8.2 特殊的平行四边形（2）矩形的判定课件2025--2026学年苏科版八年级数学下册

第8章 四边形 8.2 特殊的平行四边形 第2课时 矩形的判定 新课导入 我们知道，矩形的四个角都是直角，对角线相等.反过来，一个四边形满足哪些条件就一定是矩形呢？ 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.矩形的性质： 对称性： 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 既是轴对称图形，又是中心对称图形 知识回顾 1.矩形的定义： Diamond (D) - 教学中，要引导学生从矩形的定义出发进行探索和证明； 在探究平行四边形的判定过程中，我们从平行四边形的性质逆向探究，得出了一些平行四边形的判定方法，这里我们也可以从矩形的性质出发，探究矩形的判定方法. 例如：平行四边形的对角线互相平分 逆 向 对角线互相平分的四边形是平行四边形 获取新知 尝试练习 (1)（2025秋•英德市期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°AC＝6cm，则AB的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm B 尝试练习 (2)（2025春•吴忠期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值为（　　） A． B． C．5 D． B 新课讲解 四个角都是直角的四边形是矩形吗？ 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 可得∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， 于是，AD∥BC，AB∥DC，而∠A=90°. 所以四边形ABCD是矩形. 新课讲解 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ 的四边形是矩形. 四个角都是直角 性质：矩形的四个角都是直角. 逆 向 A B D C 三 如图，在四边形ABCD中，∠A= ∠B= ∠C= ∠D=90°. 说明四边形ABCD是矩形. 已知：如图所示，在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90°． 求证：四边形ABCD是矩形． A B C D 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴ ∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC， AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠A=90°, ∴ ▱ABCD是矩形. 尝试练习 (3)（2024春•朔城区月考）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列选项中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．OA＝OB＝OC＝OD B．AB∥CD，AD∥BC C．AD∥BC，AD⊥CD D．AC＝BD (4)（2024•宣城模拟）关于矩形的判定，以下说法不正确的是（　　） A．四个角相等的四边形是矩形； B．一个内角是直角且对角线相等的四边形是矩形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 A B 新课讲解 对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 观察右图可以发现，在对角线相等时，平行四边形看上去像是矩形. 矩形的判定方法： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： ∵ ∠A= ∠B= ∠C= 90°， ∴四边形ABCD是矩形. A B D C 归纳总结 的平行四边形是矩形 对角线相等 性质：矩形的对角线相等 逆 向 如图，在平行四边形ABCD中，AC=BD, 说明四边形ABCD是矩形. A B D C O Diamond (D) - 要证明四边形是矩形 ,首先需要证四边形是平行四边形 新课讲解 已知，如图，在▱ABCD中，AC=BD.求证:▱ABCD是矩形. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB=DC 在△ABC和△DCB中, ， 所以△ABC≌△DCB（SSS） 所以∠ABC=∠DCB 而∠ABC+∠DCB=180° 所以∠ABC=∠DCB=90° 所以▱ABCD是矩形. 新课讲解 于是，我们得到矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 如图，在▱ABCD中， 如果AC=BD， 那么▱ABCD是矩形. A B C D 新课讲解 讲解例1：（2025•桓台县二模）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE．若CE＝CD，过点D作DF⊥CE于点F．求证：CF＝EB． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝∠DCB＝90° ∴∠DCF＝∠CEB 又∵DF⊥CE于点F， ∴∠DFC＝90°， ∴∠DFC＝∠B， 在△CFD与△EBC中, ∴△CFD≌△EBC（AAS）， ∴CF＝EB． 例题讲解 讲解例2：（2025春•孝南区期中）在☐ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴BE∥DF， ∵CF＝AE， ∴AB-AE＝CD-CF， 即：BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴☐BFDE是矩形． 尝试练习 1．（2025秋•辽阳期末）在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的四个方案，其中正确的方案是（　　） A．测量四边形的两组对边是否相等； B．测量四边形的一组邻边是否相等； C．测量四边形的三个角是否为直角； D．测量四边形的对角线是否互相平分. 2．（2025•鹿邑县三模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD C D 例题讲解 讲解例2：（2025春•孝南区期中）在☐ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF． （2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DE＝4，求矩形BFDE的面积． （2）∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AFD， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， 在Rt△ADE中，∠AED=90° ∴AD== ∴DF＝AD=5， ∴S矩形BFDE=5×4=20． 例题讲解 1、（书本第76页例2）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点， DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形. 例1 ● 例1 证明 证明：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点 ∴CD=AB=AD=BD 又∵DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的角平分线． ∴DE⊥BC于E， DF⊥AC于F （等腰三角形顶角的） ∴∠CFD=∠CED=90° 又∵∠ACB=90° ∴四边形DECF是矩形.（有三个角是直角的四边形是矩形） 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形. A B C D 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 矩形的判定方法： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵ AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B D C O 归纳总结 （2025春•凉州区期中）已知：如图，E是▱ABCD外一点，且∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形． 例题讲解 证明：连接AC，BD相交于点O，连接OE ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC，OB=ODBD 又∵∠AEC＝∠BED＝90° ∴OE=AC，OE=BD ∴AC=BD ∴▱ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） • O 例1 ● 例2 证明 课堂小结 1、矩形的定义; (1)有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 2、矩形的性质； (1)矩形的对边平行且相等； (2)矩形的四个角都是直角； (3)矩形的对角线相等. 3、矩形的判定. (1)三个角是直角的四边形是矩形; (2)对角线相等的平行四边形是矩形; (3)有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 矩形的判定方法： 平行四边形 四边形 矩形 对角线 互相平分 有三个角是直角 有一个角是直角 对角线相等 课堂小结 $