培优专题 平行线的性质求角度 核心素养评估作业 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

培优专题 平行线的性质求角度—浙教版数学七（下）核心素养评估作业 一、选择题 1．（2025七下·杭州月考）如图，已知，，则的度数（　　） A． B． C． D． 2．（2025七下·浙江期中）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中线段AB，CD都与地面平行，．若CB，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025七下·柯桥期中）如图，已知，于点，，，则的度数是(　　) A． B． C． D． 4．（2025七下·温州期中） 如图1是一款平板桌面支架，其示意图如图2所示.折线A-B-C-D-E是固定支架，且，平板，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图， 已知直线 的平分线 交 于点 ， 则 （　　） A． B． C． D． 6．（2024七下·滨江期末）将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大10°，则（　　） A．增大 B．减少 C．不变 D．增大 7．（2024七下·海曙期中）如图，已知，，，则的值为 A． B． C．50° D． 8．（2025七下·柯桥月考）如图，已知于点E，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9． 如图， ． 若 ， 则 的度数为　 　 10．（2024七下·鄞州期末）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知，，，则　 　． 11．光线在不同介质中的传播速度不同， 从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面 与水杯下沿 平行， 光线 从水中射向空气发生折射， 光线变成 ， 点 在射线 上．若 ， 则 　 　 12．（2025七下·绍兴期末） 如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，当，时，　 　度；如图3为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时　 　度. 13．（2025七下·杭州期中）如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数为　 　． 14．（2025七下·南湖期中）若与的两边分别平行，且，则的度数为　 　. 15．（2024七下·义乌月考）已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为　 　． 16．（2025七下·柯桥月考）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则　 　． 三、解答题 17．（2025七下·杭州期末）综合与实践 【问题情境】 自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的. 这一效果正是利用了角反射器的原理. 最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的. 【数学探究】 如图，入射光线DE经过两次反射后，得到光线FG，已知，. （1） 如图1，AB，BC是两个互相垂直的平面镜，， ①若，求的度数. ②试判断入射光线DE和反射光线FG是否平行，并说明理由. （2） 如图2，改变镜子位置，设平面镜AB，BC的夹角，，，求的值（用含有或的代数式表示）. 18．如图，一辆汽车在公路 上由西向东行驶， 经两次拐弯后驶上公路 ， 驾驶员发现在公路 和公路 上行驶的方向都是正东方向． 如果汽车第一次拐弯转过的角度 ， 那么第二次拐弯转过的角度 是多少度？ 请说明理由． 19．（2025七下·宁海期中）已知直线AB//CD，直线EF分别与AB、CD相交于E、F. （1）【阅读理解】 如图1，PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD，求证；PE⊥PF.请在下面的括号里填写相应的依据. 解：∵PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD. ∴可设∠BEP=∠FEP=x， ∠EFP=∠PFD=y（　 　）. ∵AB//CD， ∴2x+2y= 180°（　 　） ∴x+y=90°. 又∵x+y+∠P=180°， ∴90°+∠P=180° ∴∠P=90°，即EP⊥PF. （2）【推广应用】 如图2，点G在射线EA上，点H在射线FD上，GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH，若∠P=54°、∠GQF=70°，请模仿（1）设元的方法，求∠EGH和∠EFH的度数. （3）[拓展提升] 如图3，点G在线段EF上，点H是直线 CD上的动点（不与F重合），FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD，设∠EGH=m°，请直接用含m的代数式表示∠FPH的度数. 20．（2025七下·杭州期中）如图，已知直线，直线和直线交于点和，点是直线CD上的一个动点． （1）如图1，点在线段，则 ； （2）如果点运动到C，D之间时，试探究之间的关系，并说明理由； （3）若点在C，D两点的外侧运动时（点与点C，D不重合），，之间的关系是否发生改变？请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：B. 【分析】先由内错角相等，两直线平行，得到，然后根据两直线平行，同旁内角互补，得到，进而得到的度数． 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵AB，CD都与地面平行， ∴AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°， ∵∠BCD=62°，∠BAC=55°， ∴∠ACB=180°-62°-55°=63°， 当∠MAC=∠ACB=63°时，AM/CB， 故答案为：B. 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可得出答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示，过点作 故答案为：C. 【分析】过点作，则利用平行的性质可得等于与的和，结合已知可得等于，同理可得等于与直角的和. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，延长FG，交AM的延长线于点N，延长CB交AM于点H， ∵DE∥AM ∴∠FED=∠ANE=58° ∵FG∥CB ∴∠ANE=∠AHB=58° ∵AB⊥AM ∴∠ABH=180°-∠BAH-∠BHA=180°-90°-58°=32° ∴∠ABC=180°-∠ABH=148° 故答案为：D. 【分析】 根据平行线的性质推出∠FNA=∠FED=58°，∠BHA=∠FNA=58°，然后根据三角形内角和求解即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB//CD，∠1=40°， ∴∠GEB=∠1=40°， ∵EF平分∠GEB， ∴∠FEB=∠GEB=×40°=20°， ∵AB//CD， ∴∠2+∠FEB=180°， ∴∠2=180°-∠FEB=180°-20°=160°， 故答案为：C. 【分析】先利用两直线平行，同位角相等的性质求出∠GEB=∠1=40°，再利用角平分线定义可得∠FEB=∠GEB=×40°=20°，最后利用两直线平行，同旁内角互补的性质求出∠2=180°-∠FEB=180°-20°=160°即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，、是直线上的两点， 根据折叠的性质得，，， ∵， ，， ，， ， ∵， ， ， ， 若增大，则减少， 故选：B． 【分析】根据折叠可得，，然后根据两直线平行，内错角相等得到，，利用邻补角定义得到，即可得到，解答即可． 7．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，反向延长DE交BC于点F， ∵AB∥DE，， ∴∠BFD=， ∴∠DFC=180°-∠BFD=110°， ∵ ， ∴∠BCD=∠CDE-∠DFC=140°-110°=30°. 故答案为：A. 【分析】反向延长DE交BC于点F，由平行线的性质可得∠BFD=，利用邻补角的定义可求∠DFC的度数，再利用三角形外角的性质即可求解. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，过点H作HM∥AB，过点F作FN∥AB， ∵AB∥HM，∠AEH=20°， ∴∠EHM=∠AEH=20°， ∵∠EHG=50°， ∴∠MHG=∠EHG-∠EHM=30°， ∵AB∥CD，HM∥AB， ∴HM∥CD， ∴∠MHG=∠HGC=30°， ∴∠CGF=∠CGH+∠HGF=30°+20°=50°， ∵EF⊥AB， ∴∠BEF=90°， ∵AB∥FN， ∴∠EFN=180°-∠BEF=90°， ∵AB∥CD，FN∥AB， ∴FN∥CD， ∴∠NFG=∠CGF=50°， ∴∠EFG=∠EFN+∠NFG=90°+50°=140°. 故答案为：C. 【分析】过点H作HM∥AB，过点F作FN∥AB，由二直线平行，内错角相等得∠EHM=∠AEH=20°，由角的构成得∠MHG=∠EHG-∠EHM=30°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得HM∥CD，由二直线平行内错角相等得∠MHG=∠HGC=30°，由角的构成得∠CGF=∠CGH+∠HGF=30°+20°=50°；由垂直的定义得∠BEF=90°，由二直线平行，同旁内角互补，得∠EFN=180°-∠BEF=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得FN∥CD，由二直线平行内错角相等得∠NFG=∠CGF=50°，最后根据角的构成，由∠EFG=∠EFN+∠NFG代值计算即可. 9．【答案】60° 【解析】【解答】解：∵a∥b， ∴∠1+∠2=180°， ∵∠1=2∠2， ∴2∠2+∠2=180°， ∴∠2=60°. 故答案为：60°. 【分析】本题考查平行线性质”两直线平行，同旁内角互补“，先由平行线性质得∠1+∠2=180°，再把∠1=2∠2代入∠1+∠2=180°得2∠2+∠2=180°，可求得∠2. 10．【答案】 【解析】【解答】解：如图，过点作， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过点作，得到，再根据平行公理，得到，求得，结合，即可求解. 11．【答案】40° 【解析】【解答】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠GFB=∠FED， ∵∠FED=65°， ∴∠GFB=65°， ∵∠HFB=25°， ∴∠GFH=∠GFB-∠HFB=65°-25°=40°. 故答案为：40°. 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”可得∠GFB=∠FED=65°，由∠GFB-∠HFB求得∠GFH=40°. 12．【答案】125；168 【解析】【解答】解：在图2中，延长CB，HG，相交于点K。 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q。 ∵， ∴ ∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直 ∴ ∴ 故答案为：125；168 . 【分析】在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可知，再利用可得的度数，从而可求的度数；在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角定理求得的度数。 13．【答案】18°或54° 【解析】【解答】解：∵ 如果与的两边分别平行 ， ∴=或者+=180°。 又∵比的3倍少 ， ∴=3-。 ∴或 解得：或. 故答案为：18°或54°. 【分析】 根据与的两边分别平行，可得=或者+=180°。再结合 比的3倍少 ，进而可得方程组或。解方程组，求出的之即可. 14．【答案】86°或70° 【解析】【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行， 且∠α= (2x+10)°，∠β=(3x-20)°， ∴(2x+10)+(3x-20) = 180或2x+10=3x-20， 解得：x=38或30 当x =38时， ∠α=86°， 当x=30时， ∠α=70°， 故答案为：86°或70°. 【分析】根据已知得出、相等或互补，列方程求出x =38或x =30， 代入求出即可. 15．【答案】或 【解析】【解答】解：当PK在AD上方时，延长MN，KH交于点Q， ∵ 现将点，，，分别沿，折叠至点，，，， ∴∠K=∠P=∠D=90°，∠AEF=∠FEN， ∵MN∥PK， ∴∠Q+∠K=180°， ∴∠Q=90°， ∴∠ENM=∠Q， ∴EN∥KQ， ∴∠AEN=∠AHQ， ∵AD∥CF， ∴∠AEF=∠EFC=37°， ∴∠AEN=2∠AEF=37×2=74°， ∴∠AHQ=74°， ∴∠KHD=∠AHQ=74°； 当PK在AD的下方时，延长KH，NM交于点T， ∵折叠 ∴∠HKP=90°，∠MNE=90° ∴MN∥KP， ∴∠T=∠HKP=90°， ∴∠ENM=∠T， ∴EN∥KH， ∴∠AHK=∠AEN， ∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EFC=37°， ∴∠AEN=2∠AEF=37×2=74°， ∴∠AHQ=74°， ∴∠AHK=∠AEN=74°， ∴∠KHD=180°-∠AHK=180°-74°=106°； ∴∠KHD的度数为74°或106°. 故答案为：74°或106°. 【分析】当PK在AD上方时，延长MN，KH交于点Q，利用折叠的性质可证得∠K=∠P=∠D=90°，∠AEF=∠FEN，可推出MN∥PK，利用平行线的性质可证得∠ENM=∠Q，由此可得到EN∥KQ，利用平行线的性质可知∠AEN=∠AHQ，由AD∥CF，可证得∠AEF=∠EFC=37°，即可求出∠AEN的度数，然后求出∠KHD的度数；当PK在AD的下方时，延长KH，NM交于点T，利用折叠的性质可证得∠HKP=90°，∠MNE=90°，再证明∠ENM=∠T，可推出EN∥KH，利用平行线的性质可证得∠AHK=∠AEN，∠AEF=∠EFC=37°，可求出∠AEN的度数及∠AHK，然后利用邻补角的定义求出∠KHD的度数；综上所述可得到符合题意的∠KHD的度数. 16．【答案】80° 【解析】【解答】解：过点作，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵的延长线恰好是的角平分线， ∴； 故答案为：. 【分析】过点作，过点作交于点，由二直线平行，同旁内角互补及垂直定义得出∠OAF=90°，由角的构成求出∠BAF=40°，由二直线平行，内错角相等，得∠BAF=∠HBA=∠DHB=40°；由平行于同一直线的两条直线互相平行得BG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠DHB=∠PDN，再根据角平分线的定义可得∠MDN=2∠PDN，从而得出答案. 17．【答案】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； 理由如下：∵， ， ∴， ∵ ∴ ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 【解析】【分析】（1）①要求∠GFC就是要求∠EFB，那么放在中来看，只要知道∠BEF即可，而∠BEF=∠AED=70°，问题就迎刃而解了。 ②这一问利用两个平角的和减去四个小角得到同旁内角（）互补，从而说明两直线平行； （2）本题是在第（1）问的基础上对条件作一些改变，使相关的角的度数一般化，解题思路并不复杂，只需要用含字母的代数式分别表示出，再将两者相加即可得出结论。 18．【答案】解：． ∵经两次拐弯后在公路AB和公路CD上行驶的方向都是正东方向， ∴AB∥CD， ∴α=β=44°， ∴第二次拐弯转过的角度β是44°. 【解析】【分析】由于驾驶员发现在公路AB和公路CD上行驶的方向都是正东方向，所以拐弯后两直线平行，根据平行线的性质即可得α=β． 19．【答案】（1）解：∵PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD. ∴可设∠BEP=∠FEP=x， ∠EFP=∠PFD=y（角平分线的定义）. ∵AB//CD， ∴2x+2y= 180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴x+y=90°. 又∵x+y+∠P=180°， ∴90°+∠P=180° ∴∠P=90°，即EP⊥PF. （2）解：GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH ∴可设∠EGP=∠PGH=x，∠EFP=∠PFH=y 解得 ∴∠EGP=∠PGH=16°. ∴∠EFP=∠PFH=38° ∴∠EGH= 76°，∠EFH=32°. （3）解：当点H在点F的右边时，如图所示， 设∠GFP=∠PFH=x，∠GHP=∠PHD=y. ∴，整理得. ∴ . 当点H在点F的左边时，如图所示， ∵FP、HP分别平分∠EFH和∠GHD， ∴可设∠EFP=∠PFH=a，∠GHP=∠PHD-b， ∴∠EGH=∠GFH+∠GHF = 2a + 2b = m° ∴a+b=m° ∴∠P+∠PHF+∠PFH=180°， ∴∠P=180°-(∠PHF+∠PFH)=180°-(a-m°+b)=180°-m°。 ∴∠FPH=90°-m°或∠FPH=180°-m° 【解析】【分析】（1）根据角平分以及平行的条件，可得到在△EPF里，∠PEF+∠PFE=90°，因此∠P为90°，即 PE⊥PF得证； （2）可设∠EGP=∠PGH=x，∠EFP=∠PFH=y，根据平行性质列出关于x、y的二元一次方程组，求解并得出 ∠EGH和∠EFH的度数； （3）分当点H在点F的右边和点H在点F的左边两种情况，然后列式表示即可。 20．【答案】（1）解：∵过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1， ∴∠PAC=∠APE， ∵l1∥l2， ∴l2∥PE， ∴∠EPB=∠PBD. ∵∠APB=∠APE+∠EPB， ∴∠APB=∠PAC+∠PBD. ∵∠PAC=30°，∠PBD=45°， ∴∠APB=∠PAC+∠PBD=30°+45°=75° （2）解： 当点运动到C，D之间时，∠APB=∠PAC+∠PBD.理由如下： 过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1， ∴∠PAC=∠APE， ∵l1∥l2， ∴l2∥PE， ∴∠EPB=∠PBD. ∵∠APB=∠APE+∠EPB， ∴∠APB=∠PAC+∠PBD （3）解：①当点P在直线l1的上方运动时，∠PBD=∠PAC+∠APB，理由如下： 过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1， ∴∠PAC=∠EPA， ∵l1∥l2， ∴l2∥PE， ∴∠EPB=∠PBD. ∵∠APB=∠EPB-∠APE， ∴∠APB=∠PBD-∠PAC. 即∠PBD=∠PAC+∠APB. ②当点P在直线l2的下方运动时，∠PBD=∠PAC-∠APB，理由如下： 过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1， ∴∠PAC=∠EPA， ∵l1∥l2， ∴l2∥PE， ∴∠EPB=∠PBD. ∵∠APB=∠APE-∠EPB， ∴∠APB=∠PAC-∠PBD. ∴∠PBD=∠PAC-∠APB 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和判定，可得：∠APB=∠PAC+∠PBD=75°. （2）过点P在直线CD的左侧作射线PE，使PE∥l1，所以∠PAC=∠APE，因为l1∥l2，所以l2∥PE，进而可得：∠EPB=∠PBD.因为∠APB=∠APE+∠EPB，所以∠APB=∠PAC+∠PBD. ③当点P在C，D两点的外侧运动时，分在l1的上方和l2的下方两种情况讨论。可以得到：当点P在直线l1的上方运动时，∠PBD=∠PAC+∠APB；当点P在直线l2的下方运动时，∠PBD=∠PAC-∠APB. 学科网（北京）股份有限公司 $