21.3.1矩形（第2课时）课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.1矩形（第2课时） 八年级　下册 教学目标 重点：能应用矩形的判定方法进行证明和计算. 难点：探索并证明矩形的判定定理. 1.理解并掌握矩形的判定方法; 2.通过矩形性质定理的逆命题提出猜想，验证矩形的判定定理; 3.能应用矩形的判定方法进行证明和计算.(重点) 回顾旧知 问题2 矩形有哪些性质？ 对角线：对角线互相平分且相等. 边：两组对边平行且相等； 角：四个角都是直角； 问题1 什么是矩形？ 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 一个角是 直角 平行四边形 矩形 A B C D O 新课学习 思考：满足什么条件的四边形是矩形？ 定义法：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 几何语言: 如图，∵在▱ABCD中，∠A=90° ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 除了定义法，还有其他判定方法吗？ 思考：矩形是对角线相等的平行四边形，反过来对角线相等的平行四边形是矩形吗？如何证明？ 新课学习 猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形. 已知什么？要求证什么？ 已知：如图，在▱ABCD中，AC=BD.求证：▱ABCD是矩形. ∵AB//CD ∴∠ABC+∠DCB=180° ∴∠ABC=∠DCB=90° ∵四边形ABCD是平行四边形，∠DCB=90° ∴平行四边形ABCD是矩形 A B C D O 证明：在▱ABCD中 ∴ AB//CD,AB=CD. ∵AC=BD ∴在△ABC和△DCB中 ∴△ABC△DCB（SSS） ∴∠ABC=∠DCB 新课学习 矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD（或∵在▱ABCD中，AC=BD） ∴平行四边形ABCD是矩形 A B C D O 思考：对角线相等的四边形一定是矩形吗？ 对角线相等的四边形也可能是等腰梯形？ 注意！！ 在平行四边形的基础上对角线相等才能作为矩形的判定. 针对训练 1.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师 傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各 自做了如下检测： 甲：量得窗框两组对边分别相等； 乙：量得窗框对角线相等； 丙：量得窗框的一组邻边相等； 丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等. 检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的 同学是 ⁠. 丁　 新课学习 思考:我们知道矩形的四个角都是直角，它的逆命题成立吗？即四个角是直角的四边形是矩形吗？请你说出理由. 成立. 思考：四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 新课学习 猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知什么？要求证什么？ 已知：∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC , AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 新课学习 矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言： ∵∠A=∠B=∠C=90° ∴ 四边形ABCD是矩形. A B C D 例题精讲 例1如图，在▱ABCD中，AB＝6，AC＝10，AD＝8. 求证：▱ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8. ∴AC2＝AB2＋BC2.∴∠B＝90°. ∴▱ABCD是矩形. 又∵AB＝6，AC＝10， 变式训练 变式1　如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠A＝90°时，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论. 解：四边形AEDF是矩形.证明如下： ∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点， ∴DE∥AC，DF∥AB. ∴四边形AEDF是平行四边形. 又∵∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形. 思考：先证什么？ 先证四边形AEDF是平行四边形. 12 例题精讲 例2如图，BD，BE分别平分∠ABC和它的邻补角∠ABP，AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足.求证：四边形AEBD是矩形. 证明：∵BD，BE分别平分∠ABC和∠ABP， ∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP. ∵∠ABC＋∠ABP＝180°， ∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°， 即∠DBE＝90°. ∴∠E＝∠D＝90°.∴四边形AEBD是矩形. ∵AE⊥BE，AD⊥BD， 变式训练 变式2 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD+∠ADC=180°. ∵AF,DF分别平分∠BAD,∠ADC, ∴ ∠DAF+∠ADF=∠BAD +∠ADC=(∠BAD+∠ADC)=90°. ∴AB∥CD. ∴∠F=90°. 同理可证∠H=∠AEB=90°. ∴∠FEH=∠AEB=90°. ∴四边形EFGH是矩形． 14 巩固练习 1.四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(　B　) A. AB＝CD B. AC＝BD C. AB＝BC D. AC⊥BD B 2.下列判断错误的是(　D　) A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 三个角都是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 D 巩固练习 3. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＝90°. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠ACB＝30°，AB＝2，求线段OB的长度. (1)证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形. (2)解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2， ∴AC＝2AB＝4. ∴BD＝AC＝4.∴OB＝ BD＝2. ∵四边形ABCD是矩形， 巩固练习 4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB， DF∥AC. 请你再添加一个适当的条件： ，使四边形AFDE为矩形. ∠A＝90° 运用拓展 5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 ⁠. 4.8　 18 课堂小结 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 19 布置作业 1.必做题：习题21.3 第1，13题. 2.探究性作业：习题21.3 第18题. 20 $