6.4.3.2 正弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理（2）之正弦定理 温州科技高级中学 张明 问：为什么已知两边及其夹角会有余弦定理公式？为什么已知三边可以直接解三角形公式即会有余弦定理的变形公式？ 答：三角形中若已知两边及其夹角，则这三角形就可以确定，因此会有余弦定理公式，于是三角形的其它量就确定，所以可以求其它量。 三角形已知三边则这三角形就确定，于是三内角就确定，因此才有余弦定理的变形公式，所以可以求其三内角。 如果已知两角和一边，为什么会有相应地直接解三角形的公式？ 答：因为已知两角及任意一边，这三角形就能确定，所以就会有相应地直接解三角形的公式。两角和一边有ASA、AAS、SAA。ASA可以转换为AAS，因为三角形中已知两角就是说已知三角。而AAS与SAA其实是一样。AAS或SAA就是说已知两角及一角对边。 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 引入： 上一节课我们也知道了科技发展的一般规律。 答：不严格讲就是从模糊到精确，从整体到局部，从宏观到微观，由大到小，由远到近，由外到内。 那就是从定性（初中)到定量（高中）。那什么是从定性到定量？ 从量化的角度看，可以将这个大边对大角等边、角关系转化为： 在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系 如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大 角，小边对小角的边角关系。 我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在RtABC中（如图6.4-9），有 sin A= sinB= 显然，上述两个芙系式在一般三角形中不成立，观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得 又因为sinC=sin90°=1，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即 对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？ 因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究 找们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式，在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究. 思考 向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？ 由诱导公式cos（一α）=sinα可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系 如何找到证明中的规律？ 过A做与垂直的单位向量得到的结论是。同理若做与的单位向量得到的结论是 如图6.4-10，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单 位向量，与的夹角为与的夹角为 因为+=，所以 ·(+)=· 由分配律，得 ·+·=· 即 I||| cos +||I|cos (-C)=l||| cos (-A) 也即 asin C=csin A 所以 问：A是锐角与A是钝角有什么区别？ A是锐角，为A，夹角为C。 A是钝角，为A-，为C。 因为。 为什么会同样可得？ 同理，过点C作与垂直的单位向量，可得 因此 当ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角（如图6.4-11).过点A作与与A,与的夹角为C.仿照上述方法，同样可得 正弦定理给出了一个三角形三条边与它们各自所对角的定量关系。利用正弦定理可以解决两类三角形。 1、已知两角和一边，解三角形。 2、已知两边和其中一边的对角，解三角形。 上述两类三角形需要死记硬背吗？ 答：只要观察正弦定理公式的特点就知道正弦定理是解决这两类三角形的。 正弦定理:在一个三角形中：各边和它所对角的正弦的比相等，即 这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和谐优美,而且更突显了三角形边角关系的本质， 同学们如何学习数学比如如何学习一个定理？ 我们要站在人类文明的高度来学习定理。数学星空，群星闪耀，每一个定理都是当时数学家的一大成就。许多定理不但一个数学家研究，而且是许多数学家研究，有古代、近代、现代、当代数学家，有同时代的数学家，有不同时代的数学家。所以我们看到一个定理就要想到它有许多证法，因为每个数学家起码提供一种证法。教材只是选了其中一种证法。比如勾股定理，从古到今，它有367多种证法。你只要百度：勾股定理有多少种证法，就搜索到了。 有的人会说，其实一些证法我也会。那是因为现在的高中生知识面比古代比如古希腊时代数学家更广更博学。人类一天天聪明，且能够做到让过去只有数学家才能懂的知识让小孩子也懂。比如爱因斯坦的相对论，现在的高中生也能懂，这还不到一百年的时间。当爱因斯坦刚提出相对论时全世界只有四五个人懂，现在全世界有几千万人懂相对论。 以上我们利用向量方法获得了正弦定理、余弦定理，事实上，探索和证明这两个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁：你还能想到其他方法吗？ ①利用锐角三角函数证明 教科书处理这一部分内容时，一开始直接利用锐角三角函数推出了正弦定理在直角三角形中成立.既然如此，对于锐角三角形和钝角三角形，只需作高，便可得到直角三角形了，然后再用锐角三角函数即可获得证明. 如图6-25，当△ABC是锐角三角形时，过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据锐角三角函数的定义，得BD=csinA，BD=asinC 所以asinC=csinA， 即 同理可得 所以 当ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角，如图6-26所示,过点B作AC的垂线，与CA的延长线相交于点D，则BD=csin（180°-A）=csinA,BD=asinC 于是可得 同理可得 所以= 利用锐角三角函数证明正弦定理比教科书中介绍的向量法要简单：教科书之所以选用向量法，旨在体现向量在三角中的应用，这也是《标准（2017年版）》的要求，从这个意义上来说，教学时应首选向量法：至于利用锐角三角函数探究正弦定理，正如教科书中所说的，请学生自行尝试即可， ②利用三角形面积证明 如图6-27，以△ABC的顶点A为原点，边AC所在的直线 为x轴，建立平面直角坐标系 B(ccosA.csinA),设BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则不论A是锐角、钝角还是直角，由三角函数的定义知，点B的坐标始终为（ccosA，csinA）.过点B作BEAC，垂足为E，则BE=csinA. 于是可得AC=bcsinA 同理可得absinC 由此即得任意三角形的面积公式 将等式中的每一部分同除以abc，得 由反比定理，得=由反比定理，得. 例7 在ABC中，已知A=15°，B=45°，C=3十，解这个三角形 解：由三角形内角和定理，得 C=180°-（A+B）=180°-（15°+45°）=120° 由正弦定理，得 a== = == b= = 正弦定理的其他形式： ①拆分式 正弦定理虽然是一个连等式，但它可以拆分成如下三个等式 在实际应用中，常用的是拆分式：事实上，拆分式中的每一个等式都揭示了三角形两个角与它们对边之间的关系，如果已知其中任意的三个量，便可以求出其余的一个量。 正弦定理（主要是拆分式）可以用来解决两类解三角形的问题 （ⅰ）已知两角和任一边，求其余的两边和一角 （ii）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其余的边和角 ②连比式 正弦定理可以写成如下连比的形式： a:b:c=sinA:sinB:sinC 根据正弦定理的连比式，可以间接地把问题看成已知三角形三条边的问题，为利用余弦定理解决回题创造了条件 分体式在“化边为角，化角为边”的过程中经常使用。 问：为什么分体式在“化边为角，化角为边”的过程中经常使用。这里的k是什么？ 答：观察分体式特点就知道。K指三角形外接圆的直径。 。 A B C O a b c ③分体式 设 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC; 或sinA=. =2R 问题：正弦定理是很美很漂亮的。正弦定理是三角形等边对等角，大角对大边，大边对大角，小角对小边，小边对小角的一个非常漂亮的精确的描述与认识。但还有个担心就是sinA=sinB能推出A=B或sinA>sinB就能A>B吗？如果不是那这个完美的公式就是不完美了，被破坏了。 幸亏我们发现当A、B是三角形的两个内角时， sinA=sinB推出A=B,sinA >sinB推出A>B，我们松了口气。此题是某一年的高考题。 变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形 300 A B C 26 30 解：由正弦定理 得 所以 Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30 由于154.30 +300>1800 故B只有一解　（如图） C=124.30, 小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出 三角形的其他的边和角。 例8 在ABC中，已知B=30°，b=，c=2，解这个三角形. 分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理。 解：由正弦定理，得sinC== 因为c>b，B=30° 所以30°<℃<180° 于是C=45°，或C=135° ⑴当C=45 此时a= = == 同学们，为什么有二解，你能从几何角度来解释吗？ （2）当C=135时，A=15° 此时a= = == 正弦定理 主要应用 (1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出 三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解） 6.4.3 正弦定理 小结: 已知边a,b和角Ａ，求其他边和角． Ａ为锐角 a<bsinA 无解 a=bsinA 一解 bsinA<a<b 两解 一解 a≥b Ａ为直角或钝角 a>b 一解 a≤b 无解 Ａ Ｂ Ｃ b a Ａ Ｃ b a Ａ Ｃ a b Ａ Ｂ Ｃ a b Ａ Ｂ１ Ｂ２ Ｃ a b Ａ Ｂ Ｃ a b 作业：P52习题6.4第7题 $