21.3.1 矩形（第2课时）课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

矩形（第2课时） 数学人教版八年级下册 1 1. 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2. 矩形的特殊性质： （1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线相等． 3. 矩形的图形特征： 矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴． 研究几何图形时，在掌握性质后，通常会探究其判定方法．由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是最基本的判定方法，也是我们研究其他判定方法的基础． 矩形的判定定理1： 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 研究几何图形时，在掌握性质后，通常会探索其判定方法．由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是最基本的判定方法，也是我们研究其他判定方法的基础． 除了定义法，还有其他判定方法吗？你们想怎样研究？ 性质 逆命题 猜想 证明 类比平行四边形判定的研究过程，从性质定理的逆命题入手． 问题1 我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 如图，四边形 ABCD 是平行四边形， AC＝BD． 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形． 如何证明？ 问题1 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD相交于点 O，AC＝BD． 求证：□ ABCD 是矩形． 分析： 需要证明∠ABC＝90° 要证明□ ABCD是矩形 ∠ABC＋∠DCB＝180° 证明∠ABC＝∠DCB 即证明△ABC≌△DCB 问题1 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB＝DC，AB∥DC． 在△ABC 和△DCB 中， 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD相交于点 O，AC＝BD． 求证：□ ABCD 是矩形． 问题1 ∴ △ABC≌△DCB（SSS）， ∴ ∠ABC＝∠DCB． ∵ AB∥DC， ∴ ∠ABC＋∠DCB＝180°，∴ ∠ABC＝90°， ∴ □ ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD相交于点 O，AC＝BD． 求证：□ ABCD 是矩形． 新知 矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形． 要利用矩形的判定定理2证明一个四边形是矩形，有几个要点？ ① 四边形是平行四边形； ② 四边形的对角线相等． 只满足这一个条件可以吗？ 问题1 对角线相等的四边形是矩形吗？ 对角线相等的四边形不一定是矩形，可能是等腰梯形． A B C D 等腰梯形 “对角线相等的平行四边形是矩形”的判定前提是平行四边形． 问题1 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等．你知道其中的道理吗？ 两组对边分别相等 平行四边形 平行四边形 的判定 矩形 对角线相等 矩形 的判定 问题2 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？ A B D C 如图，在四边形 ABCD 中， ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 猜想：四个角都是直角的四边形是矩形． 如何证明？ 问题2 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 求证：四边形 ABCD 是矩形 ． A B D C 证明：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴ ∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180°， ∴ AC∥BD，AB∥CD． ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 又 ∠A＝90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形． 这个条件是否可以简化？ A 问题2 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠C＝∠D＝90°． 四边形 ABCD 是矩形吗 ？ B D C 分析： 四边形内角和为 360°， 即 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360° ． ∵ ∠B＝∠C＝∠D＝90° ， ∴ ∠A＝90°． ∴ 四边形 ABCD 是矩形． 条件还可以简化吗？ 问题2 有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角呢？ 新知 矩形的判定定理3： 有三个角是直角的四边形是矩形． 问题3 矩形的三种判定方法，它们的前提条件和核心判定条件分别是什么？ 判定方法 前提条件 核心判定条件 判定定理1（定义法） 判定定理2 判定定理3 平行四边形 任意四边形 有一个角是直角 对角线相等 有三个角是直角 例 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H．求证：四边形 EFGH 是矩形． 分析： 需证∠F＝90°（其余角同理） 要证明□ EFGH是矩形 需证∠FAD＋∠FDA＝90° 利用角平分线及同旁内角互补即可证明 18 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD． ∴ ∠BAD＋∠ADC＝180°． 又 AF，DF 分别平分 ∠BAD，∠ADC， ∴ ∠DAF＋∠ADF＝ ∠BAD＋ ∠ADC＝90°． 例 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H．求证：四边形 EFGH 是矩形． ∴ ∠F＝90°． 19 同理 ∠H＝∠AEB＝90°． ∴ ∠FEH＝∠AEB＝90°． ∴ 四边形 EFGH 是矩形． 例 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H．求证：四边形 EFGH 是矩形． 20 归纳 1．当条件既出现平行线又出现角平分线时，可以利用“两条平行线之间，每一组同旁内角的平分线所成的角均为直角”解决问题． 2．判定矩形时，若已知四边形是平行四边形，优先考虑“定义法”或“对角线相等的平行四边形是矩形”；若已知条件出现直角，优先考虑“有三个角是直角的四边形是矩形”． 21 四边形 有三个角是直角 矩形 平行四边形 对角线相等 有一个角是直角 对角线互相平分 且相等 矩形 矩形 归纳 22 　　1．求证：四个角都相等的四边形是矩形． 四边形内角和为360° 四个角都相等 分析： 四个角都是直角 　　1．求证：四个角都相等的四边形是矩形． 证明： 　　∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°， ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． ∴ 四边形 ABCD 是矩形． 已知：在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D． 求证：四边形 ABCD 是矩形． 　　2．如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， △OAB 是等边三角形，且 AB＝2．求□ ABCD 的面积． AB＝AO＝BO △OAB 是等边三角形 □ ABCD 对角线相等 □ ABCD 为矩形 分析： 解：∵ △OAB 是等边三角形，AB＝2， ∴ OA＝OB＝AB＝2， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD． ∴ AC＝BD＝4， ∴ □ ABCD 是矩形． 　　2．如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， △OAB 是等边三角形，且 AB＝2．求□ ABCD 的面积． ∴ ∠ABC＝90°． 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， BC＝ ＝ ＝ ∴ S□ABCD＝AB·BC＝2× ＝ 　　2．如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， △OAB 是等边三角形，且 AB＝2．求□ ABCD 的面积． 　　3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E 分别是线段 BC，AD的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF．求证：四边形 ADCF 是矩形． 分析： 三线合一 需要证明 AF＝CD BD＝CD AF＝BD 证明△AEF≌△DEB AF＝CD 　　3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E 分别是线段 BC，AD的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF．求证：四边形 ADCF 是矩形． 证明：∵ AF∥BC， ∴ ∠EAF＝∠EDB． ∵ E 是线段 AD 的中点， ∴ AE＝DE． 　　3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E 分别是线段 BC，AD的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF．求证：四边形 ADCF 是矩形． 在△AEF 和 △DEB 中， ∴ △AEF≌△DEB (ASA)． ∴ AF＝BD． 　　3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E 分别是线段 BC，AD的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF．求证：四边形 ADCF 是矩形． ∵ AB＝AC，D 是线段 BC 的中点， ∴ ∠ADC＝90°，DB＝CD， ∴ AF＝CD，又 AF∥CD， ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形． 又 ∠ADC＝90°，∴ □ ADCF 是矩形． 由等腰三角形和底边中点，可得到垂直关系． 矩形的判定 从四边形来判定 有三个角是直角的四边形是矩形 从平行四边形来判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 $