8.2 特殊的平行四边形（4）----菱形（2）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

执教： 张二平 苏科版八年级数学下册 8.2 特殊的平行四边形（4）----菱形（2） 学习目标 1、掌握四边形是菱形的条件，进一步获得判定菱形的方法； 2、经历菱形的判定方法的探索过程，在活动中发展合情推理意识 和主动探究的习惯。 3、创设问题情境、丰富学生的生活经验，激发学生学习数学、 应用数学的兴趣和意识. 学习重点：探索四边形是菱形的条件及菱形的判定方法的应用 学习难点：探索四边形是菱形的条件及菱形的判定方法的应用 一、情境引入： 如图，有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形(rhombus). 菱形的定义既是菱形的性质， 也是菱形的判定方法。 除了用菱形的定义判定一个四边形是菱形外，还有其他判定方法吗？ 3 二、新知探索： 问题：菱形的四条边相等，对角线互相垂直，反过来， （1）四边相等的四边形是菱形吗? （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 如图，在四边形ABCD中，由AB=DC，AD=BC， 可得四边形ABCD是平行四边形. 因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以ABCD是菱形. 观察下图可以发现，在对角线互相垂直时， 平行四边形看上去像是菱形. 如图,在ABCD中，AC⊥BD,垂足为O. 由BO=DO,AC⊥BD, 可得AB=AD.所以ABCD是菱形。 4 不一定 讨论： （1）如果一个四边形的对角线互相垂直， 那么它一定是菱形吗? （2）如果一个平行四边形是轴对称图形， 那么它一定是菱形吗? 不一定 5 小结： 菱形的判定定理： 四边相等的四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言 如图，在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形. 如图，在口ABCD中，∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形. 6 试一试： 1.下列命题中正确的是 (　　 ) A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形 2、如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD, DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是 (　 　) A.4 B.6 C.8 D.10 B C 7 二、例题讲解 例1、如图，直线a//b，点A，C分别在a、b上，AC的垂直平分线 分别与a,b相交于点D、B，垂足为O.连接AB，CD。 求证：四边形ABCD是菱形。 证明:∵AD//BC，∴∠1=∠2. ∵BD垂直平分AC,∴ 0A=0C. 在△AOD和△COB中， ∠1=∠2,0A=0C, ∠AOD=∠COB, ∴△AOD≌△COB ，∴OD=OB. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形 (菱形的判定定理). 例2、如图,在矩形纸片ABCD中，AB=6，bC=8,将矩形纸片折叠, 使点B与点D重合，点A落在点E处,FG是折痕,连接BF. (1)求证:四边形BGDF是菱形；(2)求折痕FG的长. (1)证明：∵将矩形纸片折叠，使点B与点D重合， 点A落在点E处，FG是折痕， ∴BF=DF， BG=DG,∠BFG=∠DFG, ∴四边形ABCD是矩形，∴AD= BC=8,AD//BC, ∴∠DFG= ∠BGF,∴∠BFG=∠BGF,∴BF=BG ∴BF=DF=BG=DG,∴四边形BGDF是菱形; (2)解:过F作FM⊥BC于M，则∠FMC=∠FMB=90°. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABM=90°, ∴四边形ABMF是矩形。∴AB=FM=6，AF=BM, 设AF=x，则BF=DF=8-x，在Rt△BAF中 由勾股定理得：AB2+AF2=BF2，即62+x2=(8-x)2,x= 即AF= ，BG=8-x= .MG=BG-BM= ， 在Rt△FMG中， 由勾股定理得： FG= . 9 三、基础强化： 1、如图,由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合 而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的 最大值是 ( ) A.15 B.16 C.19 D.20 2、如图①是一款风筝,图2是其骨架示意图，A,B,C,D是矩形的 四个顶点,点E,F在AB中垂线上，∠EAB=∠FDC=45°,AF,DE 交于点G,CE,BF 交于点H.若AB=10 dm,BC=7dm, 则骨架总长(图②中所有实线之和)为 m. D 10 3、如图，在ABC中，AC=BC，D，E，F分别是边AB，BC， AC的中点，连接DE，DF.求证：四边形CFDE是菱形。 证明：连接CD， ∵AC=BC，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点， ∴AF=CF= AC, BE=CE= BC, CD⊥AB, ∴DF= AC,DE= BC ∴CF=DF=DE=CE, ∴四边形CFDE是菱形。 11 4、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E，F分别在AB，CD上， 且BE=DF=1.5。(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)求线段EF的长。 解：(1)证明：∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=2, ∴CD=AB=4,AD=BC=2,∠D=∠B=90°. ∵BE=DF=1.5,∴CF=AE=4-1.5=2.5, ∴AF=CF=CE=AE, ∴四边形AECF是菱形. (2)如图所示,过点F作FH⊥AB于点H,则∠AHF=90°. 又∵∠D=∠BAD=90°,∴四边形AHFD是矩形, ∴AH=DF=1,5,FH=AD=2, ∴EH=2.5-1.5=1, 12 四、拓展提高： 如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形.△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？请说明理由. 小明认为根据条件可以先证明四边形ADEF是平行四边形，然后当△ABC满足AB=AC时，四边形ADEF是菱形.你认为他的说法是否完全正确？为什么？ 解：他的说法不完全正确.理由： 证明四边形ADEF是平行四边形 的方法如下： ∵△ABD和△BCE都是等边三角形, ∴AB=DB,BC=BE,∠DBA=∠EBC=60°, ∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA, ∴∠DBE=∠ABC. 在△ABC与△DBE中, ∴△ABC≌△DBE(SAS),∴AC=DE. ∵△ACF是等边三角形, ∴AF=AC,∴DE=AF. 同理可得：EF=AD, ∴四边形ADEF是平行四边形. 当△ABC满足AB=AC≠BC时, 四边形ADEF是菱形.理由如下： 若四边形ADEF是菱形,则AD=AF. ∵△ABD,△ACF都是等边三角形, ∴AD=AB,AF=AC,∴AB=AC. 但当AB=AC=BC时,△ABC是等边三角形, 和△EBC就重合了,四边形ADEF不存在, 故当AB=AC≠BC时,四边形ADEF是菱形. ∴他的说法不完全正确. 13 菱形的判定定理： 四边相等的四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言 如图，在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形. 如图，在口ABCD中，∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形. 五、总结反思： 14 1、如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4，BC=3, D为斜边AB上一点,以CD,CB为边作平行四边形CDEB，当AD= 时,平行四边形CDEB为菱形. 2、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC 上的高,∠ABC的平分线BE交AC于点E,交AD于点F, 过点F作FG//BD,交AC于点G,过点E作EH⊥CD于点H， 连接FH.有下列结论: ①四边形CHFG是平行四边形；②AE=CG； ③FE=FD；④四边形AEHF是菱形.其中， 一定正确的是 .(填序号) 六、达标检测： 1.4 ①②④ 15 3、如图，在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.将△ABC沿射线BC 方向平移10 cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD. 求证:四边形ACFD是菱形. 证明:∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm, ∴AC=10cm. 由平移的性质得 CF=AD=10cm,DF=AC=10 cm, ∴AD=CF=AC=DF, ∴四边形ACFD是菱形. 4、如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上， 且BF=DE.连接AE,EC,CF，FA.求证:四边形AFCE是菱形. $