20.1 勾股定理及其应用（第2课时）教学设计2025-2026学年 人教版八年级数学下册

20.1　勾股定理及其应用（第2课时） 教学目标 1．能熟练运用勾股定理解决现实生活中的实际问题，感受勾股定理在生产、生活中的应用，增强应用意识． 2．经历将实际问题抽象为直角三角形数学模型的过程，体会转化思想，提升分析和解决问题的能力． 教学重点 灵活运用勾股定理解决实际问题． 教学难点 灵活运用勾股定理解决实际问题． 教学过程 新课导入 【引导语】上节课我们成功探索并证明了勾股定理，知道了直角三角形的三边具有特殊的数量关系，即两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，是数学中重要的定理之一，在现实生活中有着极为广泛的应用．今天，我们就一同探究如何运用它解决实际问题． 【问题】同学们见过工人师傅搬东西吗？如果要搬运的物品，它的长或宽都比房间的门更大时，它还有可能通过吗？这时候，有经验的工人师傅会怎么做呢？ 【师生活动】学生结合生活经验自由发言，师生达成共识：工人师傅会把物品倾斜一个角度，尝试斜着通过． 【追问】想象一下，现在有一块长方形的薄木板（不考虑木板厚度），想通过一个矩形的门框，横着或竖着都无法通过时，同学们觉得应该怎样判断它能否斜着通过呢？ 【师生活动】教师组织学生交流讨论，师生达成共识：矩形门框的对角线是框内最长线段，也是木板斜着能通过的最大长度，判断木板能否通过，关键在于比较木板的长、宽与门框对角线长度之间的大小关系． 【设计意图】结合具体的问题情境，激发学生探究兴趣，让学生初步感知“将实际问题抽象为数学问题”的思路，为后续构造直角三角形，利用勾股定理解决实际问题作好铺垫． 新知探究 【问题1】一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 【师生活动】根据前面的讨论，师生共同明确解决问题的思路：先求出门框对角线的长度，再比较这个长度与木板的宽度．教师请学生独立思考，尝试在学习任务单上解决问题，并请学生代表分享做法． 【方法】连接对角线AC，构造Rt△ABC．在Rt△ABC中，∠B＝90°，直角边AB＝1 m，BC＝2 m，利用勾股定理求出斜边AC（即门框对角线）长，再与木板宽度2.2 m进行比较． 【答案】解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5， 所以AC＝≈2.24＞2.2 ． 所以木板能从门框内通过． 【归纳】“能否通过”类问题的解题要点． （1）核心思想：在矩形（门框、通道等）中构造直角三角形，矩形的对角线为斜边； （2）解题步骤：①构造直角三角形；②找准直角、斜边和直角边；③利用勾股定理求对角线（斜边）长度；④与物体的关键尺寸进行比较． 【设计意图】让学生亲身经历“构造模型—运用定理—计算比较”的完整过程，感受勾股定理在现实生活中的应用，强化转化思想，增强应用意识． 【问题2】如图，一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7 m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8 m吗？ 【师生活动】 经过交流讨论后，师生共同明确：可以假设梯子的底端由点B移动到点D，那么，在梯子移动前后，梯子的高度始终保持不变，即AB＝CD．教师通过一系列追问，逐步引导学生利用勾股定理解决问题． 【追问1】梯子移动前后，分别构成了哪两个直角三角形？每个三角形的已知边和待求边是什么？ 【师生活动】学生观察图形可知： 梯子移动前构成了Rt△AOB，斜边AB＝2.5 m，直角边OB＝0.7 m，待求直角边为OA 梯子移动后构成了Rt△COD，斜边CD＝2.5 m，直角边OD＝0.7＋0.8＝1.5 m，待求直 角边为OC． 【追问2】如何判断梯子顶端是否沿墙AO下滑0.8 m？ 【师生活动】师生共同分析，得出：可以先根据勾股定理分别求出OA和OC，再计算出OA与OC的差值，即为顶端下滑的距离． 【答案】解：当梯子底端沿OB向外移动0.8 m时，设梯子的底端由点B移动到点D， 顶端由点A下滑到点C．可以看出，AC＝OA－OC． 在Rt△AOB中，根据勾股定理， OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76， OA＝2.4． 在Rt△COD中，根据勾股定理， OC2＝CD2－OD2＝2.52－(0.7+0.8)2＝4， OC＝2． 所以，AC＝OA－OC＝2.4－2＝0.4． 因此，当梯子底端向外移动0.8 m时，梯子顶端并不是下滑0.8 m，而是下滑0.4 m． 【归纳】“梯子移动”类问题的解题要点． （1）隐藏条件：梯子长度不变，始终为直角三角形的斜边长； （2） 核心思路：分别分析移动前后的两个直角三角形，用勾股定理求对应直角边长度； （3）关键提醒：避免主观臆断“底端移动距离＝顶端移动距离”，需通过计算验证． 【设计意图】让学生经历“分别计算—求差值—验证结论”的过程，进一步熟练对勾股定理的应用，同时纠正生活中的直觉误区，培养学生“用数据说话”的严谨思维． 课堂练习 1．如图所示， A，B是池塘边上的两点，点C是与BA方向成直角的方向上一点，测得BC＝60 m，AC＝20 m．求A，B两点间的距离（结果取整数）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师讲评． 【答案】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2＝BC2－AC2＝602－202＝3 200． AB＝≈57． 答：A，B两点间的距离约为57 m． 2．如图所示，用激光测距仪测量一栋楼的高度，位于地面上点A处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点B，仪器显示AB＝23.1 m；再将激光射向楼顶端的点C，仪器显示AC＝31.9 m；最后仪器自动显示出楼高BC＝22 m．你能说出其中的数学道理吗？ 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师讲评，并指出：这种先根据激光测距仪直接测量两个距离值，再利用勾股定理求得建筑物高度的方式，是一种间接测量建筑物高度的方式． 【答案】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， BC2＝AC2－AB2＝31.92－23.12＝484． BC＝＝22． 所以楼高BC为22 m． 3．电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸＝2.54 cm）为单位．王芳测得自家电视机的屏幕宽为71 cm，高为40 cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸（结果取整数）？ 【师生活动】学生先根据题意以及常识绘制电视机屏幕的矩形示意图，注意到屏幕的宽和高为直角边，并标注宽71 cm、高40 cm，自主构造直角三角形（对角线为斜边）．教师引导学生先正确运用勾股定理求对角线的长度，再进行单位换算． 【答案】解：设屏幕对角线的长度为x cm． 在直角三角形中，根据勾股定理， x2＝712＋402＝6 641． x＝≈81.49． 81.49÷2.54≈32． 答：这台电视机的屏幕尺寸约为32英寸． 【设计意图】通过课堂练习，强化学生对勾股定理的实际应用的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力． 【归纳】利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）审清题意，识别实际问题中的直角三角形场景，明确直角、直角边和斜边； （2）根据勾股定理列出数量关系式； （3）代入数据计算，检验结果是否符合实际意义，写出最终结论． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．本节课用勾股定理解决了哪些实际问题？解决问题的关键是什么？ 2. 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤是什么？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第30页习题20.1第2，3，4题． 学科网（北京）股份有限公司 $