精品解析：海南琼海市嘉积中学2026届高三下学期模拟预测数学试题

高三数学 注意事项； 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知平面向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，第7项的二项式系数是（ ） A. B. C. 8 D. 28 5. 记为等差数列的前 项和，当时，，则下列各项中一定等于0的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的焦距为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知常数，若，，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的前 项和为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是递增数列，则 D. 若是递减数列，则 10. 在某电商平台上，用户获取商品信息的途径有两种，一种是系统推荐，一种是用户自主搜索．根据大数据，用户在该平台获取的商品信息中有来自系统推荐．若商品由系统推荐，则用户购买的概率为，若商品由用户自主搜索，则用户购买的概率为．从该平台随机抽取一件商品，设事件 为“该商品被用户购买”，事件为“该商品由系统推荐”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正四面体的棱长为，则下列说法正确的是（ ） A. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 B. 正四面体的外接球的表面积为 C. 设为正四面体的中心，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围是 D. 若是的中点，动点在内（包括边界），则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在椭圆上， 的焦距为4，则 的离心率为______． 13. 函数的最小正周期为______． 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角 ，， 所对的边分别为， ，．已知． （1）求； （2）若，，求边上的中线的长． 16. 体育课上，老师组织同学们进行投篮闯关游戏，每个同学至多投三个球，只要投进两个即为闯关成功并停止投篮．已知甲每个球投进的概率为，且每次投篮相互独立． （1）当时，求甲最终闯关成功的概率． （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：只投两个球闯关成功，得10分，投三个球闯关成功，得6分，闯关失败，得2分；方案二：闯关成功，得7分，闯关失败，得3分．请讨论选择哪种方案，能使甲获得积分的数学期望更大． 17. 如图，几何体是一个正三棱柱（以为底面）被平面所截得到的．已知，，，． （1）设是的中点，证明：平面； （2）求几何体的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）若恰有两个零点，求实数的取值范围； （3）证明：当时，． 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在 轴上方），以为直径作圆 （圆心为点 ）． （1）证明：圆 与轴相切． （2）若轴，过点作直线轴，过点作，垂足为，线段交劣弧于点，按照如下方式依次构造点和：过作，垂足为，线段交劣弧于点． （i）设，证明：数列为等差数列； （ii）设劣弧的长为，数列的前 项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项； 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以，又，所以． 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 方法一：因为， 所以， 因此． 方法二：． 3. 已知平面向量， ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，且，所以，，所以． 4. 在的展开式中，第7项的二项式系数是（ ） A. B. C. 8 D. 28 【答案】D 【解析】 【详解】第7项的二项式系数为． 5. 记为等差数列的前项和，当时，，则下列各项中一定等于0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得，应用等差数列的通项公式依次判断各项是否为0即可. 【详解】由题设，且，， 若的公差为，则， 所以，则， ，不一定为0，A不符，，B符合， 所以，C不符，，D不符. 6. 已知双曲线的焦距为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，则，解得，所以， 又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即， 所以，所以双曲线的离心率． 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式. 【详解】由已知得，当时，， 所以，当时，同理有，可知是奇函数． 又当时，，所以在上单调递增， 从而可得在上单调递增． 不等式即， 所以有，解得． 8. 已知常数，若，，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将不等式转化为，根据余弦函数的性质求出的取值范围，再分析区间覆盖条件，列不等式求解. 【详解】因为，所以可化为． 由三角函数的定义解得，，即，． 该解集在数轴上表示如下： 若，，使得成立，则只需的长度大于等于相邻解集之间的长度， 所以，解得． 又，所以的最小值为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是递增数列，则 D. 若是递减数列，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】设的公比为．因为，所以．因为，所以， 因为是正项数列，所以，所以，解得或． 故或，可知A错误，B正确； 对于C，若是递增数列，则，，，，所以，故C正确； 对于D，若是递减数列，则，则，所以，，所以，故D正确． 10. 在某电商平台上，用户获取商品信息的途径有两种，一种是系统推荐，一种是用户自主搜索．根据大数据，用户在该平台获取的商品信息中有来自系统推荐．若商品由系统推荐，则用户购买的概率为，若商品由用户自主搜索，则用户购买的概率为．从该平台随机抽取一件商品，设事件为“该商品被用户购买”，事件为“该商品由系统推荐”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】由已知得，，． 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，由全概率公式可得，故B错误； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 11. 已知正四面体的棱长为，则下列说法正确的是（ ） A. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 B. 正四面体的外接球的表面积为 C. 设为正四面体的中心，若球的球面与正四面体的棱有公共点，则球的半径的取值范围是 D. 若是的中点，动点在内（包括边界），则的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积法判断A；利用正方体求外接球半径判断B；利用正方体求棱切球和外接球半径判断C；建立空间直角坐标系，利用点关于面对称求距离判断D. 【详解】对于A，设正四面体内任意一点到四个面的距离分别为，，，， 正四面体的高为，由， 由等体积法可得，所以为定值， 故A正确． 对于B，棱长为2的正四面体的外接球与棱长为的正方体的外接球半径相同，如下图： 设外接球的半径为，则，得， 所以外接球的表面积，故B错误． 对于C，如下图： 为正四面体的中心，若球的球面与正四面体的棱有公共点， 则球的半径满足.由B可知，， 而正四面体的棱切球即为正方体的内切球， 所以棱切球直径即为正方体棱长，则， 所以球的半径的取值范围是，故C正确． 对于D，如下图： 因为的高，设为底面的中心，则， ，． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， .则，，， 所以点关于平面的对称点为，且， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在椭圆上，的焦距为4，则的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【详解】设的半焦距为，由焦距为4，得，， 所以， 将代入椭圆方程，得，解得， 故，得，离心率. 13. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【详解】的定义域为，当时，，此时每相邻两个零点间的距离为； 当时，，的最小正周期为，此时以为最小正周期． 综上可知，的最小正周期为． 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由函数，都是增函数及恒成立，得函数，有公共零点，从而得，令，利用导数求其最小值即可. 【详解】易知函数，都是增函数，都至多有一个零点． 恒成立， 函数，有公共零点，记为，其中， 则，即， 则． 设函数，则，且． ，在上均单调递增，在上单调递增， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，即的最小值为1． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为 ， ，．已知． （1）求； （2）若，，求边上的中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角函数恒等变换公式化简求值即可. （2）利用余弦定理求出 ，再用向量的中线公式求得中线长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得，， 即， 所以． 因为，所以， 即，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理得，，解得． 由向量的中线公式可得， 所以 ． 16. 体育课上，老师组织同学们进行投篮闯关游戏，每个同学至多投三个球，只要投进两个即为闯关成功并停止投篮．已知甲每个球投进的概率为，且每次投篮相互独立． （1）当时，求甲最终闯关成功的概率． （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：只投两个球闯关成功，得10分，投三个球闯关成功，得6分，闯关失败，得2分；方案二：闯关成功，得7分，闯关失败，得3分．请讨论选择哪种方案，能使甲获得积分的数学期望更大． 【答案】（1） （2）若，有，则选方案一， 若，有，则选方案一和方案二都行， 若，有，则选方案二． 【解析】 【分析】（1）利用事件的独立性即可求出概率； （2）分别求出两种方案的期望，再比大小即可. 【小问1详解】 记“甲最终闯关成功”为事件，则． 【小问2详解】 若选用方案一，记甲最终获得的积分为分，则的所有可能取值为，，． ，，， 则． 若选用方案二，记甲最终获得的积分为分，则的所有可能取值为7，3． ，， 则． 所以， 若，有，则选方案一， 若，有，则选方案一和方案二都行， 若，有，则选方案二． 17. 如图，几何体是一个正三棱柱（以为底面）被平面所截得到的．已知，，，． （1）设是的中点，证明：平面； （2）求几何体的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：方法一：如图，取的中点，连接，． 因为为正三角形，所以． 在梯形中，为中位线， 所以，且． 所以且，所以四边形为平行四边形，所以． 因为，所以平面，所以． 又，，平面，平面， 所以平面． 因为，所以平面． 方法二：取的中点，连接，．在梯形中，为中位线， 所以，平面． 如图，以，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，所以． 同理可证：． 又，平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：几何法，取的中点，连接，，利用线面垂直的判定定理进行证明； 方法二：向量法，利用向量的数量积证明，，进而利用线面垂直的判定定理证明； （2）方法一：将几何体补成正三棱柱，利用对称性求解； 方法二：将几何体拆分为正三棱柱和四棱锥，分别计算体积求和； （3）方法一：求出两平面法向量，利用向量夹角公式计算； 方法二：射影面积法，利用，通过计算两个三角形面积求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：如图，分别延长，，至，，， 使，，， 则． 方法二：如图，分别在棱，上取点，，使得， 则几何体是一个底面边长为2，高为2的正三棱柱， 所以． 而四棱锥的体积为． 所以． 【小问3详解】 方法一：建系同（1）中方法二，如图，可得，， 则，． 设是平面的法向量， 则不妨设，则， 显然是平面的一个法向量． 设平面与平面所成的角为， 则， 即平面与平面所成角的余弦值为． 方法二：设平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数 的值； （2）若恰有两个零点，求实数 的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3）当时，要证成立，即证成立， 记，则，． 记，， 和在上均单调递减， 在上单调递减， 又，， 存在，使得，即， ，， 当时，，即， 在上单调递增，当时，，即， 在上单调递减， ， ，故成立，原命题得证． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何性质求出切线方程，结合已知条件求出 ； （2）令，得，构造函数，求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合极限分析求出实数 的取值范围； （3）把不等式转化为，构造函数，求导并分析函数单调性，求出的最大值，进而得出，命题得证． 【小问1详解】 函数的定义域为， 所以， ，， 曲线在点处的切线方程为， 把代入，得． 【小问2详解】 令，得， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 当且趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，且趋近于0， 要使函数有两个零点，只需，即实数 的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在轴上方），以为直径作圆（圆心为点）． （1）证明：圆与轴相切． （2）若轴，过点作直线轴，过点作，垂足为，线段交劣弧于点，按照如下方式依次构造点和：过作，垂足为，线段交劣弧于点． （i）设，证明：数列为等差数列； （ii）设劣弧的长为，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）证明：设，由，知， 则圆心为的中点． 由抛物线的定义可知， 又点到轴的距离， 所以圆与轴相切． （2）（i）证明：由题可知，，圆， 直线，直线与圆相切于点． 过作，垂足为， 设，，，，，则． 得到， 代入圆的方程，得， 由题意，点满足该方程，所以． 整理可得． 根据题设，，所以，又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列． （ii）证明：由（i）可知，可得， 因为，所以，即， 所以， ， 当时，． 由，得，即， 所以，当时，， ， 当时，． 综上，． 【解析】 【分析】（1）设得到圆心坐标，根据抛物线定义得到圆心到轴的距离等于圆的半径，进而得证； （2）（i）先确定，坐标，及圆的方程，设，结合直线与圆的交点为，通过的递推关系，证明为常数即可； （ii）由（i）可知，得，利用扇形与三角形面积关系，得到，再利用裂项相消法对放缩，代入证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $