精品解析：2026年四川省南充市九年级中考名校联测（二）数学试题

2026年南充中考名校联测（二） 数学试题 （时间120分钟 满分150分） 注意事项： （1）答题前将姓名、座位号、考号填在答题卡指定位置． （2）所有解答内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 下列选项中，最小的是（） A. B. C. D. 2. 一元二次方程两根之积为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表．这10名运动员成绩的中位数是（ ） 成绩/m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 人数/名 1 2 2 3 2 A. 1.50m B. 1.60m C. 1.65m D. 1.70m 4. 在如图的“标准的箭头”中，，则与的度数都是（ ） A. B. C. D. 5. 当时，式子的值（ ） A. 大于且小于 B. 大于且小于 C. 大于 D. 大于1 6. 某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，是的直径，是半圆的中点，是弧上的动点，则的度数为（） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 二次函数y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是（ ） A. 0＜t＜1 B. 0＜t＜2 C. 1＜t＜2 D. ﹣1＜t＜1 10. 如图，在正方形中，是边上一点（不含端点），延长到点，使，连接与交于，作于，连接，．下列结论：；的大小随点，位置的变化而变化；，，三点共线；．正确的有（） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 计算：，结果是___． 12. 不等式组的解集是_____________． 13. 如图，在中，若，则的值为____． 14. 某人5次射击练习，命中的环数分别为6，10，7，x，9．若这组数据的平均数为8，则这组数据的方差为____． 15. 如图，是的直径，是切线，交于D，在上取，的延长线交于F．若，则的度数是____． 16. 如图，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于，与抛物线交于D，点E在直线上．若，则点E的坐标是_____． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在中，于D，E，F分别是的中点，G是的中点，的延长线交于H，连接．求证：． 19. 某商场计划在“五一”期间举办抽奖促销．一次消费满300元的顾客，可获得一次抽奖机会．方案为：从装有大小质感相同的1个红球及3个黄球的袋中，随机摸出1个，若为红球则中奖；若为黄球则无奖．同时允许未中奖的顾客将摸出的球放回袋中，并再加入1个备用的红球或黄球，又从中随机摸出1个（不放回），再从袋中随机摸出1个；若摸得的两球颜色相同则中奖． （1）顾客首次摸球中奖的概率是____． （2）若顾客首次摸球未中奖，为了增大中奖机会，他应往袋中加入哪种颜色的球？请说明理由． 20. 为实数，关于的方程为． （1）求证：原方程一定有实数根． （2）若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数的值． 21. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与双曲线在第一象限内交于点． （1）求双曲线的解析式； （2）在双曲线上求出点P，使为以为直角边的直角三角形． 22. 如图，中，，点在边上，，作的外接圆． （1）求证：直线是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 23. 为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条）的行业数据库，经过调研发现；运行总成本y（单位1万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如下数据， x（单位：万条） 200 300 y（单位：万元） 700 860 （1）求y与x之间的函数关系式， （2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为，且时，，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润=会员费-运行总成本）． 24. 如图，矩形的对角线交于O，与交于E，连接，与交于F． （1）找出图中与相似的三角形，并说明理由； （2）若，，求的长度． 25. 如图，经过，的抛物线与x轴交于A，B，与y轴交于C，点M在y轴正半轴上，． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：在抛物线上存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）在（2）的条件下，设过点N的直线与的延长线及x轴分别交于S，T，请判断的值是否为定值．若为定值，请求出；若否，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年南充中考名校联测（二） 数学试题 （时间120分钟 满分150分） 注意事项： （1）答题前将姓名、座位号、考号填在答题卡指定位置． （2）所有解答内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 下列选项中，最小的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先进行有理数化简、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根化简，再比较数的大小即可得到最小值． 【详解】解：、 、任意非零数的次幂等于，， 、， 、， 比较大小得：， 因此最小的是选项． 2. 一元二次方程两根之积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，， 则方程的两根之积为． 3. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表．这10名运动员成绩的中位数是（ ） 成绩/m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 人数/名 1 2 2 3 2 A. 1.50m B. 1.60m C. 1.65m D. 1.70m 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵一共是10名运动员的跳高成绩，将成绩按照从小到大的排序依次排列，如下（单位：m）： 1.40，1.50，1.50，1.60，1.60，1.70，1.70，1.70，1.80，1.80， ∴10个数据中最中间的两个数是1.60和1.70， ∴中位数为． 4. 在如图的“标准的箭头”中，，则与的度数都是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长分别交于点H，Q，过点G作，则，由题意得，该“标准的箭头”是轴对称图形，则所在直线为对称轴，故平分，得，再根据平行线的性质结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：延长分别交于点H，Q，过点G作，则， 由题意得，该“标准的箭头”是轴对称图形，则所在直线为对称轴，故平分， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴与的度数都是． 5. 当时，式子的值（ ） A. 大于且小于 B. 大于且小于 C. 大于 D. 大于1 【答案】A 【解析】 【分析】先利用异分母分式减法化简，再根据时，即可得出结果． 【详解】解：， 当时，，则， 即当时，式子的值大于0且小于． 6. 某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】优秀人数=参加测评人数优秀率，即优秀人数为；乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上，因此，即乙、丁的优秀人数相等；甲、丙的点分别与反比例函数图像对比，通过比较的大小即可判断哪所学校优秀人数最多． 【详解】解：设反比例函数表达式为，由于乙、丁两点在该反比例函数图象上，故对乙、丁两所学校都有，即乙、丁两校的优秀人数相等； 对于甲校，过点甲作轴的垂线，交反比例函数图象于一点， 该点的横坐标与甲相同，纵坐标大于甲的纵坐标，因此甲校的，即甲校优秀人数小于； 对于丙校，过点丙作轴的垂线，交反比例函数图象于一点， 该点的横坐标与丙相同，纵坐标小于丙的纵坐标， 因此丙校的，即丙校优秀人数大于； 综上：丙校的优秀人数 > 乙校（丁校）的优秀人数 > 甲校的优秀人数，即优秀人数最多的是丙校． 7. 如图，是的直径，是半圆的中点，是弧上的动点，则的度数为（） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理可得，又是半圆的中点，则，所以，得，然后通过圆内接四边形性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵是半圆的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴的度数为． 8. 如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先连接，根据中位线的性质可知，要求最小，即求最小，当时，取得最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：连接， ∵点G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 当时，取最小值，即最小． 在中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 9. 二次函数y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是（ ） A. 0＜t＜1 B. 0＜t＜2 C. 1＜t＜2 D. ﹣1＜t＜1 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可知，当x＝1时，所对应的函数值y＝t＝a＋b＋1．把点（﹣1，0）代入y＝ax2＋bx＋1，a﹣b＋1＝0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t＝a＋b＋1的变化范围． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋1的顶点在第一象限， 且经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b＋1＝0，a＜0，b＞0， 由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①， 由b＝a＋1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②， ∴由①＋②得：﹣1＜a＋b＜1， 在不等式两边同时加1得0＜a＋b＋1＜2， ∵a＋b＋1＝t代入得0＜t＜2， ∴0＜t＜2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与根与系数的关系，在解题时要结合二次函数的图象和系数，对称轴，特殊点，属于基础题． 10. 如图，在正方形中，是边上一点（不含端点），延长到点，使，连接与交于，作于，连接，．下列结论：；的大小随点，位置的变化而变化；，，三点共线；．正确的有（） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，证明，则，，可得，然后通过直角三角形的性质即可判断；由得，，则，又，所以，，，四点共圆，然后通过圆周角定理即可判断；连接，证明，所以，从而得，即可判断；证明，所以，即可判断． 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 由得，， ∴， ∵， ∴，，，四点共圆，如图， ∴，为定值，故错误，不符合题意； 如图，连接， 由得，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在上， 即，，三点共线，故正确； 由得， ∵，，，四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可得：正确，共个． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 计算：，结果是___． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 不等式组的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．直接根据解不等式组的方法求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 13. 如图，在中，若，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 某人5次射击练习，命中的环数分别为6，10，7，x，9．若这组数据的平均数为8，则这组数据的方差为____． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求出的值，再根据方差计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴这组数据的方差为． 15. 如图，是的直径，是切线，交于D，在上取，的延长线交于F．若，则的度数是____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，设，则，根据三角形外角的性质可得，利用求出，进而求出，再利用是切线结合直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，则， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴． 16. 如图，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于，与抛物线交于D，点E在直线上．若，则点E的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的待定系数法、与坐标轴交点的求解．中垂线的定理，勾股定理和联立方程求交点的方法． 【详解】解： 已知抛物线过和， 将代入，得， 将代入， 得．则． ． 令，则， 解得，或． B点的坐标为， ． 直线过点，， 设直线：，将，代入， 得， 直线：． 设直线：， 直线过点和点D， ， 直线：， 设D点的坐标为： ， 在中，， ，， , ， ， 整理得：， 这说明D点的纵坐标为， 即直线：． 联立直线和抛物线方程 得，解得（即A点）或， ． 设直线CD：，将，代入 得， 直线CD：． ， ． ∴． 过点作线段的中垂线交于点H， 则点E在AC的中垂线上(根据中垂线定理)． 设直线：， 过点， ， 平分线上的点，横、纵坐标相等， 直线：（因为在第二象限）． 联立直线和直线 得．则． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，于D，E，F分别是的中点，G是的中点，的延长线交于H，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接EF，DF，先说明再根据“角角边”证明，可得，进而得出是平行四边形，可得，然后直角三角形的性质得，则此题可解． 【详解】证明：连接EF，DF． ∵E，F分别是的中点，点G是的中点。 ∴是的中位线，， ∴ ， ． ∵， ∴， ∴， ∴是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴． 19. 某商场计划在“五一”期间举办抽奖促销．一次消费满300元的顾客，可获得一次抽奖机会．方案为：从装有大小质感相同的1个红球及3个黄球的袋中，随机摸出1个，若为红球则中奖；若为黄球则无奖．同时允许未中奖的顾客将摸出的球放回袋中，并再加入1个备用的红球或黄球，又从中随机摸出1个（不放回），再从袋中随机摸出1个；若摸得的两球颜色相同则中奖． （1）顾客首次摸球中奖的概率是____． （2）若顾客首次摸球未中奖，为了增大中奖机会，他应往袋中加入哪种颜色的球？请说明理由． 【答案】（1） （2）加入黄球，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）记红球为A，黄球为B，往袋中加入的球为X，列出表格，分X为黄球和红球，分别求出概率，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意，顾客首次摸球中奖的概率是； 【小问2详解】 解：顾客应往袋中加入黄球．理由如下： 记红球为A，黄球为B，往袋中加入的球为X，列表： A B B B X A A，B A，B A，B A，X B B，A B，B B，B B，X B B，A B，B B，B B，X B B，A B，B B，B B，X X X，A X，B X，B X，B 共有20种等可能结果． （ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种， 此时顾客中奖的概率； （ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种， 此时顾客中奖的概率； ∵， ∴顾客应往袋中加入黄球． 20. 为实数，关于的方程为． （1）求证：原方程一定有实数根． （2）若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数的值． 【答案】（1）见解析 （2）的值为2，或5 【解析】 【分析】小问（1）需分二次项系数是否为0两种情况讨论．当时，方程为一次方程，有实数根；当时，计算并证明判别式． 小问（2）先求出方程的根，因为根为自然数，再通过此来限制即可得出的值． 【小问1详解】 证明：当时，． 此时原方程为．有实数根． 当时， ， ∴原方程有两个实数根， 综上，原方程一定有实数根． 【小问2详解】 解：由（1），原方程的根． 则， ． 由，知是6的因数． ， ． 当，即时，（舍）． 当，即时，（舍）． 当，即时，． 当，即时，． 综上，a的值为2或5． 21. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与双曲线在第一象限内交于点． （1）求双曲线的解析式； （2）在双曲线上求出点P，使为以为直角边的直角三角形． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先将代入直线，求出，可得直线解析式为，把代入直线解析式可求出，得到，从而可求出，可得反比例函数解析式； （2）求出点的坐标，，分为和两种情况，求出，和，根据勾股定理列方程，求出相应的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：将代入直线解析式，得． ∴， ∴直线的解析式为． 将代入，得， ∴， ∴， 设双曲线为，则， ∴双曲线的解析式为． 【小问2详解】 解：对于直线，令，得， ∴， 设，又， ∴， ， ， 若是以为直角边的直角三角形，则分两种情况讨论： ①当时，则， ∴， 整理得， 此时，方程无实数根，此种情况不存在； ②当时，则， ∴， 整理得， 解得：或， 此时，点的坐标为：或， 综上，点P的坐标为或． 22. 如图，中，，点在边上，，作的外接圆． （1）求证：直线是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作直径，连接，利用等腰三角形的性质和圆心角与圆周角的关系推导角度关系，即可证明垂直； （2）在（1）的基础上，利用三角函数和圆的性质，结合勾股定理计算线段长度． 【小问1详解】 证明：作直径，连接， 则， 根据圆周角定理有， ， ， ， ， ， ， 得， ， 又是的半径， 直线是的切线． 【小问2详解】 解：作于F， 则，， ，， ， ， ． 23. 为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条）的行业数据库，经过调研发现；运行总成本y（单位1万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如下数据， x（单位：万条） 200 300 y（单位：万元） 700 860 （1）求y与x之间的函数关系式， （2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为，且时，，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润=会员费-运行总成本）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】(1)根据题意设y与x之间的函数关系式为y=ax2+bx+500(a≠0)，将x=200，y=700和x=300，y=860代入上式求出a，b的值，问题得解； (2)根据总利润=总会员费−总成本，写出W与x的函数关系式，根据当x=600时，Q=1000，且此时公司的利润W最大，求出m的值，再代入600m+n=1000，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例， ∴设y与x之间的函数关系式为y=ax2+bx+500(a≠0)， 将x=200，y=700和x=300，y=860代入，得 解得 故； 【小问2详解】 解：根据题意得： 当时，W最大， 解得， 根据600m+n=1000， 解得， 故，． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用和待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求出函数关系式是解决本题的关键． 24. 如图，矩形的对角线交于O，与交于E，连接，与交于F． （1）找出图中与相似的三角形，并说明理由； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）与相似的三角形有，，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先推导出，得到，继而推导出，得到，可证明出 ，再推导出，得到，即可解答； （2）先推导出，设，则，得到，，由 ，得到，则，求出，或（不符合题意，舍去），即可解答． 【小问1详解】 解：与相似的三角形有，，理由如下： 如图， ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ． ∵， ． ∴． ． ∵， ∴ ． 又∵， ∴． ∴． ∴ ． 【小问2详解】 由 ，得 ． 设，则． ∴． ∴． 由 ，得 ． ∴． 则，即． 解得，或（不符合题意，舍去）． ∴． 25. 如图，经过，的抛物线与x轴交于A，B，与y轴交于C，点M在y轴正半轴上，． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：在抛物线上存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）在（2）的条件下，设过点N的直线与的延长线及x轴分别交于S，T，请判断的值是否为定值．若为定值，请求出；若否，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解； （2）根据抛物线解析式求出相关点的坐标，求出相关线段的长度，然后利用平行四边形的判定定理进行证明； （3）判定出是菱形，然后利用平行线分线段成比例列出关系式,进而即可得到答案． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线，得 解得，． 则抛物线的解析式为； 【小问2详解】 证明：由（1），得，则， 由，得， 解得或， ∴，，则， ∴， ∴，则， 由，得， 解得或， ∴过M且平行于的直线与抛物线的交点坐标为或， 当，满足， 此时是平行四边形； 【小问3详解】 解：为定值，理由如下： 如图所示， 在中，由勾股定理可得，即， ∴是菱形； ∴． 由，得． 由得． ∴． ∴，为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $