精品解析：湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

衡阳市八中高二下学期期中考试（2026.5）试题数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求集合. 【详解】由题设，且，则. 故选：B 2. 设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 则，则的虚部为. 3. 某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为 ， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为 ， 2个元素排完后会产生  个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为  ， 所以总方法数为：. 4. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图像，设，问题转化为直线 和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合计算即得. 【详解】可知， 两边平方整理可得，， 该方程表示的是圆心为 ，半径为的圆的右半部分曲线，如下图： 设，则 是通过定点的直线， 显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率， 当直线和圆相切于时，斜率最小。 由圆心 到直线 的距离是，解得，即， 于是，即. 故选：A 5. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. 6 B. 16 C. 26 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】解法1：设等比数列 的公比为. 若 ，则，此时，与已知矛盾，故. 由，得， 于是. 解法2：因为 为等比数列，所以仍为等比数列. 令（），由已知，可得. 根据等比数列的等比中项性质，有，解得. 由，得， 因，两边同时除以 ，得. 所以. 6. 已知等差数列的前 项和为，且，则使得的 的最小值为（    ） A. 4050 B. 4051 C. 4052 D. 4053 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列通项公式可得公差，再利用等差数列前 项和公式求解判断. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，则， 而 ，解得，则，， 由和，得，则， ，由，得数列单调递减，当时，， 则当时，，所以使得的 的最小值为4051. 故选：B 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为坐标原点，延长交双曲线于点，连接，根据双曲线的对称性可知，由双曲线的定义结合余弦定理求解. 【详解】如图，设为坐标原点，延长交双曲线于点，连接，因为，点为的中点，所以根据双曲线的对称性可知，，（关键：双曲线的对称性的应用）． 根据，不妨设，则， 所以，，（双曲线定义的应用） 又，所以，解得，因此，，，．在中，， 在中，， 故，可得． 故选：A． 8. 若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（ ） A. 若是“数列”，则 B. 若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C. 若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D. 若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义数列，计算判断A，结合等差数列，单调性，周期数列计算判断BCD. 【详解】对于A，若是“数列”，当时，， ，若 当时，，所以， 当 时，，所以， 当时，，所以，A错误. 对于B，若是“数列”且是等差数列，设公差为， 当时，，即， 当时，，则，，即， 此时，数列不单调递增，B错误. 对于C，若是“数列”且单调递减， 当时，，因为数列单调递减，所以. 当 时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 可知数列不是等比数列，C错误. 对于D，若是“数列”且是周期数列，假设周期为， 当时，， 当时，，所以或 若时，当 时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 这样数列值会越来越大（非周期），所以 若时，当 时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 同理按此规律计算可得数列的取值可能是， 所以的元素个数最多是，D正确. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量模长坐标公式可判断C；根据在上的投影向量为可判断D. 【详解】由题意知，. 对于选项A，若向量，则，即， 显然此式能成立，故A错； 对于选项B，若向量，则有，即， 即，显然此式不成立，故 B正确； 对于选项C，， 则当时，，故C错； 对于选项D，若，则，， 则在上的投影向量为，故D 正确. 故选：BD 10. 如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 曲线向右平移1个单位后关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象可知函数 的周期，利用周期可得，可判断B，求出函数 位于y轴右侧的第一个最大值点的横坐标为，进而求出点A的坐标，代入解析式得判断A，结合正弦函数的对称性代入验证判断C，利用正弦函数图象平移法则求出解析式，然后根据正弦函数的性质判断D. 【详解】因为，，所以，所以函数 的周期为， 所以，故选项B错误； 则函数，当函数 取最大值时，， 解得，故函数 位于y轴右侧的第一个最大值点的横坐标为， 又，所以，所以，故选项A正确； 当时，为函数 最小值， 故是曲线的一条对称轴，故选项C正确； 曲线向右平移1个单位后， 显然不关于原点对称，（），故D错误. 故选：AC 11. 下列结论正确的是（ ） A. B. 设函数，且，则 C. 若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的运算规则可判断AC的正误，对于B，求出函数的导数后结合导数值可求自变量的值，对于D，求出函数的导数后利用赋值法可求. 【详解】对于A，，故A错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于B，若，故，故，故B正确； 对于D，，故， 故，故D正确； 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即得. 【详解】由题，得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【详解】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 14. 已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取点，满足，同理可在线段上也取点，满足，若的面积最大值为1，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将两式相加，相减，结合双曲线定义求出，结合三角形的面积公式，即可求解 【详解】解：由题意作出图形， 设双曲线的焦距为,根据题意可得： ,① ,② ①②得：，即 所以，所以： ① ②移项得： 所以, 所以, , 所以当 时, 的面积取最大值, 所以, 所以, 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得解； （2）利用“点差法”求出直线的斜率即可得解. 【小问1详解】 设动点，由题意可得 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程是 【小问2详解】 设， 因为在动点的轨迹上，所以，， 两式相减得， 即 因为是线段的中点，所以， 所以，即直线的斜率 ， 所以直线的方程为，即 16. 已知函数在处取得极值. （1）求，； （2）证明： 时，. 【答案】（1） （2） 时，， 令， ， 则，故在上单调递减， 则， 所以，，证毕. 【解析】 【分析】（1）求导，根据，得到方程组，求出，检验后得到答案； （2）作差得到，构造， ，求导，得到函数单调性，求出，得到. 【小问1详解】 ， 故且， 解得， 故，， 令得，令 得， 所以在处取得极值，满足要求； 【小问2详解】 略 17. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； （2）若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据年利润公式代入得出p(万元)关于x的函数； （2）写出本年度的年利润函数 ，利用导数讨论函数的单调性得出最大值. 【小问1详解】 由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为. 因此本年度的年利润 . 【小问2详解】 本年度的年利润为 ， 则， 令，解得或(舍去). 当时，，当时， ， 所以时， 有最大值. 所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面 平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角的正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由平面ABCD，得，结合，根据线面、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可； （3）先用含的式子表示出平面AFG的法向量，再利用向量法求面面角，可得关于的方程，解方程可得结果. 【小问1详解】 ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， ∵，，PA、平面PAD， ∴平面PAD，又∵平面PCD， ∴平面 平面 【小问2详解】 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面AEF的法向量为，则， 令 ，则，，故， 设PC与平面AEF所成角为，则， ∴PC与平面AEF所成角的正弦值为 【小问3详解】 由（2）知，，平面AEF的一个法向量为， ∴，， ∴， 设平面AFG的法向量为，则， 令，则，，故， ∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为， ∴， 整理得，即， 解得或（舍）， ∴. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若，（其中），，都有，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，分与进行讨论，即可得到不同情况下函数的单调性； （2）由（1）可得不合题意，则可利用时的单调性表示出函数最小值，利用最小值大于等于零计算即可得解； （3）由题意可得，分别计算与，可得，再构造函数，结合其单调性可得. 【小问1详解】 ， 当时，，则恒成立，故在上单调递减； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递减， 则，不符； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 由恒成立，则， 整理得，令，则在上单调递增， 又，故当时，； 综上所述：； 【小问3详解】 由题意可得， 若，则当时，，不符，故，则； ，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则有恒成立，即， 令，则， 由在上单调递增，则，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中高二下学期期中考试（2026.5）试题数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 3. 某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 4. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. 6 B. 16 C. 26 D. 36 6. 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（    ） A. 4050 B. 4051 C. 4052 D. 4053 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（ ） A. 若是“数列”，则 B. 若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C. 若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D. 若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 10. 如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 曲线向右平移1个单位后关于原点对称 11. 下列结论正确的是（ ） A. B. 设函数，且，则 C. 若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为_________. 13. 如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________. 14. 已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取点，满足，同理可在线段上也取点，满足，若的面积最大值为1，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求 ，； （2）证明： 时，. 17. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； （2）若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面 平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角的正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求 的取值范围； （3）若，（其中），，都有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $