20.1 勾股定理及其应用（第2课时）教学设计2025-2026学年 人教版八年级数学下册
20.1 勾股定理及其应用（第2课时）
1．能熟练运用勾股定理解决现实生活中的实际问题，感受勾股定理在生产、生活中的应用，增强应用意识．
2．经历将实际问题抽象为直角三角形数学模型的过程，体会转化思想，提升分析和解决问题的能力．
灵活运用勾股定理解决实际问题．
新课导入 
【引导语】上节课我们成功探索并证明了勾股定理，知道了直角三角形的三边具有特殊的数量关系，即两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，是数学中重要的定理之一，在现实生活中有着极为广泛的应用．今天，我们就一同探究如何运用它解决实际问题．
【问题】同学们见过工人师傅搬东西吗？如果要搬运的物品，它的长或宽都比房间的门更大时，它还有可能通过吗？这时候，有经验的工人师傅会怎么做呢？
【师生活动】学生结合生活经验自由发言，师生达成共识：工人师傅会把物品倾斜一个角度，尝试斜着通过．
【追问】想象一下，现在有一块长方形的薄木板（不考虑木板厚度），想通过一个矩形的门框，横着或竖着都无法通过时，同学们觉得应该怎样判断它能否斜着通过呢？
【师生活动】教师组织学生交流讨论，师生达成共识：矩形门框的对角线是框内最长线段，也是木板斜着能通过的最大长度，判断木板能否通过，关键在于比较木板的长、宽与门框对角线长度之间的大小关系．
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【设计意图】结合具体的问题情境，激发学生探究兴趣，让学生初步感知“将实际问题抽象为数学问题”的思路，为后续构造直角三角形，利用勾股定理解决实际问题作好铺垫．
新知探究
【问题1】一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
【师生活动】根据前面的讨论，师生共同明确解决问题的思路：先求出门框对角线的长度，再比较这个长度与木板的宽度．教师请学生独立思考，尝试在学习任务单上解决问题，并请学生代表分享做法．
【方法】连接对角线AC，构造Rt△ABC．在Rt△ABC中，∠B＝90°，直角边AB＝1 m，BC＝2 m，利用勾股定理求出斜边AC（即门框对角线）长，再与木板宽度2.2 m进行比较．
【答案】解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5，
所以AC＝
≈2.24＞2.2 ．
所以木板能从门框内通过．
【归纳】“能否通过”类问题的解题要点．
（1）核心思想：在矩形（门框、通道等）中构造直角三角形，矩形的对角线为斜边；
（2）解题步骤：①构造直角三角形；②找准直角、斜边和直角边；③利用勾股定理求对角线（斜边）长度；④与物体的关键尺寸进行比较．
【设计意图】让学生亲身经历“构造模型—运用定理—计算比较”的完整过程，感受勾股定理在现实生活中的应用，强化转化思想，增强应用意识．
【问题2】如图，一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7 m．如果将梯子底端
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沿OB向外移动0.8 m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8 m吗？
【师生活动】 经过交流讨论后，师生共同明确：可以假设梯子的底端由点B移动到点D，那么，在梯子移动前后，梯子的高度始终保持不变，即AB＝CD．教师通过一系列追问，逐步引导学生利用勾股定理解决问题．
【追问1】梯子移动前后，分别构成了哪两个直角三角形？每个三角形的已知边和待求边是什么？
【师生活动】学生观察图形可知：
梯子移动前构成了Rt△AOB，斜边AB＝2.5 m，直角边OB＝0.7 m，待求直角边为OA
梯子移动后构成了Rt△COD，斜边CD＝2.5 m，直角边OD＝0.7＋0.8＝1.5 m，待求直
角边为OC．
【追问2】如何判断梯子顶端是否沿墙AO下滑0.8 m？
【师生活动】师生共同分析，得出：可以先根据勾股定理分别求出OA和OC，再计算出OA与OC的差值，即为顶端下滑的距离．
【答案】解：当梯子底端沿OB向外移动0.8 m时，设梯子的底端由点B移动到点D，
顶端由点A下滑到点C．可以看出，AC＝OA－OC．
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76，
OA＝2.4．
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OC2＝CD2－OD2＝2.52－(0.7+0.8)2＝4，
OC＝2．
所以，AC＝OA－OC＝2.4－2＝0.4．
因此，当梯子底端向外移动0.8 m时，梯子顶端并不是下滑0.8 m，而是下滑0.4 m．
【归纳】“梯子移动”类问题的解题要点．
（1）隐藏条件：梯子长度不变，始终为直角三角形的斜边长；
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