精品解析：湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二下学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 若向量，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在中，分别为内角所对的边，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是奇函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有（ ） A. 173对 B. 174对 C. 183对 D. 186对 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（ ） A. B. C. 不可能为等边三角形 D. 线段FQ的垂直平分线经过点M 10. 某计算机程序每运行一次都会随机出现一个七位二进制数（例如1101010），其中A上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，其中X为十进制数，则当程序运行一次时（ ） A. B. C. D. 当时，取得最大值 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则函数 为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象一定存在对称中心 D. ，都有成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线:在点处的切线方程为_______________. 13. 已知的最小值为______． 14. 甲、乙、丙、丁四人相互传球，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人．第1次由甲将球传出，则第2次传球后球在甲手中的概率是______；第次传球后球在甲手中的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表： 机床类型 产品质量 合计 良品 次品 新型国产机床 175 75 250 原有进口机床 150 100 250 合计 325 175 500 （1）以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知椭圆经过点为椭圆的左、右两个焦点，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过右焦点作直线与椭圆C交于两点（点A位于x轴上方），是否存在直线，使得？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 17. 在直三棱柱中，，点分别是线段的中点，动点P在三角形及其内部，且满足． （1）证明：直线平面 （2）求动点P的轨迹及其长度； （3）求直线BP和平面所成角的正弦值的最大值． 18. 已知数列满足，且． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前n项和为，数列满足，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 19. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）记为函数从小到大的第个零点，证明：对任意都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式后结合子集公式即可求解. 【详解】解不等式，得，因为， 则集合，所以集合共有个子集. 2. 若向量，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可结合充分不必要条件的定义求解. 【详解】若，则，即. 若，则，解得. 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 3. 在中，分别为内角所对的边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理结合条件即可求解. 【详解】由，得，即， 故，又，所以． 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数定义域结合根号下非负的条件即可求解. 【详解】由题意：，解得；又且，即， 所以函数的定义域为． 5. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 6. 已知函数是奇函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由奇函数的定义求得的值，结合对数的运算即可得到的大小关系，再由复合函数的增减性中“同增异减”的原则确定在上单调递减，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，则有， 即， 所以，解得，又，则， 由题意，， 又，，所以， 因为，函数，且在上单调递增， 故函数在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以． 7. 过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有（ ） A. 173对 B. 174对 C. 183对 D. 186对 【答案】B 【解析】 【分析】使用“正难则反”的原则，从总数中剔除所有相交和平行的共面情况即可求解. 【详解】从正方体的8个顶点中任取4个顶点，共有种取法， 每4个顶点可分为共面与不共面两种情况， 其中共面的情况包括6个表面和6个对角面共12种情况， 此外，每组不共面的4个点构成的四面体中，均有3组异面直线， 所以共有 对不同的异面直线． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量中点性质转化，结合双曲线定义与余弦定理求出，再用点差法直接得到PM与QM的斜率之积等于，快速求解. 【详解】设，， ， 在中，由余弦定理可得， 又，则有，① 又为的中点，由中线定理可得， 即，② ②①可得，所以，故， 易知点与关于原点对称，设， 则，因为都在双曲线上， 所以，，所以， 则． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（ ） A. B. C. 不可能为等边三角形 D. 线段FQ的垂直平分线经过点M 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的定义与性质依次验证选项即可，对于C，只需要考虑是否存在内角为的情况即可. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，解得，A正确； 设，因为点在抛物线上，故， 所以，B正确； 当与轴的正半轴夹角为时，此时，又， 故为等边三角形，C错误； 由抛物线性质，可知，故点在的垂直平分线上，D正确． 10. 某计算机程序每运行一次都会随机出现一个七位二进制数（例如1101010），其中A上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，其中X为十进制数，则当程序运行一次时（ ） A. B. C. D. 当时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可知，再根据二项分布计算概率、期望及方差即可判断ABC，计算，结合单调性求最值即可． 【详解】解：由题意有，， 则，A正确； ，B错误； ，C正确； 因为， 则， 当时，，即， 则有， 当时，，即， 则有，所以当时，取得最大值，D正确． 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则函数 为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象一定存在对称中心 D. ，都有成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数定义判断A；结合A根据对称性计算判断B；结合题意列式计算判断C；结合C，根据函数单调性及一元二次不等式恒成立计算判断D. 【详解】对于A，当时，记． 则， 所以为奇函数，A正确； 对于B，由A可知，，所以， 所以，B错误； 对于C，设函数的对称中心为， 记，则为奇函数， 故，对恒成立， 所以， 整理得，对恒成立， 所以解得 所以当时，函数一定关于点对称，C正确； 对于D，由C可知，为奇函数， 不等式等价于， 即，（*） 当时，函数在上单调递减，且函数的图象由函数的图象平移得到， 故在上也单调递减， 所以（*）等价于，即恒成立， 故，都有成立，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线:在点处的切线方程为_______________. 【答案】y=2x﹣e 【解析】 【详解】，，所以切线方程为，化简得. 13. 已知的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】使用配凑法配凑出分母的和，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以． 所以， 当且仅当，且，即时等号成立． 故的最小值为． 14. 甲、乙、丙、丁四人相互传球，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人．第1次由甲将球传出，则第2次传球后球在甲手中的概率是______；第次传球后球在甲手中的概率是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意得第n 次传球后球在甲手中的概率等于第次传球后球不在甲手中的概率乘以，解此递推即得通项. 【详解】设事件“第次传球后球在甲手中”，记，则； 因为， 所以，由得． 由得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表： 机床类型 产品质量 合计 良品 次品 新型国产机床 175 75 250 原有进口机床 150 100 250 合计 325 175 500 （1）以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）认为产品的质量与使用机床的类型有关 【解析】 【分析】（1）用次品除以总数，即可求出次品率； （2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 样品中，新型国产机床的次品频率为， 利用样本估计总体，得新型国产机床的次品率约为． 【小问2详解】 零假设为：产品的质量与使用机床的类型无关． 由列联表可得，， 依据的独立性检验，推断不成立， 即认为产品的质量与使用机床的类型有关． 16. 已知椭圆经过点为椭圆的左、右两个焦点，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过右焦点作直线与椭圆C交于两点（点A位于x轴上方），是否存在直线，使得？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据已知的焦距、椭圆上一点的坐标以及的基本关系式列出方程组，利用待定系数法求解出椭圆的标准方程; （2）设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理将给定的向量关系转化为两交点纵坐标之间的代数关系，代入计算即可求出直线参数. 【小问1详解】 由题意，可得，解得 故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由题意，若存在这样的直线，则直线的斜率存在且不为0， 易知，设直线的方程为， 因为，所以有，其中， 联立可得， ， 故，， 因为，即， 代入到得，整理得， 代入到得，整理得， 因此有，整理得，解得． 又，故，所以， 所以存在直线满足条件且其方程为，即． 17. 在直三棱柱中，，点分别是线段的中点，动点P在三角形及其内部，且满足． （1）证明：直线平面 （2）求动点P的轨迹及其长度； （3）求直线BP和平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）点的轨迹是以点为圆心，半径为1的四分之一个圆， （3） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系求出目标平面的法向量，并证明该法向量与已知直线的方向向量共线，从而证得线面垂直； （2）利用勾股定理将空间距离转化为平面内动点到定点距离恒为定值的问题，并结合动点所在的限制区域确定其轨迹为四分之一圆弧，进而利用圆的周长公式求出长度； （3）借助三角参数方程设出动点坐标，利用空间向量法建立线面角正弦值关于参数的三角函数表达式，再通过辅助角公式结合参数取值范围求出最大值. 【小问1详解】 由题意，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图， 由已知得， 因为是的中点，且，所以． 所以． 设是平面的法向量，则即 取，则． 所以，所以，所以直线平面． 【小问2详解】 在直三棱柱中有平面． 因为平面，所以． 由勾股定理，， 因为点在三角形及其内部， 所以点的轨迹是以点为圆心，半径为1的四分之一个圆． 所以动点的轨迹长度为． 【小问3详解】 因为点在以点为圆心的圆周上运动，设， 所以．设直线和平面所成角为， 则． 因为，所以，所以． 所以当时，取得最大值． 18. 已知数列满足，且． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前n项和为，数列满足，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过变形给定的递推公式，构造出目标数列相邻两项的比值为常数，从而证明其为等比数列； （2）将第一问得出的等式两边同除以构造出等差数列，进而推导出的通项公式； （3）运用裂项相消法求出及的表达式后，采用反证法并利用整数方程两边的奇偶性矛盾来完成证明. 【小问1详解】 因为， 所以， 又，所以，那么， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知，等式两边同时除以，得， 设，则，且， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 即，故． 【小问3详解】 由， 则， 故． 所以， 假设数列中存在不同的三项构成等差数列， 则，即，两边同时乘以得到， 因为，所以，，故上述等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立． 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 19. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）记为函数从小到大的第个零点，证明：对任意都有． 【答案】（1）的单调递减区间为的单调递增区间为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过对函数求导并分析导函数的符号变化，直接求解得出函数的单调区间； （2）将目标不等式进行等价变形，并借助二次函数根的分布特征来论证不等式成立； （3）利用零点存在性定理界定各零点所在的区间范围，并巧妙构造特殊值代入第（2）问结论进行放缩，最终通过裂项相消法完成求和不等式的证明. 【小问1详解】 由题意， 当时，；当时，； 所以的单调递减区间为的单调递增区间为． 【小问2详解】 当时，，同时除以得， 令，则，且， 当时，在上单调递减，故； 对于函数， 当时，，此时，则， 所以在上单调递减，故； 当时，，此时有两根，， 则当时，，则，所以在上单调递增， 故，不符合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 易知，则， 由（1）可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，， 且在上单调递减，由零点存在性定理可知，该区间内仅有一个零点， 同理，在内也仅有一个零点， 又因为，依次往后推，每个长度为的区间内都恰好包含第个零点， 所以， 故， 因此， 故； 下证：． 由（2）可知，当时，不等式对任意恒成立， 取，则有， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $