四川省南充市名校2023-2024学年九年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年四川省南充市名校九年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分． 1．（4分）在﹣3、、、3四个实数中，最小的数是（　　） A．﹣3 B．﹣ C． D．3 2．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝35°，将△ABC沿AB边所在直线翻折得△ABC′，连接CC′交AB于点D，则∠BC′C的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 3．（4分）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，现有《论语》、《大学》各2本，《孟子》、《中庸》各1本，若从这6本书中随机抽取1本书，则恰好抽取到《大学》的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a+a＝a2 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D． 5．（4分）《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，直线MN分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若BC＝8，AB＝6，则线段BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（4分）已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝1，若关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则+3x1x2+的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．4 D．7 8．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点E．若∠AOB＝120°，，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）已知实数a，b，c，满足（其中a≠b≠c，abc≠0），则的值为（　　） A．6 B．±6 C．8 D．±8 10．（4分）已知直线x＝k与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m交于点P，与直线y＝2x﹣3交于点Q．下列说法：①抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m的顶点一定在直线y＝2x上；②直线y＝2x﹣3始终在抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m的下方；③线段PQ长度的最小值为3；④当k＜4时，若PQ的长度随k的增大而减小，则m＜3．其中正确的说法是（　　） A．①②③ B．①②④ C．23④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）计算：的结果为 　 　 ． 12．（4分）眼睛是心灵的窗户．为保护学生视力，某中学每学期给学生检查视力，如表是该校9年级1班50名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是 　 　 ． 视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 2 4 7 5 3 9 3 4 6 2 5 13．（4分）击地传球是篮球运动中的一种传球方式，利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截．传球选手从点A处将球传出，经地面点O处反弹后被接球选手在点D处接住，将球所经过的路径视为直线，此时∠AOB＝∠COD，若点A距地面的高度AB为1.2m，点D距地面的高度CD为0.8m，传球选手与接球选手之间的距离BC为3m，则OB的长为 　 　 m． 14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝10，点D，E分别在AC、BC边上，且CD＝CE＝2，点M、N、F分别是AE、BD、AB的中点，则MN的长为 　 　 ． 15．（4分）直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），但不经过第一象限，则3a﹣b的最大值为 　 　 ． 16．（4分）如图，在等边△ABC中，点P是边AC上一点，将AB沿直线BP翻折得到BD，连接DC并延长与直线BP交于点E．下列四个结论：①∠BED＝60°；②BE＝CE+2CD；③AC•DE＝AP•BE；④当点P在直线AC上运动时，若AB＝5，则BE长度的最大值为．其中正确的结论是 　 　 ．（填序号） 三、解答题（本大题9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．先化简，再求值：（x+y）2﹣x（x+2y﹣1），其中x＝﹣2，y＝3． 18．如图，在△ABC中，点E在BA的延长线上，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC，∠ACB＝∠AED． （1）求证：AB＝AD； （2）若AC平分∠DAE，AB＝2，求BD的长． 19．深圳某学校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有 　 　 人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数 　 　 ； （2）若该年级共有800名学生，估计最喜欢去C地研学的学生人数为 　 　 ； （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣3）x﹣2k+3＝0（k≠0）． （1）求证：此一元二次方程总有实数根； （2）设此方程的两个实数根分别为x1，x2，若为整数，求整数k的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣2（k≠0）与x、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数的图象相交于点C，已知点A的横坐标为1，点C的坐标为（n，2）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）过点C作CD⊥AC，交y轴于点D，求△BCD的面积． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AB＝9，，求线段DE的长． 23．某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． （1）小强第几天生产的产品数量为200件？ （2）设第x天每件产品的成本价为a元，a（元）与x（天）之间的函数关系图象如图所示，求a与x之间的函数关系式； （3）设小强第x天创造的利润为w元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多124元，则第（m+1）天每件产品至少应提价几元？ 24．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，点E在AB边上，以DE为腰作等腰直角△DEF，连接CF． （1）若DE⊥AB，求证：CF＝BE； （2）如图1，当点E在AB边上移动，且点F在△ABC内部时，探究∠DCF的大小是否变化？若不变，求∠DCF的度数；若变化，请说明理由； （3）如图2，当点F在△ABC外部时，EF与AC交于点G，若BC＝8，，求EG的长． 25．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接PC，当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标． （3）如图2，过点A作AD∥BC交抛物线于点D，已知点M是线段BC上方抛物线上一点，过点M作MN∥y轴，交AD于N，在线段AC、AD上分别有两个动点E、F，EF＝2，G是EF的中点，当MN+DN取得最大值时，在线段BC上是否存在一点H，使得HG+HN的值最小？若存在，请求出HG+HN的最小值；若不存在，请说明理由． 2023-2024学年四川省南充市名校九年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D C C B A D B 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分． 1．【解答】解：∵正数大于负数， ∴3和大于﹣3和﹣， ∵两个负数，绝对值大的反而小， |﹣3|＝3，|﹣|＝， 3， ∴﹣3， ∴最小的数是﹣3， 故选：A． 2．【解答】解：∵将△ABC沿AB边所在直线翻折得△ABC′， ∴△ABC≌△ABC′，AB⊥CC′， ∴BC＝BC′，∠BDC′＝∠AC′B＝90°，∠C′AB＝∠CAB＝35°， ∴∠BC′C＝∠C′AB＝90°﹣∠AC′C＝35°． 故选：A． 3．【解答】解：由题意得：共有6种等可能的结果， 则恰好抽取到《大学》的概率＝， 故选：C． 4．【解答】解：A、a+a＝2a，故该选项不正确，不符合题意； B、a2•a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意； C、（﹣a2）3＝﹣a6，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5．【解答】解：依题意得：． 故选：C． 6．【解答】解：∵∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6， ∴， 根据题意可知：MN是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠DBC＝∠C， ∴BD＝CD， ∴． 故选：C． 7．【解答】解：由题意得，， ∴b＝﹣2， 则方程为：x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1， ∴． 故选：B． 8．【解答】解：∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，∠AOB＝120°， ∴， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE＝90°， ∴∠ODA＝∠OCE＝90°， ∴∠E＝90°﹣60°＝30°， ∵， ∴， 则的长为， 故选：A． 9．【解答】解：设， 则ab+4＝bk，bc+4＝ck，ac+4＝ak， ∴abc+4c＝bck，abc+4a＝ack，abc+4b＝abk， ∴abc+4c＝k（ck﹣4），abc+4a＝k（ak﹣4），abc+4b＝k（bk﹣4）， ∴abc+4k＝（k2﹣4）c，abc+4k＝（k2﹣4）a，abc+4k＝（k2﹣4）b， ∴（k2﹣4）a＝（k2﹣4）b＝（k2﹣4）c， ∵a≠b≠c，abc≠0． ∴k2﹣4＝0，k2＝4， ∴k＝±2， ∴， 故选：D． 10．【解答】解：∵抛物线顶点为（m，2m）， ∴顶点在直线y＝2x上， 故①正确； ∵x2﹣2mx+m2+2m﹣（2x﹣3）＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2+2＝[x﹣（m+1）]2+2＞0， ∴直线y＝2x﹣3始终在抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m的下方， 故②正确； 直线x＝k与抛物线交于点P（k，k2﹣2mk+m2+2m），与直线y＝2x﹣3交于点Q（k，2k﹣3）， ∴PQ＝（k2﹣2mk+m2+2m）﹣（2k﹣3）＝k2﹣2（m+1）k+m2+2m+3＝（k﹣m﹣1）2+2≥2， ∴线段PQ的最小值为2， 故③错误； ∵PQ＝（k﹣m﹣1）2+2，开口向上，在对称轴k＝m+1的左侧，PQ长度随k的增大而减小， ∵k＜4， ∴m+1＜4， 则m＜3． 故④正确． 故答案为：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．【解答】解：原式＝2+1﹣1＝2， 故答案为：2． 12．【解答】解：该样本中共有个50数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第25、26个数据是4.5， ∴学生右眼视力的中位数为， 故答案为：4.5． 13．【解答】解：由题意得∠ABO＝∠DCO，∠AOB＝∠DOC， ∴△ABO∽△DCO， ∴， 设OB＝x m， 则OC＝（3﹣x）m， ∴， ∴x＝1.8，即OB＝1.8m， 故答案为：1.8． 14．【解答】解：∵AC＝8，BC＝10，CD＝CE＝2， ∴AD＝AC﹣CD＝6，BE＝BC﹣CE＝8， ∵点M、N、F分别是AE、BD、AB的中点， ∴FM是△ABE中位线，FN是△ABD中位线， ∴，，FM∥BC，FN∥AC， ∴∠AFM＝∠ABC，∠NFB＝∠CAB， ∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°， ∴∠AFM+∠NFB＝90°， ∴∠MFN＝90°， ∴， 故答案为：5． 15．【解答】解：∵直线y＝ax+b经过点（﹣1，2）， ∴2＝﹣a+b， ∴b＝a+2， ∴y＝ax+a+2， ∵直线y＝ax+a+2不经过第一象限， ∴， ∴a≤﹣2， ∴3a﹣b＝3a﹣a﹣2＝2a﹣2≤﹣6， ∴3a﹣b的最大值为﹣6． 故答案为：﹣6． 16．【解答】解：延长ED至F，使得DF＝CE． 由翻折可得∠ABE＝∠DBE，BD＝BA， ∵等边△ABC， ∴BA＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC， ∴∠BCE＝∠BDF， ∴△BCE≌△BDF， ∴BE＝BF，∠CBE＝∠DBF， ∴∠DBE+∠DBF＝∠ABE+∠CBE， 即∠EBF＝∠ABC＝60°， ∴△BEF为等边三角形， ∴∠BED＝60°，故①正确； 由（1）知，BE＝EF＝EC+CD+DF＝CD+2CE，故②错误； ∵∠A＝∠E＝60°，∠ABP＝∠EBD， ∴△ABP∽△EBD， ∴， ∴AB•ED＝AP•EB， ∴AC•DE＝AP•BE，故③正确； 连接AE，由折叠可得：∠AEB＝∠DEB＝60°，故点E在△ABC的外接圆⊙O上， 当BE经过点O时BE最长，此时，，故④正确； 综上可知：正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解答】解：（x+y）2﹣x（x+2y﹣1） ＝x2+2xy+y2﹣x2﹣2xy+x ＝x+y2， 当x＝﹣2，y＝3时，原式＝﹣2+32＝7． 18．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即：∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AB＝AD； （2）解：∵AC平分∠DAE， ∴∠CAD＝∠EAC， 又∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠EAC， ∵∠BAD+∠CAD+∠EAC＝180°， ∴3∠BAD＝180°，∠BAD＝60°， ∵AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝2． 19．【解答】解：（1）此次被调查的学生共有15÷15%＝100（人）； 研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：100；72°； （2）（40÷100）×100%×800＝320（人）， 答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人， 故答案为：320； （3）列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男2男1 男2女1 男2女2 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2女1 由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种， ∴刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：P（一男一女）＝， 答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为． 20．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×k×（﹣2k+3） ＝9k2﹣18k+9 ＝9（k﹣1）2． ∵无论k为何实数，总有9（k﹣1）2≥0；即：Δ≥0， ∴一元二次方程总有实数根． （2）解：∵，， ∴， ∵为整数，且k为整数． ∴k﹣3＝±1，±3， ∴k＝4或2或6或0． 又k≠0， ∴k＝2或4或6． 21．【解答】解：（1）由题意可得：A（1，0）， ∵点A（1，0）在直线y＝kx﹣2上， ∴k﹣2＝0，k＝2． ∴一次函数解析式为：y＝2x﹣2． ∵点C（n，2）在直线y＝2x﹣2上， ∴2n﹣2＝2． ∴n＝2． ∴C（2，2）． ∵点C（2，2）在反比例函数的图象上， ∴m＝2×2＝4， ∴反比例函数解析式为：． （2）直线y＝2x﹣2交y轴于点B（0，﹣2）， 设D（0，a）， 则CD2＝22+（a﹣2）2，BC2＝22+42＝20，BD2＝（a+2）2． ∵CD⊥AC， ∴∠DCB＝90°， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴22+（a﹣2）2+20＝（a+2）2， 解得：a＝3． 即． ∴． 22．【解答】（1）证明：连接OD． ∵DE⊥AD， ∴∠ADE＝90°， ∵OA＝OE， ∴OD＝OA， ∴点D在⊙O上，∠OAD＝∠ODA． ∵D A平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC． ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC． ∴BD是⊙O的切线． （2）解：过点D作DF⊥AB于F， 设OD＝x，则OA＝x，OB＝AB﹣OA＝9﹣x， 在Rt△OBD中， ∵cosB＝， ∴， ∴． ∴， 解得x＝4． ∴OB＝9﹣4＝5，BE＝AB﹣AE＝1，， 在Rt△FBD中，， ∴， ∴，． 在Rt△DEF中，， 23．【解答】解：（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，x＞5， 故：10x+100＝200，解得：x＝10， 答：小强第10天生产的产品数量为200件； （2）由图象得，①当0≤x≤10时，a＝5.2． ②当10＜x≤20时，设a＝kx+b（k≠0）， 由题意可得， 解得：， ∴a＝0.1x+4.2． 综上可得，a与x之间的函数关系式为：； （3）①当0≤x≤5时，w＝y（8﹣a）＝20x（8﹣5.2）＝56x， ∵56＞0， ∵w随x的增大而增大， 当x＝5时，w有最大值为：56×5＝280（元）； 当5＜x≤10时，w＝y（8﹣a）＝（10x+100）（8﹣5.2）＝28x+280， ∵28＞0， ∵w随x的增大而增大， 故当x＝10时，w有最大值为28×10+280＝560（元）， 当10＜x≤20时， w＝y（8﹣a） ＝（10x+100）[8﹣（0.1x+4.2）] ＝﹣x2+28x+380 ＝﹣（x﹣14）2+576， 当x＝14时，w有最大值，最大值为576（元）， 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元； ②由①可知，m＝14，m+1＝15， 设第15天提价t元，则第15天的利润为：w＝y（8+t﹣a）＝（10x+100）[8+t﹣（0.1x+4.2）]＝575+250t， 由题意得：575+250t﹣576≥124， 解得：t≥0.5， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 24．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠B＝45°， ∵DE⊥AB，∠DEB＝90°， ∴∠BDE＝45°， ∴∠CDF＝180°﹣∠BDE﹣∠FDE＝45°， ∴∠CDF＝∠BDE， 在△CDF和△BDE中， ， ∴△CDF≌△BDE（SAS）， ∴CF＝BE； （2）解：∠DCF的大小不会变化；理由如下： 过点F作FM⊥CB于M，过点E作FN⊥CB于N，如图1， 则∠FMD＝∠DNE＝90°， ∴∠FDM+∠DFM＝90°， 又∵∠FDM+∠EDN＝90°， ∴∠DFM＝∠EDN， 在△DFM和△EDN中， ， ∴△DFM≌△EDN（AAS）， ∴FM＝DN，DM＝EN， ∵∠NEB＝90°﹣∠B＝45°， ∴∠NEB＝∠B， ∴EN＝BN， ∴BN＝DM， ∵CD＝BD， ∴CM＝DN， ∴CM＝FM， ∴∠FCM＝∠CFM＝45°， 故∠DCF＝45°； （3）解：过点E作EH⊥BC于点H，如图2，则∠EHB＝90°， ∴∠EHB＝∠ACB， ∴EH∥AC， ∴， ∴， ∴BH＝3CH， ∵CH+BH＝BC＝8， ∴4CH＝8，CH＝2，B H＝6， ∴EH＝BH＝6，DH＝BH﹣BD＝6﹣4＝2， 在Rt△EHD中，由勾股定理得：， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：，， ∵AC＝BC，DE＝DF， ∴∠A＝∠B＝45°，∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴∠A＝∠GED， ∵∠A+∠AGE＝∠GEB＝∠DEB+∠GED， ∴∠AGE＝∠BED， ∴△AGE∽△BED， ∴， ∴． 25．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），， ∴OA＝1， ∴． ∴， 已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，将点A，点C的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）过点P作PK⊥y轴于点K．如图1， 已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点， 当y＝0时，得：， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）． ∵AO＝1，，OB＝3， ∴， ∴∠OCA＝30°，， ∴∠OCB＝60°， ∴∠PCB＝2∠OCA＝60°， ∴∠PCK＝60°． 在Rt△PCK中，， 设点P坐标为， ∴PK＝t，CK＝﹣＝， ∴＝， 解得：t1＝0（不合题意，舍去），t2＝1， ∴点P坐标为； （3）在线段BC上存在一点H，使得HG+HN的值最小；理由如下： 由（2）可知，∠OCA＝30°，∠OCB＝60°，则∠ACB＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠ACD＝90°，则∠CAB＝60°，∠BAD＝30°， 设直线BC解析式为，将点B的坐标代入得： ， 解得， ∴． 设直线AD解析式为+b，将点A的坐标代入得： ， 解得：， ∴． 联立得， 解得或， ∴． 设，则， ∴MN＝﹣＝， 过点N作NT∥x轴，DT⊥NT，则∠DNT＝∠BAD＝30°， ∴DN＝2DT ＝2（yN﹣yD） ＝ ＝， MN+DN＝+ ＝+ ＝+． 当时，MN+DN有最大值，此时． ∵G是EF的中点， ∴， 作点N关于BC的对称点N′，则HN＝HN′，连接NN′与BC交于点J， ∵HN+HG＝HN′+HG≥N′G，且N′G+AG≥AN′． ∴HN+HG≥AN′﹣AG， 故HN+HG的最小值为， ∵∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°， ∴AC⊥BC， 又∵BC∥AD，NJ⊥BC， ∴NJ＝AC＝2AO＝2，NN′＝2NJ＝2AC＝4， 设MN交x轴于点Q， ∵， ∴NQ＝，AQ＝， ∵tan∠NAQ＝＝＝， ∴∠NAQ＝30°， ∴AN＝2NQ＝， 在Rt△ANN′中，AN′＝＝＝， ∴HN+HG的最小值为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$