20.1 勾股定理及其应用（第3课时）教学设计2025-2026学年 人教版八年级数学下册

20.1　勾股定理及其应用（第3课时） 教学目标 1．利用勾股定理证明判定直角三角形全等的方法（HL），感受勾股定理在数学研究中的应用． 2．掌握用勾股定理画出长为（n是正整数）的线段，进而在数轴上画出表示（n是正整数）的点的方法，体会数形结合的思想，提升几何作图与推理能力． 教学重点 利用勾股定理解决有关证明、作图、找点、计算等问题． 教学难点 理解利用勾股定理，在数轴上画出表示无理数的点的方法. 教学过程 新课导入 【引导语】同学们，在八年级上册中我们学习过三角形全等的判定方法，如SSS，SAS，AAS，还有判定直角三角形全等的方法HL． 【问题】“HL”指的是斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，当时教材中提到：在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考，在学习任务单上画出图形，写出已知和求证．师生共同明确证明思路：可以利用勾股定理得出另一条直角边相等，再利用SSS证明全等． 【设计意图】以证明全等三角形“HL”判定方法为切入点，引导学生思考勾股定理在逻辑推理中的应用，既衔接旧知，又明确了本节课的探究方向，激发学生的探究欲望． 新知探究 【问题1】已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′． 【师生活动】学生尝试在学习任务单上完成证明过程，教师巡视指导，并请学生代表板书证明过程，师生共同点评． 【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°， 根据勾股定理， BC＝，B′C′＝． 又 AB＝A′B′，AC＝A′C′， ∴ BC＝B′C′． ∴ △ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【设计意图】通过勾股定理证明“HL”方法，一方面为前面因知识储备不足而没有证明的结论补充推理验证，另一方面启发学生在以后的逻辑推理中适当运用勾股定理，提升推理能力． 【问题2】同学们，还记得在学习实数时，我们是如何在数轴上画出表示的点吗？ 【师生活动】学生回忆已学方法：因为是边长为1的正方形的对角线的长度，所以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示． 【教师小结】也可以理解成构造了两条直角边长都为1的直角三角形，利用它的斜边长得到了． 【追问】我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示．你能参考上述思路，在数轴上画出表示的点吗？ 【师生活动】学生组内交流讨论，教师启发：能不能构造一个斜边长为、两条直角边长都是整数的直角三角形呢？如果可以，这个直角三角形的两条直角边长分别是多少？ 小组代表分享想法，师生共同梳理出在数轴上画出表示的点的思路． （1）转化问题：要在数轴上表示，关键是画出长为的线段； （2）构造直角三角形：由长为的线段是直角边长均为1（）的直角三角形的斜边长，联想到，即直角边长分别为2和3的直角三角形斜边长为； （3）在数轴上定位：以数轴原点为圆心，原点和3之间的线段为一条直角边，画出另一条直角边和斜边，以斜边长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示的点． 学生根据上述思路尝试在学习任务单上作图，教师强调作图的规范性（如垂线的画法、半径长度的准确性等）． 【答案】是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边长． 第一步：O为数轴原点，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3； 第二步：过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝2； 第三步：以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示的点． 【问题3】我们已经学习了画出长为和的线段的方法，类似地，利用勾股定理，可以画出长为，，，…的线段吗？ 【师生活动】教师引导学生在画出长为的线段后，以为基础，构造直角边长为和1的直角三角形，则该直角三角形的斜边长为＝；再以为直角边长，1为另一直角边长，画出的直角三角形的斜边长为；以此类推，可以画出长为（n为大于1的正整数）的线段． 【答案】 【追问】可以在数轴上依次画出表示，，，，，…的点吗？ 【师生活动】学生分组讨论，自主在学习任务单上尝试画图，学生代表分享画法，教师点评总结． 【答案】 【归纳】利用勾股定理，可以画出长为（n是正整数）的线段，进而在数轴上画出表示（n是正整数）的点． （1）画长为（n是正整数）的线段：关键是找到两实数a，b，使其满足a2＋b2＝n，构造直角边长分别为a和b的直角三角形，斜边长即为． （2）在数轴上画出（n是正整数）的点的方法：①构造以实数a，b（a2＋b2＝n）为直角边长的直角三角形，其斜边长即为；②以原点为圆心，为半径画弧，找到弧与数轴正半轴的交点，该点即为数轴上表示的点． 【设计意图】结合作图操作与规律归纳，让学生体会“数形结合”思想，加深对勾股定理应用的认知，培养发散思维能力和归纳推理能力． 例题精讲 【例1】在数轴上画出表示的点． 【师生活动】教师鼓励学生尝试多种思路在学习任务单上画出表示的点，如以1和4为直角边长，或者先画出，再以和2为直角边长． 【答案】解：方法一 如图，O为数轴原点，在数轴上找到点A，使OA＝4， 作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝1， 以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示的点． 方法二 如图，OM ＝， 作直线l垂直于OM，在l上取点F，使MF＝2， 以原点O为圆心，OF为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点E即为表示的点． 【设计意图】通过例题，帮助学生进一步巩固应用勾股定理在数轴上画出表示（n是正整数）的点的方法，提升动手实践与知识迁移能力． 课堂练习 1．如图，等边三角形ABC的边长为6，求： （1）高AD； （2）等边三角形ABC的面积． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）在等边三角形ABC中，AD⊥BC，则BD＝CD＝3． 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得AD2＝AB2－BD2＝62－32＝27， 故AD＝3． （2） 等边三角形ABC的面积＝BC·AD＝×6×3＝9． 【归纳】求已知边长的等边三角形的面积问题． （1）转化图形：利用等边三角形“三线合一”的性质，将等边三角形分割为两个全等的直角三角形； （2）运用定理，求解面积：结合勾股定理，求出直角三角形的高，代入三角形面积公式求解． 2．如图，AD是△ABC的边BC上的高．分别以线段AB，AC，BD，CD为边向外作正方形，正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4．请写出关于S1，S2，S3，S4的等式． 【师生活动】学生观察图形，由正方形的面积公式可知：S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BD2，S4＝CD2．要写出关于S1，S2，S3，S4的等式，就要找到AB，AC，BD，CD之间的关系．教师引导：因为AD是高，所以△ABD，△ADC均为直角三角形，是否可以由勾股定理得到各边之间的关系？ 【答案】解：因为AD是△ABC的边BC上的高， 所以△ABD，△ADC均为直角三角形． 由勾股定理， 得AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2， 又S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BD2，S4＝CD2， 所以S1＝S3＋AD2，S2＝AD2＋S4， 所以S1－S2＝S3－S4． 【设计意图】通过不同类型的练习题，帮助学生巩固对勾股定理的理解和应用，提升应用意识． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．如何利用勾股定理证明“HL”？ 2．怎样在数轴上表示（n是正整数）？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材第30～31页习题20.1第6，7，8题． 学科网（北京）股份有限公司 $