精品解析：湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

衡阳市八中高二下学期期中考试（2026.5）试题数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 3. 某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 4. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. 6 B. 16 C. 26 D. 36 6. 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（    ） A. 4050 B. 4051 C. 4052 D. 4053 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（ ） A. 若是“数列”，则 B. 若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C. 若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D. 若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 10. 如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 曲线向右平移1个单位后关于原点对称 11. 下列结论正确的是（ ） A. B. 设函数，且，则 C. 若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为_________. 13. 如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________. 14. 已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取点，满足，同理可在线段上也取点，满足，若的面积最大值为1，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求，； （2）证明：时，. 17. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； （2）若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角的正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若，（其中），，都有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中高二下学期期中考试（2026.5）试题数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求集合. 【详解】由题设，且，则. 故选：B 2. 设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 则，则的虚部为. 3. 某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 4. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图像，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合计算即得. 【详解】可知， 两边平方整理可得，， 该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如下图： 设，则是通过定点的直线， 显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率， 当直线和圆相切于时，斜率最小。 由圆心到直线的距离是，解得，即， 于是，即. 故选：A 5. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. 6 B. 16 C. 26 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】解法1：设等比数列的公比为. 若，则，此时，与已知矛盾，故. 由，得， 于是. 解法2：因为为等比数列，所以仍为等比数列. 令（），由已知，可得. 根据等比数列的等比中项性质，有，解得. 由，得， 因，两边同时除以，得. 所以. 6. 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（    ） A. 4050 B. 4051 C. 4052 D. 4053 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列通项公式可得公差，再利用等差数列前项和公式求解判断. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，则， 而，解得，则，， 由和，得，则， ，由，得数列单调递减，当时，， 则当时，，所以使得的的最小值为4051. 故选：B 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为坐标原点，延长交双曲线于点，连接，根据双曲线的对称性可知，由双曲线的定义结合余弦定理求解. 【详解】如图，设为坐标原点，延长交双曲线于点，连接，因为，点为的中点，所以根据双曲线的对称性可知，，（关键：双曲线的对称性的应用）． 根据，不妨设，则， 所以，，（双曲线定义的应用） 又，所以，解得，因此，，，．在中，， 在中，， 故，可得． 故选：A． 8. 若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（ ） A. 若是“数列”，则 B. 若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C. 若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D. 若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义数列，计算判断A，结合等差数列，单调性，周期数列计算判断BCD. 【详解】对于A，若是“数列”，当时，， ，若 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以，A错误. 对于B，若是“数列”且是等差数列，设公差为， 当时，，即， 当时，，则，，即， 此时，数列不单调递增，B错误. 对于C，若是“数列”且单调递减， 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 可知数列不是等比数列，C错误. 对于D，若是“数列”且是周期数列，假设周期为， 当时，， 当时，，所以或 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 这样数列值会越来越大（非周期），所以 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 同理按此规律计算可得数列的取值可能是， 所以的元素个数最多是，D正确. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量模长坐标公式可判断C；根据在上的投影向量为可判断D. 【详解】由题意知，. 对于选项A，若向量，则，即， 显然此式能成立，故A错； 对于选项B，若向量，则有，即， 即，显然此式不成立，故 B正确； 对于选项C，， 则当时，，故C错； 对于选项D，若，则，， 则在上的投影向量为，故D 正确. 故选：BD 10. 如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 曲线向右平移1个单位后关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象可知函数的周期，利用周期可得，可判断B，求出函数位于y轴右侧的第一个最大值点的横坐标为，进而求出点A的坐标，代入解析式得判断A，结合正弦函数的对称性代入验证判断C，利用正弦函数图象平移法则求出解析式，然后根据正弦函数的性质判断D. 【详解】因为，，所以，所以函数的周期为， 所以，故选项B错误； 则函数，当函数取最大值时，， 解得，故函数位于y轴右侧的第一个最大值点的横坐标为， 又，所以，所以，故选项A正确； 当时，为函数最小值， 故是曲线的一条对称轴，故选项C正确； 曲线向右平移1个单位后， 显然不关于原点对称，（），故D错误. 故选：AC 11. 下列结论正确的是（ ） A. B. 设函数，且，则 C. 若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的运算规则可判断AC的正误，对于B，求出函数的导数后结合导数值可求自变量的值，对于D，求出函数的导数后利用赋值法可求. 【详解】对于A，，故A错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于B，若，故，故，故B正确； 对于D，，故， 故，故D正确； 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即得. 【详解】由题，得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【详解】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 14. 已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取点，满足，同理可在线段上也取点，满足，若的面积最大值为1，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将两式相加，相减，结合双曲线定义求出，结合三角形的面积公式，即可求解 【详解】解：由题意作出图形， 设双曲线的焦距为,根据题意可得： ,① ,② ①②得：，即 所以，所以： ①②移项得： 所以, 所以, , 所以当时, 的面积取最大值, 所以, 所以, 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得解； （2）利用“点差法”求出直线的斜率即可得解. 【小问1详解】 设动点，由题意可得 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程是 【小问2详解】 设， 因为在动点的轨迹上，所以，， 两式相减得， 即 因为是线段的中点，所以， 所以，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即 16. 已知函数在处取得极值. （1）求，； （2）证明：时，. 【答案】（1） （2） 时，， 令，， 则，故在上单调递减， 则， 所以，，证毕. 【解析】 【分析】（1）求导，根据，得到方程组，求出，检验后得到答案； （2）作差得到，构造，，求导，得到函数单调性，求出，得到. 【小问1详解】 ， 故且， 解得， 故，， 令得，令得， 所以在处取得极值，满足要求； 【小问2详解】 略 17. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； （2）若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据年利润公式代入得出p(万元)关于x的函数； （2）写出本年度的年利润函数，利用导数讨论函数的单调性得出最大值. 【小问1详解】 由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为. 因此本年度的年利润 . 【小问2详解】 本年度的年利润为 ， 则， 令，解得或(舍去). 当时，，当时，， 所以时，有最大值. 所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. （1）证明：平面平面PAD； （2）求PC与平面AEF所成角的正弦值； （3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 【答案】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， ∵，，PA、平面PAD， ∴平面PAD，又∵平面PCD， ∴平面平面 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由平面ABCD，得，结合，根据线面、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可； （3）先用含的式子表示出平面AFG的法向量，再利用向量法求面面角，可得关于的方程，解方程可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，，故， 设PC与平面AEF所成角为，则， ∴PC与平面AEF所成角的正弦值为 【小问3详解】 由（2）知，，平面AEF的一个法向量为， ∴，， ∴， 设平面AFG的法向量为，则， 令，则，，故， ∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为， ∴， 整理得，即， 解得或（舍）， ∴. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若，（其中），，都有，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，分与进行讨论，即可得到不同情况下函数的单调性； （2）由（1）可得不合题意，则可利用时的单调性表示出函数最小值，利用最小值大于等于零计算即可得解； （3）由题意可得，分别计算与，可得，再构造函数，结合其单调性可得. 【小问1详解】 ， 当时，，则恒成立，故在上单调递减； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递减， 则，不符； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 由恒成立，则， 整理得，令，则在上单调递增， 又，故当时，； 综上所述：； 【小问3详解】 由题意可得， 若，则当时，，不符，故，则； ，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则有恒成立，即， 令，则， 由在上单调递增，则，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $