ， 所以 ， 故选用智能机器人巡检的检测平均总费用更低，应选方案一． （2026·河北邢台·二模）某商场在春节期间举办促销活动，顾客每次消费超过1000元(含1000元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中一种). 方案1：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，有放回地取3次球，每次只能取1个，每取出1个红球，立减200元，若3次都取出红球，则除了立减的600 元外再减300元(即总共减900元). 方案2：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，不放回地取3次球，每次只能取1个，若取出3个红球，则享受免单优惠；若取出2 个红球，则享受四五折优惠(即只需支付消费金额的45%)；其余情况不享受优惠. (1)已知某参与抽奖的顾客选择方案2，则在他第一次取出红球的条件下，求他能够享受优惠的概率； (2)若某顾客恰好消费了1000元，试从实付金额的期望值角度，分析他应该选择哪种抽奖方案. 【答案】(1) (2)选择方案2更合理，理由见解析 【难度】0.56 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算条件概率、求离散型随机变量的均值、均值的实际应用 【分析】（1）设他第一次摸出红球为事件A，他能够享受优惠为事件B，分后两次取得1个红球或两个红球两种情况可得 ，然后由条件概率公式可得答案； （2）分别写出两种方案下实付金额对应期望，即可得答案. 【详解】（1）设他第一次摸出红球为事件A，则 . 设他能够享受优惠为事件B，剩余球为2红2黑， 则第一次摸出红球，剩下两球均为红色的情况有 种， 第一次摸出红球，剩下两球为1红1黑的情况有 种， 综上， ， 所以第一次摸出红球，他能够享受优惠的概率为 ； （2）若选方案1，设实付金额数为 ，则 的可能值为 . 注意到有放回地摸到一次红球的概率为 ，摸到一次黑球的概率为 ， 则 ， ， ， . 则 ； 若选方案2，设实付金额数为 ，则 的可能值为 . 由（1）可得无放回摸出三球的情况有 种， 则 ， ， ， 则 . 因 ，则他选择方案2更合理. （2026·江苏·模拟预测）人工智能技术（简称 技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用 技术辅助教学的情况，随机抽取了该市 名中学教师，统计了他们使用 技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用 技术帮助制作课件的节次不少于 次的认定为喜欢使用 技术，否则认定为不喜欢使用 技术，制作得到如下列联表（部分数据缺失）． 年龄 是否喜欢使用 技术 合计 是 否 不超过 岁 超过 岁 合计 (1)已知从这 名年龄超过 岁的教师中随机抽取 人， 人都喜欢使用 技术的概率为 ．据此完善上面的列联表，并依据小概率值 的独立性检验，判断该市教师是否喜欢使用 技术与年龄有关； (2)在（1）的条件下，将频率视为概率计算，从该市全部中学教师中随机抽取 人，求其中至少 人喜欢使用 技术的条件下， 人年龄均不超过 岁的概率． 附： ，其中 ． 【答案】(1) 年龄 是否喜欢使用 技术 合计 是 否 不超过 岁 超过 岁 合计 有关 (2) 【难度】0.57 【知识点】独立重复试验的概率问题、计算条件概率、独立性检验解决实际问题、完善列联表 【分析】（1）根据组合计数原理以及古典概型的概率公式可得出关于 的方程，解出 的值，可完善 列联表，利用独立性检验可得结论； （2）记事件 为至少 人喜欢使用 技术，事件 为 人年龄均不超过 岁，求出 、 的值，利用条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）设超过 岁的教师中喜欢使用 技术的有 人， 由题意可得 ，即 ，整理可得 ， 因为 ，解得 . 补充 列联表如下 年龄 是否喜欢使用 技术 合计 是 否 不超过 岁 超过 岁 合计 零假设 该市教师喜欢使用 技术与年龄无关， ． 依据小概率值 的独立性检验，判断该校教师是否喜欢使用 技术与年龄有关． （2）记事件 为至少 人喜欢使用 技术，事件 为 人年龄均不超过 岁． 全市某名中学教师喜欢使用 技术的概率 ， 不超过 岁且喜欢使用 的概率 ， 所以 ， ， 由条件概率公式可得 ． （2026·黑龙江哈尔滨·二模）2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按 ， ， ， ， ， 分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为 ； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为 ． (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； (2)该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 【答案】(1)71.5分 (2)① ② (3)67.5元 【难度】0.57 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）先确定每组中点值，再结合频率分布直方图的频率/组距计算每组频率，最后代入公式计算平均数； （2）①先根据频率分布直方图计算实际合格和实际不合格的概率，再利用互斥事件概率加法公式和条件概率公式计算总概率； ②因为X服从二项分布，所以先确定二项分布的参数 和 ，再根据二项分布的概率公式计算X取不同值时的概率，进而得到分布列. （3）先分析每种情况的收益和对应的概率，再根据离散型随机变量期望公式计算收益的期望，其中需要结合前面求出的实际合格、不合格的概率，以及AI判定的相关概率来确定各情况的概率. 【详解】（1）平均数 分  . （2）设事件 ：元件实际合格，事件 ：元件被AI判定为不合格， 由题意得： ， ， ， ， ① 由全概率公式： . ②由题意， ，计算概率得： ， ， ， ， 分布列为： （3）设每件元件收益为 ，分四种情况计算期望： 实际合格，AI判合格： ，概率 ； 实际合格，AI判不合格： ，概率 ； 实际不合格，AI判合格： ，概率 ； 实际不合格，AI判不合格： ，概率 . 期望 元 . （2026·山西太原·二模）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为 ，失败的概率为 ； 型号机器人试验成功的概率为 ，失败的概率为 .试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记 为前3轮试验的总得分，求 的数学期望 ； (2)设 为第 轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列 的通项公式； ②记 为前 轮试验的期望总得分，求 关于 的表达式. 【答案】(1) (2)① ② 【难度】0.48 【知识点】利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、递推法求概率、分组（并项）法求和 【分析】（1）可知随机变量 的可能值为0，1，2，3，分别求其概率，进而可得期望； （2）①根据题意结合全概率公式可得 ，利用构造法结合等比数列求通项公式；②分析可得 ，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：随机变量 的可能值为0，1，2，3， 若 ，则3轮都失败，则 ； 若 ，则3轮中只有1轮成功， ； 若 ，则3轮中只有2轮成功， ； 若 ，则3轮都成功， ； 所以 . （2）①设第 轮试验使用A型号机器人为事件 ， 则 ， ， ， 由全概率公式可得 ， 即 ，则 ， 且 ，可知数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列， 则 ，所以 ； ②设第 轮得分期望为 ，则 ， 所以前 轮期望总得分为 . （2026·福建宁德·二模）把学生考试中解答题结果正确､无明显逻辑错误，但书写步骤不规范､缺少必要文字说明､卷面潦草､得分要点缺失的解答定义为“拙解”.为优化考试阅卷效率，某市教育学院引入AI智能阅卷系统，对数学试卷采用两台 初评+人工仲裁的方式阅卷.按扣分评分：“拙解”扣1分､2分､3分. 初评与人工仲裁扣分概率均相同，且相互独立，各扣分概率如下表： 扣分 1 2 3 概率 记系统 的扣分分别为 ，仲裁扣分为 ，扣分规则如下： ①若 ，取 的平均数为最终扣分； ②若 ，启动人工仲裁，取 中与 更接近者，与 计算平均数为最终扣分，若 ，则取 中较小者与 计算平均数为最终扣分. 根据以上材料，解决如下问题： (1)设某同学一道“拙解”的最终扣分为随机变量 ，求 ； (2)该同学本次考试5道解答题全部为“拙解”，各题扣分相互独立. （i）记单题扣2分的题目数为 ，求 ； （ii）记单题扣分不高于2分的题目数为 ，若该同学通过规范书写，可将单题扣分不高于2分的概率提升至 ，为使 ，求 的最小值（结果保留两位小数）. （参考数据： ） 【答案】(1) (2)（i） ；（ii） 【难度】0.48 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）利用分类列举扣分情形，结合独立事件乘法公式即可求解； （2）（i）先求单题扣2分的概率，再利用二项分布概率公式即可求解条件概率； （ii）利用二项分布概率公式，结合单调性解不等式，即可作出判断. 【详解】（1）某同学一道 “拙解”的最终扣分为 分，包括以下四种可能： 扣1分， 扣2分； 扣2分， 扣1分； 扣1分， 扣3分，仲裁扣2分； 扣3分， 扣1分，仲裁扣2分， 故 ； （2）因为 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 单题扣 分的概率为 ， ， ， ， ， 故 ， ； （ii）原本单题扣分不高于 分的概率为 ，则 ， 由 ，有 ，得 ， 令 ， ， 故 在 单调递增， 又 ， ， 所以 的最小值为 . （2026·福建宁德·模拟预测）某答题闯关游戏，开始时，先给每位参加者赋分3分，并规定：每答一题，答对加1分，否则减1分；当积分为6分时，闯关成功并结束游戏；当积分为0分时，闯关失败，也结束游戏.甲同学参加该游戏，假如他答对每道题的概率均为 ，且每道题答对与否相互独立.记游戏结束时甲的答题数为 . (1)证明： 为奇数； (2)当 为奇数时，记甲答完第 题时积分为4分、2分的概率分别为 ， ，证明： ； (3)求 的分布列. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.35 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）设游戏结束时甲共答对 道题，答错 道题，分别求出得分为 和 的情况下的答题数为 ，即可证明. （2）分别计算答完第 题时积分为4分、2分的概率，做除法即可证明. （3）因为X为奇数，设X=2k+1， ，先确定X的可能取值，利用（2）中的概率关系，结合游戏结束的条件（积分到0或6），建立不同答题数下结束游戏的概率递推公式，进而求出每个取值对应的概率，得到分布列。 【详解】（1）证明：设游戏结束时甲共答对 道题，答错 道题，最终得分为 ，游戏结束时最终得分只能为 或 ， 若得 分： ，是奇数； 若得 分： ，也是奇数. 因此 必为奇数，得证. （2）证明： 为奇数，设答对k道，答错 题，得分为 ， 答完 题积分为 分的情况下 ​，故答错 ​道，因此 ； 答完 题积分为 分的情况下 ​，故答错 道，因此 ， 由组合数性质 ​​，两式作比得 ， 故 ，得证. （3）由题知 是不小于 的奇数，记 ，游戏在第 题结束，说明前 题未结束（积分既不为0也不为6）， 结合（2）的结论可推得递推关系：记 为 的概率，初始 ， 且对任意 有 因此得到通式 因此X的分布列为： X … … P … … （2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为 ，求 的分布列和数学期望. (2)记 次操作后游戏终止的概率为 . (i)求 关于 的表达式; (ii)求 的最大值. 【答案】(1) 的分布列为 0 1 2 的数学期望 (2)(i) ；(ii) 【难度】0.31 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题、递推法求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）先确定每个随机变量 的所有可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式计算期望即可； （2）(i)先求出初始项 ，再分两种情形推导 时的递推关系 ，通过构造等比数列即可求出 ； (ii)先作差得到 的表达式，通过解不等式判断 的增减性，得出 是 的最大值并计算具体数值即可. 【详解】（1）由题意知， 的所有可能取值为0，1，2， 且 ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 的数学期望 . （2）（i）由题意知： ， 当 时，第 次操作后游戏终止分两种情形： ①第1次摸出的是黑球，则还需 次摸球游戏才能终止，则 ； ②第1次摸出的是红球，则剩下 次摸球中，最后1次摸出红球，中间 次摸出的都是黑球，则 ， 所以 ， 即当 时， . 又因为 ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ，即 . (ii)当 时， EMBED Equation.DSMT4 ， 令 ，得 ， 两边同时乘以 得： ，所以 ，即 ， 当 时上述不等式成立，故 ， 当 时， ， 因为 是减函数，所以当 时， ，故 ， 所以 最大，即 的最大值为 . （2026·四川遂宁·模拟预测）某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是 ，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当 时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为 ，求 的分布列和数学期望； (2)若两款机器人共进行 且 局比赛，记事件 表示“在前 局比赛中Alpha星赢了 局”．事件 表示“Alpha星最终获胜”.求 的值； (3)若两款机器人共进行了 局比赛，Alpha星获胜的概率记为 ；若两款机器人共进行了 局比赛，Alpha星获胜的概率记为 ；若两款机器人共进行了 局比赛，Alpha星获胜的概率记为 ．证明：当 时， ． 【答案】(1) 1 3 5 数学期望 . (2) (3)证明见解析 【难度】0.3 【知识点】由基本不等式证明不等关系、计算条件概率、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据二项分布的概念和性质，判断随机变量 可能的取值，并根据二项分布概率公式，求出分布列，进而求出数学期望； （2）根据比赛最终获胜的条件，判断 在不同情况下，最后的两局胜负情况，根据条件概率计算公式，求出结果即可； （3）根据比赛最终获胜的条件，分析 之间的递推关系，根据全概率公式，求出递推公式，根据 的范围以及作商法比较 与 的大小关系，进而证明结果. 【详解】（1）两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值 可能的取值有 ， 则 ， ， ， 的分布列为 1 3 5 数学期望 . （2）在前 局比赛中Alpha星赢的局数 时，第 局全胜，最终也无法获胜，所以 ； 当 时，仅当第 局全胜，最终才能赢得比赛，即 ； 当 时，第 局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即 ；                                                              当 时，无论第 局什么结果，都能最终赢得比赛，即 ； 综上所述， . （3）由全概率公式可知 所以 ， 当 时， ，                                     又因为 ， 因为 ，所以 ，即 考点15：解析几何解答题 （2026·湖南永州·三模）在平面直角坐标系 中，已知点 ， 、动点 满足 ， ，记点 的轨迹为曲线 ． (1)求 的方程： (2)已知点 ， ，过点 作斜率为 的直线 交 于 ， 两点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ， ， 成等差数列，求 ． 【答案】(1) ； (2) . 【难度】0.52 【知识点】等差中项的应用、求双曲线的轨迹方程、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用双曲线定义求出点 的轨迹方程，再利用坐标代换法求出曲线 的方程. （2）设出直线 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率公式列式求解. 【详解】（1）由 ，得点 的轨迹是以 为左右焦点，实轴长为2的双曲线， 实半轴长 ，半焦距 ，虚半轴长 ， 因此点 的轨迹方程为 ，设 ，由 ，得 ， 于是 ，即 ，所以曲线 的方程为 . （2）依题意，直线 的斜率存在且不为0，设其方程为 ， ， 由 消去 得 ， ， 则 ， ， ， 由 ， ， 成等差数列，得 ，即 ， 则 ，即 ，所以 . （2026·福建·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上的动点，且 不在 轴上．当 轴时， ． (1)求 的方程； (2)点 分别在直线 与 上，且 ．证明： 三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.56 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）解法一：椭圆定义法（几何法）：先利用椭圆第一定义（椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 ），再结合直角三角形勾股定理求出a，最后由 求 ，即可得出方程； 解法二：待定系数法（代数法）：先利用点在椭圆上则坐标满足方程，再结合 的关系列出方程组，联立求解 ，最后即可得出方程. （2）解法一：先设点并利用椭圆方程得到消元条件，再由垂直关系转化为向量数量积为 0，通过两式加减得到 纵坐标的和差关系，最后用向量共线的交叉相乘判定式，结合椭圆方程化简得 0，证明 与 共线，从而证得 三点共线； 解法二：先由垂直关系求出直线 的方程，联立 得到 坐标，再通过向量共线的交叉相乘判定式，结合椭圆方程化简得 0，证明 与 共线；对斜率不存在的特殊情况直接验证斜率相等，最终证得 三点共线. 【详解】（1）解法一：（1）当 轴时， ， 所以 ，所以 ， 从而 ， ，故 的方程为 ． 解法二：（1）当 轴时， ，所以 或 ，所以 ①， 又 ②，由①②，解得 ， ， 故 的方程为 ． （2）解法一：设 ， ， ，则 ，即 ． 又 ， 所以 ， ， ， ． 因为 ， ，所以 ， ， 两式相加、减，得 ， ， 又因为 ， ， ， 所以 ，故 三点共线． 解法二：设 ，则 ，即 ． (i)当直线 ， 斜率均存在时， ， ， 所以直线 ， ， 由 得 ，由 得 ， 所以 ， ， 因为 ， 所以 ，故 三点共线． (ii)当直线 或 斜率不存在时，根据对称性，不妨设 斜率不存在，且 ， 此时点 ， ， ，故直线 ，从而 ， 则 ， ， 所以 三点共线． 综上， 三点共线． （2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知 分别是双曲线 ： 的左、右顶点，点 是双曲线 上的一点，且 ． (1)求双曲线 的方程； (2)已知过点 的直线 ： ，交双曲线 的左、右两支于 两点（异于 ）. （ⅰ）求 的取值范围； （ⅱ）设直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上． 【答案】(1) (2)（i） 的取值范围为 ；（ii）证明见解析． 【难度】0.5 【知识点】双曲线中的动点在定直线上问题、双曲线中的定值问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）根据 求出 或 ，验证后 不符合题意舍去，然后求出 ，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线 的方程为 ，设 ， ，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和 得到不等式组，从而求出 的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到 ，表达出直线 与直线 的方程，联立得到 ，将 代入，化简得到 即可得证． 【详解】（1） 由题意可知 ， ， ， 因为 ，解得 或 ， 若 ，则双曲线 的方程为 ， 因为 是 上一点，所以 ，解得 ，不满足题意； 若 ，则双曲线 的方程为 ， 因为 是 上一点，所以 ，解得 ，满足题意； 所以双曲线 的方程为 ； （2） （ⅰ）由题意知，直线 的方程为 ，设 ， ， 联立 ，化简得 ， 因为直线 与双曲线左右两支相交，所以 ， 所以 ，解得 或 ， 所以 的取值范围为 ； （ⅱ） ， ，则 ， 直线 的方程为 ①，直线 的方程为 ②， 联立①②得 ，所以 ， 化简得 ， 所以 ， 所以点 的横坐标始终为 ，故点 在定直线 上． （2026·江西吉安·一模）已知双曲线 的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为1，点 为圆 上一动点. (1)求双曲线 的标准方程； (2)若过点 可以作双曲线 的两条切线 ， ，且切点分别为 ， . （ⅰ）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值； （ⅱ）设 ， 分别交圆 于点 ， ，试探究 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ）是，1 【难度】0.35 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意建立方程求得 ，代入即可求解； （2）（ⅰ）设出切线方程，切线与双曲线联立方程组，根据 结合根与系数的关系计算可解；（ⅱ）分 斜率为0或者斜率不存在、 ， 都存在时两种情况分类讨论即可求解， 当 ， 都存在时由点差法可得 ，由几何关系可得 ，进而求解. 【详解】（1）双曲线 的右焦点 ，渐近线方程为 ， 由题意可得 ， 又因为 ，所以 ， ， 故双曲线 的标准方程为 ； （2）（ⅰ）设 ，由题意知切线的斜率一定存在， 设过点 与双曲线相切的切线方程为 ，代入双曲线 中消去 得： ， 则由 得： ， 化简得： ， 则 ， 为上述方程的两个根，故 ， 而 ，所以 （ⅱ） 为定值1. 证明：当 斜率为0或者斜率不存在时，根据对称性可知 ， 此时 ，即 ； 当 ， 都存在时，设 ， ， 的中点为 ， 由 ，即 ， 由于切点弦 所在的直线方程为 ，所以 ， 因此 ，即 ， ， 三点共线， 又由（ⅰ）可知 与 均为直角三角形，故 ， ， 则 ， ，而 ， 所以 ，故 ， ， 所以 ，即 （2026·湖北武汉·二模）在平面直角坐标系 中， ， 是两定点，动点 与 、 连线的斜率之积为 . (1)求动点 的轨迹方程； (2)过点 的直线 与 的轨迹相交于点 ， ，直线 ， 与直线 分别交于点 ， . （ⅰ）证明： ； （ⅱ）记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，且 ，求直线 的方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 或 . 【难度】0.44 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据斜率之积得到方程，又 与 、 不能重合，从而得到轨迹方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，计算出 ，证明出结论； （ⅱ）计算出 ， ， ，由 得到方程，解得 ，求出直线 的方程 【详解】（1）设点 ，由 知， ，化简得 . 又 与 、 不能重合，所以动点 的轨迹方程为 ； （2）（ⅰ）可设直线 方程为 ，点 ， 联立 得， ， ， 则 ， ， 又直线 、 方程分别为 ， ， 分别与 联立，得 ， . ∴ ， ， ∴ 所以， . （ⅱ）先证明，在任意三角形 中，若 ， ， 三角形 的面积 ， 由（ⅰ）知 ， ， ∴ ，同理 . ∴ . 又 ， 因为 ， ， 所以 ， 故 ， 故 ， 由 知， ，解得 . 所以直线 的方程为 或 . （2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，且过点 .在双曲线 上异于点 的两点 满足 . (1)求双曲线 的方程. (2)若 ，探究： 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（ ， ， 分别为直线 ， ， 的斜率） (3)记 的外接圆为圆 ，在点 处作圆 的切线 ，求 的方程. 【答案】(1) (2) 是定值且 (3) 【难度】0.42 【知识点】双曲线中的定值问题、根据离心率求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】（1）根据离心率和双曲线上点的坐标列出方程求解即可. （2）利用 ，可设两直线斜率分别为 和 ，用 表示 和 点坐标，利用两点式求出 的斜率. （3）先设出 的坐标，利用（2）中的韦达定理，求出 与 的中点坐标，写出它们的垂直平分线的方程，联立求出圆心 ，根据半径 的斜率得到切线的斜率，写出过点 的切线方程即可. 【详解】（1）双曲线的离心率为 ， 平方得到 ，又 ，得到 . 双曲线经过点 ， ，解得 . 双曲线 的方程为 . （2） ， 是双曲线上异于点 的两点， ， ， 若 ，则 与 符号相同， 与 在双曲线的同一支上. ，可设 的斜率为 ，则 的斜率为 ， 与 是相异两点，可知 ，直线 ， 同理直线 ，先联立直线 与双曲线可得 ，得 . 直线 显然不能与双曲线的渐近线平行， ， 判别式 ， 当 时，直线 与双曲线必有两个交点，由韦达定理，可得 ，代入 得到 . 同理，用 替换式子中的 可得 ， 将 分别代入直线 中，得 . . 是定值 . （3）利用外接圆的几何性质，可知圆心 在线段 的垂直平分线和线段 的垂直平分线的交点处， 可设 的中点为 ， 的中点为 ： 由（2）中已经联立直线 与双曲线得到的方程： ， 由韦达定理， ，可得 ，代入直线 的方程，可得 ， 利用相互垂直的直线斜率乘积为 ，可写出 的垂直平分线的方程为： ； 同理，用 替换式中的 ，可得到线段 的中点 ， ， 的垂直平分线的方程为： ； 联立两条直线，可求得圆心 的坐标， ， ， 过 点的半径的斜率 ，得到切线的斜率为 ， 所以切线 . （2026·江苏·二模）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，右顶点和上顶点分别为 和 ， ． (1)求 的标准方程； (2)设 为线段 上的动点，过 作平行于 轴的直线与 在第一象限内交于点 ，点 满足 ，延长线段 交 于另一点 ． ①当 的横坐标为1时，记直线 和 的斜率分别为 和 ，求 的值； ②当直线 的斜率为1时，直线 与线段 交于点 ，记 和 的面积分别为 和 ，求 的值． 【答案】(1) (2)① ；② 【难度】0.38 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆的性质结合离心率构造方程求出 ，进而求出椭圆方程； （2）①根据已知条件结合椭圆方程求出相关点坐标，利用斜率公式表示斜率，进而求解；②设 坐标及直线方程 ，联立椭圆方程，利用韦达定理结合 构造方程求出 ，进而得出点 坐标，进而求出 ． 【详解】（1）设 的焦距为 ，右顶点 ，上顶点 ， 离心率为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，解得 ，故 ， ， EMBED Equation.DSMT4 的标准方程为 ． （2）由题意可得 ， ，直线 的方程为 ， ①当 的横坐标为1时， ， 由题意可知点 为线段 的中点， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； ②设 ，直线 的方程为 ， 由 ，得 ， ， EMBED Equation.DSMT4 为线段 上的动点， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，故 ， EMBED Equation.DSMT4 三点共线， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 将 代入上式并化简，得： ， 即 ，解得 ， 当 时， ，与点 在第一象限内矛盾，舍去； 当 时，直线 的方程为 ， ， ， 又 ，得 ， ． （2026·湖南·三模）已知双曲线 的渐近线互相垂直， 分别为其左、右焦点，双曲线与圆 的某个交点的横坐标为 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)过右焦点 的直线l与 的右支交于P，Q两点，其中点P位于第一象限内，直线 分别与y轴交于M，N两点. （i）是否存在直线l使得点 在以线段MN为直径的圆上，若存在，请求出此时直线的斜率；若不存在，请说明理由； （ii）当 时，求出 的大小. 【答案】(1) (2)（i）不存在，理由见解析；（ii） 或 【难度】0.32 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由渐近线互相垂直得到 ， 双曲线方程和圆方程联立方程组解出即可得解； （2）（i）显然直线斜率不存在时结论不成立，设出直线 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到 ，利用点斜式写出直线 的方程为，直线 的方程为，从而得到点M的坐标和点N的坐标，若点 在以线段MN为直径的圆上，则 ，利用数量积求出 ，解得 的值，（ii）利用两点间距离公式求出 ，解得 的值，利用二倍角的正切公式求 . 【详解】（1）因为渐近线互相垂直，所以 ， 将双曲线方程和圆方程联立，解出 ，解得 ， 则双曲线的方程为 ； （2）（i）显然直线斜率不存在时结论不成立， 设直线 ，与双曲线方程联立得到 ，设点P，Q的坐标分别为 ，且 恒成立，则 ， 直线 的方程为： ，直线 的方程为： ， 故点M的坐标为 ，点N的坐标为 ， 若点 在以线段MN为直径的圆上，则 ， 则 ，解得 ， 但是注意到直线l仅与双曲线右支相交，所以 ，因此上述直线不符合条件，因此不存在； （ii）由两点间距离公式可得， ， 则 ，解得 或 （舍），可得 ，当 时，设l的倾斜角为 ， 则 ， 所以 ，同理可得另一个角为 ，因此 为 或 . （2026·四川遂宁·二模）已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，抛物线 上存在点 满足 ，且 . (1)求 的方程； (2)记 ，过 的直线交 于 ，在抛物线 上按如下方式构造点列 ：连接 分别交 于另一点 . （i）设直线 与 轴交点的横坐标为 ，求数列 的通项公式； （ii） 为坐标原点，若 的外接圆与抛物线 交于第四点 ，试证明： 的重心在 轴上，且在 的右侧. 【答案】(1) (2)（i） ，（ii）证明见解析 【难度】0.2 【知识点】写出等比数列的通项公式、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）由抛物线的定义及三角形的面积即可求解； （2）（i）设经过 轴上点 的直线为 ，与抛物线 方程联立，得 ，因为直线 经过点 ，所以 ，因为直线 经过点 ，所以 ，得 ，即可求解； （ii）设直线 与 的交点为 ，因为四点 共圆，所以 ，即可求解． 【详解】（1）由题知 ，所以 ， 不妨设点 在第一象限, 由抛物线定义知 到准线的距离为 ，所以 ， 由 ，解得 ， 所以 的方程为 . （2）（i）设经过 轴上点 的直线为 ， 与抛物线 的两交点记为 ， 联立 得 ，则 ， 因为直线 经过点 ，所以 ， 因为直线 经过点 ，所以 ， 因为直线 和 经过点 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 当 为偶数时， ， 当 为奇数时， ， 综上 ． （ii）设直线 与 的交点为 ，因为四点 共圆， 所以 ， 设直线 为 ，联立 得 ，所以 ， ， 设直线 为 ， 同理可得 ， 又 且 ，所以 ， 所以 ， 则 的重心纵坐标为0，即 的重心在 轴上， ， 同理 所以 ， 联立直线 与 得 ， 所以 ， 所以 的重心在 的右侧.    考点16：函数与导数解答题 （2026·甘肃金昌·三模）设函数 ， ，数列 的各项都是正数． (1)讨论 的单调性； (2)已知 是 的极小值点． （i）若 ，且 ，求数列 的通项公式； （ii）若数列 是等比数列，求 的取值范围． 【答案】(1)当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ，没有递减区间； 当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ． (2)（i） ；（ii） 【难度】0.3 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求导并因式分解得到导数零点，再根据 与 的大小关系分类讨论，确定函数单调区间。 （2）（i）由 确定极小值点，推出递推关系，结合首项求等比数列通项； （ii） 按 ​范围分类验证，排除矛盾情况，结合等比数列性质得出 ​的取值范围． 【详解】（1） 的定义域为 ， ， ，其中 ， 当 时， 或 时， ； 时， ， 所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 当 时， ，所以 的单调递增区间为 ，没有递减区间； 当 时， 或 时， ； 时， ， 所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ． （2）（i）因为 ，所以 ， 所以由（1）知 是 的极小值点，所以 ， 因为 ，所以 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以 ． （ii）当 时， ， 由（1）知 是 的极小值点，所以 ，即 ， 由（1）知 在 上单调递增， 没有极值点，与 是 的极小值点矛盾； 当 时， ， 由（1）知 在 上单调递增， 没有极值点，与 是 的极小值点矛盾； 当 时， ，由（1）知 的极小值点 ， 因为 是等比数列，所以公比 ，所以 . 令 ，则 ， 当 时， ， ， 因为 ， 所以 时， ， ， ， 又 ， ，所以 ， ， 时， ， 故当 时，对任意 均有 ，由（1）知 是 的极小值点，这与 的递推关系一致， 所以 的取值范围是 ． （2026·陕西咸阳·三模）已知函数 ． (1)求函数 的最小值； (2)证明：当 时， ； (3)若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.38 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性及最值； （2）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性证明结论； （3）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性求实数 的取值范围． 【详解】（1）已知函数 ，求导得 ， 令 ，解得 ， 当 时， ，故 ，函数 单调递减； 当 时， ，故 ，函数 单调递增； 是极小值点，即为最小值点，最小值为 ． （2）因为 ， 所以要证明 ，只需证明 ， 只需证明 ， 设 ，求导得 ， 令 ，求导得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 在 处取得极大值，即为最大值， ， 当 时， ， ， 在 上单调递增，故 ， 又 ，故 ， ，原不等式得证． （3） ，不等式等价于 ， ， 令 ， 当 时， ，故 处等号成立； 求导得 ， ， 令 ，求导得 ， ，则 ， 在 上单调递增， 当 时， ， ， 存在 ，使得 ， 当 时， ，又 ， 所以当 时， ，不满足条件； 当 时， ， 在 上单调递增，故 ， 单调递增， ，满足条件； 实数 的取值范围为 ． （2026·河南周口·模拟预测）已知函数 ，函数 . (1)讨论函数 的单调性并求最值； (2)若对 恒成立，求实数 的取值范围； (3)已知 ，证明： . 【答案】(1) 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，最大值 ，无最小值. (2) (3)证明见解析 【难度】0.23 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】 对 求导，根据导数正负判断单调性，进而求最值； 将恒成立问题转化为参数分离，构造函数求其最大值，即可得 的取值范围； 结合前两问的不等式结论，进行 和 的放缩，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得 的定义域为 . 当 单调递增，当 单调递减. 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. 有最大值 ，无最小值. （2）由题意， 对 恒成立，且 . ，且 . 令 ，则 ，且 . 令 ，则 ，且 . ①当 ，即 时，有 在 上单调递增， 在 上单调递增， . 在 上单调递增， 成立. ②当 时， ，且 单调递增， ，有 当 时， 单调递减， . 在 上单调递减， 单调递减， ，与题干矛盾，舍去. ③当 时， 当 单调递减，则 ， 单调递减， 单调递减， ，舍去. 综上，实数 的取值范围为 . （3）由（1）可知 ，即 . 令 ，则 ， . 又∵ ，即 . 则 ， ， ，右式得证. 下证左式：由 可知 ，令 ，则 . 由 可知 ，令 ，则 . 又∵ ，证明如下： ∵ ， ∴ ， ∴ ，即证. ∴ . 综上可得 . ， ， ， . 所以上式得证. （2026·山西晋中·三模）已知函数 . (1)若 ，求 的图象在点 处的切线方程. (2)设函数 . （i）讨论 的零点个数； （ii）若 的较大零点为 ，证明： . 【答案】(1) (2)（i）当 或 时， 有两个零点，当 时， 有一个零点； （ii）证明见解析 【难度】0.27 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）当 时，先求 与 ，利用点斜式写出切线方程； （2）（i）求 并因式分解，分 、 、 三种情况讨论单调性与零点个数； （ii）利用 在 上的单调性，构造函数 ，通过导数判断单调性证明不等式. 【详解】（1）当 时， ， 则 ， 又因为 ， 所以 的图象在点 处的切线方程为 ，即 . （2）（i）由题可知 与 的定义域均为 ，故 . . 令 ，可得 或 . 若 ，则当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， ，又 时， ， 所以存在 ，使得 ，此时共有两个零点； 若 ，则 单调递增，此时 ，有一个零点； 若 ，则当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， ，又 时， ， 所以存在 ，使得 ，此时共有两个零点. 综上，当 或 时， 有两个零点，当 时， 有一个零点. （ii）由 ，可知 . 由 在 上单调递增，可知即证 . 令 ， 即证 ，也即证 . 令 ，则 ， 故 在 上单调递减. 又 ，所以 ，得证. （2026·福建福州·模拟预测）已知函数 . (1)若 ，求 的取值范围； (2)当 时， （i）若 ，求证： ； （ii）记 ，求证： . 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【难度】0.17 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意，将问题转化为 ，进而求函数 的最小值即可求得答案； （2）（i）构造函数 ，进而 在 上单调递增即可证明结论； （ii）令 ，进而得 .再结合（i）的证明过程中得到的不等式 得 ， ，进而得到 即可证明 ；再结合（i）证明过程中得到的不等式 和结论 得 ，最后结合等比数列求和即可证明结论. 【详解】（1）已知 ，即 ， 因为 ， ， 所以 ，即 ， ， 令 ， 则 ， 令 ， ，则 ， 所以 在 上单调递减， ，即 ， 所以，当 时， ， ， ， 单调递减； 当 时， ， ， ， 单调递增； 所以，当 时， 取得最小值 ， 所以 ，即 的取值范围为 . （2）（i）当 时， ， 证明：当 ， ，即 ， ， 令 ， ， 令 ， ， 所以 ， 令 ， ，则 恒成立， 所以 在 上单调递增， 所以 ，即 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增， 所以 ，即 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增， 所以 ，即 ， ， 所以 ， ，证毕. （ii）由 ，令 ，则 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 下面先证明 ， 由（i）知 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 所以，当 时， ， 又因为 ，故当 时， ， ， ， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 ，证毕； 再证明： ， 由（i）知 和 在 上恒成立， 所以，当 时， ，即 ， ， 所以 所以 所以 ，证毕. 综上， . （2026·山西晋中·二模）已知函数 ，其中 ． (1)讨论 的单调性． (2)若函数 有两个不同的零点 ． ①求实数 的取值范围； ②证明： ． 【答案】(1)若 在 内单调递减，在 内单调递增; 若 在 内单调递增，在 内单调递减; 若 在 内单调递增; 若 在 内单调递增，在 内单调递减. (2)① ；②证明见解析 【难度】0.27 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）先确定函数定义域为 ，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数 为分类依据，先讨论 时导函数符号，再讨论 时比较导函数两个零点 与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简 解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数 .求导研究 的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出 的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设 ，把待证不等式转化为关于 的函数不等式.构造辅助函数 ，求导判断单调性，由端点值 推出 ，逆向还原即可证得结论. 【详解】（1）由题意可知: 的定义域为 ，且 ， 若 ，则 ， 当 ，则 ;当 ，则 ; 可知 在 内单调递减，在 内单调递增; 若 ，令 ，解得 或 ， 当 ，即 时，令 ，解得 或 ;令 ，解得 ; 可知 在 内单调递增，在 内单调递减; 当 ，即 时，则 ， 可知 在 内单调递增; 当 ，即 时，令 ，解得 或 ;令 ，解得 ; 可知 在 内单调递增，在 内单调递减; 综上所述:若 在 内单调递减，在 内单调递增; 若 在 内单调递增，在 内单调递减; 若 在 内单调递增; 若 在 内单调递增，在 内单调递减. （2）① 有两个不同的零点 ， 即 有两个不同实根 ， 若 ，则 ，只有一个实数根，不符合题意， 故 ，得 ， 令 ， 令 ，得 ， 当 时， ，可知 在 上单调递增， 当 时， ，可知 在 上单调递减， 当 时， 取得最大值 ，且 时 ， ， 当 时 ，可得 可得不等式： . 先解 ，即 ，解得 或 . 再解 ，移项通分得 ， 等价于 ，即 . 因为 ，故不等式等价于 ， 解得 ， 结合 或 ，取交集得 . 所以实数 的取值范围为 . ②当 时， 有两个不同的零点 . 两根满足 ， 两式相加得: ，两式相减得: ， 上述两式相除得 ， 不妨设 ，要证: ，只需证: ， 即证 ， 设 ，令 ， 则 ， 可知函数 在 上单调递增，且 . 可得 ，即 ，所以 . _1234573224.unk$ 2026高考数学核心考点预测 目录 考点1：集合 2 考点2：复数 2 考点3：平面向量 3 考点4：二项式定理 4 考点5：统计与概率小题 4 考点6：三角函数的图像与性质 10 考点7：三角恒等变化 10 考点8：数列小题 11 考点8：圆锥曲线小题 12 考点9：立体几何小题 16 考点10：函数与导数小题 20 考点11：解三角形解答题 24 考点12：数列解答题 25 考点13：立体几何解答题 26 考点14：概率与统计解答题 27 考点15：解析几何解答题 33 考点16：函数与导数解答题 35 考点1：集合 【例1.1】 （2026·云南昆明二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】 （2026·山西二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例1.3】 （2026·甘肃金昌三模）设集合，，则集合中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例1.4】 （2026·湖南怀化二模）已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例1.5】 （2026·安徽三模）已知集合，集合，则的真子集个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点2：复数 【例2.1】 （2026·河北二模）已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2.2】 （2026·河南郑州二模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3】 （2026·河北保定三模）复数的实部与虚部的和为（    ） A． B． C． D．3 【例2.4】 （2026·湖南长沙一模）已知复数z满足，则z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 考点3：平面向量 一、选择题 【例3.1】 （2026·福建宁德二模）已知向量.若，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【例3.2】 （2026·湖南一模）已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（   ） A． B． C．或 D．或 【例3.3】 （2025·海南模拟预测）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【例3.4】 （2026·陕西渭南二模）已知向量，，若，则（    ） A． B．4 C．9 D．11 【例3.5】 （2026·陕西榆林模拟预测）在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 【例3.6】 （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知平面向量，若，则_____． 【例3.7】 （2026·山东临沂·一模）已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 【例3.8】 （2026·河北邢台·二模）已知向量，满足，，则______． 考点4：二项式定理 【例4.1】 （2026·天津东丽·二模）在的展开式中．的系数为______． 【例4.2】 （2026·甘肃张掖·模拟预测）的展开式中的系数为__________． 【例4.3】 （2026·新疆喀什·一模）的展开式中含的项为____. 【例4.4】 已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 考点5：统计与概率小题 一、单选题 【例5.1】 （2026·重庆一模）某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（    ） A．6人 B．16人 C．22人 D．28人 【例5.2】 （2026·河南开封二模）某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的4000张图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．160 【例5.3】 （2026·河北邢台二模）某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 【例5.4】 （2026·天津东丽一模）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（    ） A． B．成绩在的频数为35 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 【例5.5】 （2026·吉林长春二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【例5.6】 （2026·陕西榆林模拟预测）有8位评委给一名考生打分，满分为100分．将8位评委的打分从低到高排列为36，42，．若这8个分数的极差等于中位数，则该组数据的第60百分位数是（   ） A．62 B．63 C．64 D．65 【例5.7】 （2026·云南曲靖一模）一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2，则（    ） A．中位数可能为3 B．众数可能为4 C．极差可能为5 D．方差可能为1 【例5.8】 （2026·重庆万州模拟预测）若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例5.9】 （2026·山东德州二模）一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【例5.10】 （2025·四川成都一模）三次产业增加值占国内生产总值的比重是衡量一个国家或地区经济发展阶段、产业结构优化程度以及未来经济发展潜力的重要指标、其中第一产业包括农业、林业、渔业等；第二产业涵盖制造业、建筑业等；第三产业则包括服务业、金融业、信息技术等.如图为我国2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重的等高堆积条形图，则（    ） A．2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重逐年递增 B．2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9% C．2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为55.1% D．2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第二产业 【例5.11】 （2026·河北保定三模）某校高三某班共50人参加某次数学测试，该班学生成绩（单位：分）的方差为30，男生成绩的平均数为86，方差为16，女生成绩的平均数为81，方差为36，则该班的女生人数是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 2、 多选题 【例5.12】 （2026·湖南湘潭·三模）PM2.5是空气中的细小污染物，其浓度（单位：）越高，空气质量越差，浓度越低，空气质量越好.我国现行PM2.5国家标准规定：若PM2.5日平均浓度不超过35，则当天空气质量等级为“优”；若PM2.5日平均浓度超过35但不超过75，则当天空气质量等级为“良”.某城市一周内PM2.5日平均浓度如下表，则（    ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 PM2.5日平均浓度 34 27 43 23 45 26 19 A．该城市这周共有5天的空气质量等级为“优” B．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的分位数为27 C．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的极差为28 D．该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为31 【例5.13】 （2026·福建宁德·二模）某市生态环境局记录了4月1-7日连续7天的PM2.5预测误差（预测误差实际浓度-预测浓度，单位：），如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差 2 0 3 2 2 则以下结论正确的是（    ） A．这组数据的中位数是 B．这组数据的众数是2 C．若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的平均数不变 D．若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的方差变小 【例5.14】 （2026·山西晋城·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【例5.15】 （2026·四川遂宁·模拟预测）下列命题正确的是（    ） A．若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为8 B．若，，，则 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 D．在一组样本数据，，，，（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 【例5.16】 （2026·内蒙古兴安·二模）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若事件相互独立，则 C．对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立 【例5.17】 （2026·陕西铜川·三模）下列说法正确的是（   ） A．已知，之间的关系满足，假设，若，之间具有线性相关关系，且与对应的线性回归方程为， B．已知随机变量，则 C．若，，则 D．若随机变量的概率分布为且是常数，则 3、 填空题 【例5.18】 已知随机变量 X 服从正态分布，且，若随机变量，，则__________. 【例5.19】 已知随机变量服从正态分布，且 ，则等于___________． 【例5.20】 （2026·江西新余·二模）已知随机变量，且，则___________ 【例5.21】 （2026·福建莆田·模拟预测）有6个球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机取出一个，取出的球不放回，直到6个小球都取完为止．记第次取出球的号码为，在和至少有一个大于的条件下，数列是递增数列的概率为___________． 【例5.22】 （2026·湖南张家界·三模）现有一个基于数字变换的游戏.初始时黑板上写有数字2，每轮游戏会对该数字进行一次独立变换，每一次变换有的概率将其擦去并写上原先数字加1的数，否则将其擦去并写上原先数字2倍的数，设轮变换后黑板上的数字为，已知在的前提下，第1轮变换前后数字之差为1的概率为，则__________. 【例5.23】 （2026·山东德州·模拟预测）某挑战赛设置了个连续关卡，分别记为第1关卡，第2关卡，⋯，第关卡，每个参赛团队的选手人数均为，每2名选手组成一个双人挑战组，共个双人挑战组，每个关卡均由其中1个双人挑战组进行挑战，各关卡参赛选手均不相同，关卡挑战从第1关卡开始依次挑战，每个关卡至少有1名选手挑战成功（即该关卡挑战成功），才能进入下一个关卡的挑战.若某参赛团队这个连续关卡均挑战成功，则该参赛团队的挑战赛通关.已知参赛团队的每名选手挑战成功的概率均为，且各选手的挑战结果相互独立，若在挑战赛通关的情况下，记内挑战不成功的选手总人数为，则__________. 【例5.24】 （2026·江苏南京·一模）设正整数，其中，．记．从集合中随机抽取一个数，则的概率为________． 考点6：三角函数的图像与性质 【例6.1】 （2026·福建宁德二模）若的最小正周期为，且，则（    ） A．0 B． C． D． 【例6.2】 （2026·湖南湘潭三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【例6.3】 （2026·天津和平二模）已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点7：三角恒等变化 一、选择题 【例7.1】 （2026·吉林白山模拟预测）若，则（   ）. A． B． C． D． 【例7.2】 （2026·陕西榆林三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例7.3】 （2026·福建厦门模拟预测）已知，，则（） A． B． C． D． 【例7.4】 （2026·重庆北碚模拟预测）已知角 满足， ，则 （    ） A． B． C． D．3 二、填空题 【例7.5】 （2026·广西桂林·一模）若，且，则_____. 【例7.6】 （2026·北京石景山·一模）已知，则__________． 【例7.7】 （2026·四川成都·二模）已知，，则__________ 考点8：数列小题 一、选择题 【例8.1】 （2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例8.2】 已知数列满足，．若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 【例8.3】 （2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【例8.4】 （2026·福建宁德·二模）记数列的前项和为，若是等差数列，，则数列的通项__________. 【例8.5】 已知数列和分别是公差为的等差数列和公比为的等比数列，且，若数列的前5项和与数列的前4项和相等，则______. 考点8：圆锥曲线小题 一、选择题 【例8.1】 （2025·河北模拟预测）已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（   ） A． B． C． D．1 【例8.2】 （2026·河南开封模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例8.3】 （2026·山东青岛一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例8.4】 （2026·黑龙江哈尔滨三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例8.5】 （2026·安徽芜湖二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例8.6】 （2026·福建厦门模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例8.7】 （2026·陕西西安三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 4、 多选题 【例8.8】 （2026·云南昆明·二模）已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是上任意一点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．的离心率为 B．点到的两条渐近线的距离之积为 C．若，则 D． 【例8.9】 （2026·河南南阳·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 【例8.10】 （2026·河北保定·三模）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为，其准线与轴交于点，过点的直线交 于 两点，过点且垂直于的直线交于点 ，则（    ） A． B． C． D． 【例8.11】 （2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（   ） A．当直线AB垂直于x轴，且时，则抛物线方程为 B． C．存在直线AB，使得以线段AB为直径的圆过原点 D．若，点，则为钝角 【例8.12】 （2026·内蒙古赤峰·三模）定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知“黄金椭圆”的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．短半轴长为 B．成等比数列 C． D．的外接圆半径为 【例8.13】 （2026·湖南湘西·三模）已知为坐标原点，为抛物线上一点，过的焦点的直线交于，两点（不与点重合），过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B． C．直线的斜率之和为定值 D．若直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为 【例8.14】 （2026·山西临汾·二模）已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C．若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则的最小值为4 D． 三、填空题 【例8.15】 （2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【例8.16】 （2026·湖南湘潭·三模）已知是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为__________． 【例8.17】 （2026·河北沧州·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点在的右支上，若，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为_______. 【例8.18】 （2026·山东青岛·二模）已知平面内两点，与交于点．若，则的面积为___________． 【例8.19】 （2026·山东菏泽·二模）已知椭圆：，曲线，若曲线与椭圆在第一象限内有两个交点，，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为________. 【例8.20】 （2026·江苏·二模）已知椭圆的右焦点为，经过坐标原点且斜率的直线与椭圆交于，两点，设的中点为，的中点为，以线段为直径的圆经过点，则的离心率的取值范围________. 【例8.21】 （2026·山西晋城·一模）过直线上一动点（点不在轴上）作抛物线的两条切线，两条切线与轴分别交于点，则的外接圆面积的最小值为__________． 【例8.22】 （2026·浙江·二模）已知双曲线，左顶点为，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，（在的上方），设点，，在轴上的投影分别为，，，直线平分，则双曲线的离心率为______． 【例8.23】 （2026·吉林·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于两点，当最小时，的值为________. 考点9：立体几何小题 一、选择题 【例9.1】 （2026·湖南怀化二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【例9.2】 （2026·安徽合肥·二模）已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【例9.3】 （2026·重庆北碚·模拟预测）圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例9.4】 （2026·湖南湘潭三模）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例9.5】 （2026·山西吕梁三模）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【例9.6】 （2026·云南保山·二模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 5、 多选题 【例9.7】 （2026·辽宁辽阳·二模）在长方体中，，，M是棱AB的中点，下列说法正确的是（    ） A． B．二面角的余弦值是 C．过的平面截该长方体得到的图形面积是 D．沿长方体表面从到的最近距离是 【例9.8】 （2026·山西·二模）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在动点，使平面 B．若平面，则动点的轨迹长度为 C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D．若正方体的外接球为球，则球被平面所截截面圆的面积为 【例9.9】 （2026·广东深圳·二模）已知正三棱柱的高为2，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（   ） A． B．平面平面 C．截面的面积为 D．该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 【例9.10】 （2026·吉林长春·三模）已知四面体中，，则下列说法正确的是（    ） A．四面体的体积为 B．四面体的外接球的表面积为 C．若平面平面，且平面与四面体的内切球相切，则平面将该四面体分成体积比为的两部分 D．若为平面内一动点，且直线与平面所成角的正切值为，则点轨迹的长度为 【例9.11】 （2026·江苏南京·模拟预测）在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（   ） A．的最小值为 B．点的轨迹形成图形的面积为 C．点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D．当点在侧面上时，的最小值为1 【例9.12】 （2026·安徽阜阳·二模）如图，五面体中，，，，，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（   ）. A． B．平面平面 C．平面截该几何体所得截面面积的最小值为 D．三棱锥外接球的表面积为 【例9.13】 （2026·山东济宁·二模）如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（    ） A． B．四面体体积的最大值为1 C．时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为 D．时，四面体外接球表面积为 3、 填空题 【例9.14】 （2026·湖南湘西·三模）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 【例9.15】 （2026·海南儋州·一模）已知正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________． 【例9.16】 （2026·湖南永州·二模）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，分别是棱的中点，是底面内一动点．若直线平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________． 考点10：函数与导数小题 一、选择题 【例10.1】 （2026·天津二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【例10.2】 （2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例10.3】 （2026·云南昆明二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【例10.4】 （2026·江苏三模）设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【例10.5】 （2026·山东泰安·模拟预测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例10.6】 （2026·广东深圳二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例10.7】 （2026·广东湛江·二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【例10.8】 （2026·山东济南二模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例10.9】 （2026·山东东营模拟预测）若定义在上的奇函数满足，则（   ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【例10.10】 （2026·河北沧州模拟预测）已知函数在区间上存在三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 【例10.11】 （2026·山西晋中·三模）已知函数，则（    ） A．是的极大值点 B．当时， C．，使得点是曲线的对称中心 D．，使得，直线与曲线均只有一个公共点 【例10.12】 （2026·重庆北碚·模拟预测）设三次函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A．当时，若函数的对称中心为，则 B．当时，函数的图象关于点中心对称 C．当时，若的两个极值点为，且，则 D．当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数的取值范围为 【例10.13】 （2026·陕西·二模）已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B． C．若，则 D．函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1 【例10.14】 （2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知函数，其中实数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有两个极值点 B．若函数有3个零点，则实数 C．有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的最小值为2 D．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 3、 填空题 【例10.15】 （2026·甘肃酒泉·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________. 【例10.16】 （2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【例10.17】 （2026·云南昆明·二模）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______． 【例10.18】 （2026·安徽·三模）若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 【例10.19】 （2026·贵州六盘水·一模）函数的极大值点为________. 【例10.20】 （2026·河北保定·一模）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 【例10.21】 （2026·广东广州·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 【例10.22】 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为________． 考点11：解三角形解答题 【例11.1】 （2026·江苏·三模）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：，，成等差数列； (2)若，延长至，使得，求． 【例11.2】 （2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 【例11.3】 （2026·江西·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 【例11.4】 （2026·湖北鄂州·模拟预测）在中内角的对边分别为，且． (1)若的平分线交于点的面积为，求长； (2)若，求当周长最小时的值． 【例11.5】 （2026·广东清远·二模）在中，角的对边分别为，若． (1)求角； (2)若为边上的高，，且的外接圆的面积为，求的面积． 考点12：数列解答题 【例12.1】 （2026·山西·二模）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列. (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：. 【例12.2】 （2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 【例12.3】 （2026·广东汕头·二模）数列的前三项均为，是公比为3的等比数列，且. (1)求的前项和； (2)求. 【例12.4】 （2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【例12.5】 （2026·陕西榆林·三模）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和. 考点13：立体几何解答题 【例13.1】 （2026·吉林延边·三模）在梯形中，，，，AB的中点为E，将A点沿DE折起到P点位置，使得，如图所示． (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的正弦值． 【例13.2】 （2026·江苏盐城·三模）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，， ，平面平面， (1)证明：； (2)若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是，求直线与平面所成角的正弦值. 【例13.3】 （2026·浙江·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若分别为的中点，点在直线上. (1)求证：直线与直线为异面直线； (2)求直线与平面所成角的最大值. 【例13.4】 （2026·山西·二模）在如图（1）所示的直角梯形中，，，，点是的中点，将图形（1）沿折起至图（2），使得到处，且.是上一动点，且， (1)求证：平面平面； (2)是否存在，使得平面与平面的夹角为？若存在，则求的值及点到的距离；若不存在，请说明理由. 【例13.5】 （2026·山西晋中·三模）如图，在直角梯形中，，为的中点，连接，将沿折起到的位置，得到四棱锥.    (1)求证：. (2)设二面角的平面角为，且 （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求四面体体积的最大值. 考点14：概率与统计解答题 【例14.1】 （2026·河南·模拟预测）某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 【例14.2】 （2026·福建漳州·三模）某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案： 方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检．第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机器人每次成功检测每台设备的概率为，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每台设备检测一次的费用为18元． 方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元． (1)当时，求机器人无需对设备进行第二轮巡检的概率； (2)记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为，求的数学期望（用表示）； (3)若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？ 【例14.3】 （2026·河北邢台·二模）某商场在春节期间举办促销活动，顾客每次消费超过1000元(含1000元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中一种). 方案1：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，有放回地取3次球，每次只能取1个，每取出1个红球，立减200元，若3次都取出红球，则除了立减的600 元外再减300元(即总共减900元). 方案2：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，不放回地取3次球，每次只能取1个，若取出3个红球，则享受免单优惠；若取出2 个红球，则享受四五折优惠(即只需支付消费金额的45%)；其余情况不享受优惠. (1)已知某参与抽奖的顾客选择方案2，则在他第一次取出红球的条件下，求他能够享受优惠的概率； (2)若某顾客恰好消费了1000元，试从实付金额的期望值角度，分析他应该选择哪种抽奖方案. 【例14.4】 （2026·江苏·模拟预测）人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市名中学教师，统计了他们使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，制作得到如下列联表（部分数据缺失）． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过岁 超过岁 合计 (1)已知从这名年龄超过岁的教师中随机抽取人，人都喜欢使用技术的概率为．据此完善上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断该市教师是否喜欢使用技术与年龄有关； (2)在（1）的条件下，将频率视为概率计算，从该市全部中学教师中随机抽取人，求其中至少人喜欢使用技术的条件下，人年龄均不超过岁的概率． 附：，其中． 【例14.5】 （2026·黑龙江哈尔滨·二模）2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； (2)该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 【例14.6】 （2026·山西太原·二模）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 【例14.7】 （2026·福建宁德·二模）把学生考试中解答题结果正确､无明显逻辑错误，但书写步骤不规范､缺少必要文字说明､卷面潦草､得分要点缺失的解答定义为“拙解”.为优化考试阅卷效率，某市教育学院引入AI智能阅卷系统，对数学试卷采用两台初评+人工仲裁的方式阅卷.按扣分评分：“拙解”扣1分､2分､3分.初评与人工仲裁扣分概率均相同，且相互独立，各扣分概率如下表： 扣分 1 2 3 概率 记系统的扣分分别为，仲裁扣分为，扣分规则如下： ①若，取的平均数为最终扣分； ②若，启动人工仲裁，取中与更接近者，与计算平均数为最终扣分，若，则取中较小者与计算平均数为最终扣分. 根据以上材料，解决如下问题： (1)设某同学一道“拙解”的最终扣分为随机变量，求； (2)该同学本次考试5道解答题全部为“拙解”，各题扣分相互独立. （i）记单题扣2分的题目数为，求； （ii）记单题扣分不高于2分的题目数为，若该同学通过规范书写，可将单题扣分不高于2分的概率提升至，为使，求的最小值（结果保留两位小数）. （参考数据：） 【例14.8】 （2026·福建宁德·模拟预测）某答题闯关游戏，开始时，先给每位参加者赋分3分，并规定：每答一题，答对加1分，否则减1分；当积分为6分时，闯关成功并结束游戏；当积分为0分时，闯关失败，也结束游戏.甲同学参加该游戏，假如他答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记游戏结束时甲的答题数为. (1)证明：为奇数； (2)当为奇数时，记甲答完第题时积分为4分、2分的概率分别为，，证明：； (3)求的分布列. 【例14.9】 （2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望. (2)记次操作后游戏终止的概率为. (i)求关于的表达式; (ii)求的最大值. 【例14.10】 （2026·四川遂宁·模拟预测）某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)若两款机器人共进行且局比赛，记事件表示“在前局比赛中Alpha星赢了局”．事件表示“Alpha星最终获胜”.求的值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为．证明：当时，． 考点15：解析几何解答题 【例15.1】 （2026·湖南永州·三模）在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程： (2)已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求． 【例15.2】 （2026·福建·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，是上的动点，且不在轴上．当轴时，． (1)求的方程； (2)点分别在直线与上，且．证明：三点共线． 【例15.3】 （2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【例15.4】 （2026·江西吉安·一模）已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，. （ⅰ）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ⅱ）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【例15.5】 （2026·湖北武汉·二模）在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程. 【例15.6】 （2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.在双曲线上异于点的两点满足. (1)求双曲线的方程. (2)若，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（，，分别为直线，，的斜率） (3)记的外接圆为圆，在点处作圆的切线，求的方程. 【例15.7】 （2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． (1)求的标准方程； (2)设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 【例15.8】 （2026·湖南·三模）已知双曲线的渐近线互相垂直，分别为其左、右焦点，双曲线与圆的某个交点的横坐标为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点的直线l与的右支交于P，Q两点，其中点P位于第一象限内，直线分别与y轴交于M，N两点. （i）是否存在直线l使得点在以线段MN为直径的圆上，若存在，请求出此时直线的斜率；若不存在，请说明理由； （ii）当时，求出的大小. 【例15.9】 （2026·四川遂宁·二模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 考点16：函数与导数解答题 【例16.1】 （2026·甘肃金昌·三模）设函数，，数列的各项都是正数． (1)讨论的单调性； (2)已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 【例16.2】 （2026·陕西咸阳·三模）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)证明：当时，； (3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【例16.3】 （2026·河南周口·模拟预测）已知函数，函数. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，证明：. 【例16.4】 （2026·山西晋中·三模）已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程. (2)设函数. （i）讨论的零点个数； （ii）若的较大零点为，证明：. 【例16.5】 （2026·福建福州·模拟预测）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时， （i）若，求证：； （ii）记，求证：. 【例16.6】 （2026·山西晋中·二模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $