20.1 勾股定理及其应用（第3课时）教学设计2025-2026学年 人教版八年级数学下册
20.1 勾股定理及其应用（第3课时）
1．利用勾股定理证明判定直角三角形全等的方法（HL），感受勾股定理在数学研究中的应用．
2．掌握用勾股定理画出长为
（n是正整数）的线段，进而在数轴上画出表示（n是正整数）的点的方法，体会数形结合的思想，提升几何作图与推理能力．
理解利用勾股定理，在数轴上画出表示无理数的点的方法.
新课导入 
【引导语】同学们，在八年级上册中我们学习过三角形全等的判定方法，如SSS，SAS，AAS，还有判定直角三角形全等的方法HL．
【问题】“HL”指的是斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，当时教材中提到：在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
【师生活动】教师提出问题，学生独立思考，在学习任务单上画出图形，写出已知和求证．师生共同明确证明思路：可以利用勾股定理得出另一条直角边相等，再利用SSS证明全等．
【设计意图】以证明全等三角形“HL”判定方法为切入点，引导学生思考勾股定理在逻辑推理中的应用，既衔接旧知，又明确了本节课的探究方向，激发学生的探究欲望．
新知探究
【问题1】已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′．
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【师生活动】学生尝试在学习任务单上完成证明过程，教师巡视指导，并请学生代表板书证明过程，师生共同点评．
【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
根据勾股定理，
BC＝
，B′C′＝
．
又 AB＝A′B′，AC＝A′C′，
∴ BC＝B′C′．
∴ △ABC≌△A′B′C′（SSS）．
【设计意图】通过勾股定理证明“HL”方法，一方面为前面因知识储备不足而没有证明的结论补充推理验证，另一方面启发学生在以后的逻辑推理中适当运用勾股定理，提升推理能力．
【问题2】同学们，还记得在学习实数时，我们是如何在数轴上画出表示
的点吗？
【师生活动】学生回忆已学方法：因为是边长为1的正方形的对角线的长度，所以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示．
【教师小结】也可以理解成构造了两条直角边长都为1的直角三角形，利用它的斜边长得到了．
【追问】我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示．你能参考上述思路，在数轴上画出表示
的点吗？
【师生活动】学生组内交流讨论，教师启发：能不能构造一个斜边长为、两条直角
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边长都是整数的直角三角形呢？如果可以，这个直角三角形的两条直角边长分别是多少？
小组代表分享想法，师生共同梳理出在数轴上画出表示的点的思路．
（1）转化问题：要在数轴上表示，关键是画出长为的线段；
（2）构造直角三角形：由长为的线段是直角边长均为1（
）的直角三角形的斜边长，联想到
，即直角边长分别为2和3的直角三角形斜边长为；
（3）在数轴上定位：以数轴原点为圆心，原点和3之间的线段为一条直角边，画出另一条直角边和斜边，以斜边长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示的点．
学生根据上述思路尝试在学习任务单上作图，教师强调作图的规范性（如垂线的画法、半径长度的准确性等）．
【答案】
是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边长．
第一步：O为数轴原点，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3；
第二步：过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝2；
第三步：以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示的点．
【问题3】我们已经学习了画出长为
和的线段的方法，类似地，利用勾股定理，可以画出长为
，
，
，…的线段吗？
【师生活动】教师引导学生在画出长为的线段后，以为基础，构造直角边长为和1的直角三角形，则该直角三角形的斜边长为
＝
；再以为直角边长，1为另一直角边长，画出的直角三角形的斜边长为；以此类推，可以画出长为（n为大于1的正整数）的线段．
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