21.2.3 三角形的中位线 教案 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

21.2.3　三角形的中位线 教学目标 1．了解三角形的中位线的概念． 2．利用平行四边形的性质和判定探索并证明三角形的中位线定理，体会转化与化归的数学思想，发展几何直观和推理能力． 3．利用三角形的中位线定理解决相关问题． 教学重点 三角形的中位线定理的探索与证明． 教学难点 三角形的中位线定理的证明． 教学过程 新课导入 【引导语】回顾前面的学习，在研究平行四边形的有关问题时，我们常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的知识进行探究．那么，反过来，能不能利用平行四边形帮助我们更好地认识三角形呢？这就是这节课要重点研究的内容． 【问题】如图，铁匠师傅要把一块三角形铁皮切割成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮，你能帮助他想出办法吗？说说你的想法． 【师生活动】学生分组讨论，尝试提出“沿中线切”“沿高切”等方案，但经画图验证后，发现这些方案无法得到4个全等的小三角形． 教师引导学生回忆平行四边形的判定，提示“连接三角形两边中点”，学生在学习任务单上画出三角形三边中点并依次连接，通过观察、测量、重叠对比等方式验证得到的4个小三角形形状、大小完全相同，自然引出“三角形中位线”的概念． 【设计意图】借助生活中的实际问题，激发学生探究兴趣，引导学生自然过渡到三角形中位线的学习． 新知探究 【新知】如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 【追问1】一个三角形有几条中位线？自己试着画一画． 【师生活动】学生在学习任务单上画出三角形的全部中位线． 【答案】如图，一个三角形有三条中位线，分别为DE，DF，EF． 【追问2】三角形的中位线和中线一样吗？ 【师生活动】教师引导学生回忆三角形的中线的定义，对中线和中位线进行区分：中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段，而中位线是连接三角形两边中点的线段． 【答案】如图，AF，CD，BE分别是△ABC中边BC，AB，AC上的中线；DE，EF，DF是△ABC的三条中位线． 【设计意图】引导学生通过中位线与中线的对比，深化对三角形中位线概念本质的理解． 【问题1】请你任意画一个三角形，再画出这个三角形的一条中位线，经过观察和测量，猜想一下，这条中位线和三角形的第三条边之间有怎样的关系？ 【师生活动】教师提示：研究线段之间的关系，一般是先研究它们的位置关系，相交还是平行，如果相交，要注意垂直关系是相交的重要特例；再研究它们之间的数量关系，相等还是不等，不等的话，是倍数关系还是其他关系． 学生经过观察和测量，容易猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【追问】你能证明你发现的结论吗？ 【师生活动】学生在学习任务单上画出图形，写出已知、求证． 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点． 求证：DE∥BC，且DE＝BC． 教师引导学生分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半（即要证明DE∥BC，且DE＝BC）．如果将DE延长一倍（得到点F），就可以将要证明的问题转化为证明DFBC，也就转化为了我们熟悉的平行四边形的判定问题（证明四边形BCFD是平行四边形）， 另外，延长DE之后，很容易发现点E既平分AC，又平分DF，所以四边形ADCF是平行四边形．这样，就能得到CFAD．而点D是AB中点，所以CFBD，这样就能证得四边形BCFD是平行四边形了． 学生在教师的引导下，在学习任务单上逐步完成证明，教师板书示范． 【答案】证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF． ∵ AE＝EC，DE＝EF， ∴ 四边形ADCF是平行四边形． ∴ CFDA． 又 D是AB的中点， ∴ CFBD． ∴ 四边形BCFD是平行四边形． ∴ DFBC， 又 DE＝DF， ∴ DE∥BC，且DE＝BC． 【追问】你还有其他证明方法吗？ 【师生活动】学生交流讨论后，教师引导学生分析：延长DE到点F，使EF＝DE后，可以通过证明△ADE和△CFE全等，得到DFBC，从而得到DE∥BC，且DE＝BC． 学生在教师的引导下，在学习任务单上逐步完成证明． 【答案】证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF． ∵ AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝FE， ∴ △ADE≌△CFE（SAS）． ∴ ∠DAE＝∠FCE，AD＝CF． ∴ CF∥AB． ∵ BD＝AD， ∴ CF＝BD． ∴ 四边形DBCF是平行四边形． ∴ DFBC． 又 DE＝DF， ∴ DE∥BC，且DE＝BC． 【新知】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【提醒】三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以证两直线平行；二是数量关系，可以计算相关线段的长度、证明线段的倍分关系． 【设计意图】让学生经历三角形中位线定理的探究过程，感受通过构造平行四边形，把三角形问题转化为平行四边形问题的化归思想，培养推理能力． 例题精讲 【例1】求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 【师生活动】教师引导学生分析条件、结论，发现条件给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形．学生在学习任务单上完成证明过程，教师板书示范． 【答案】证明：如图，连接AC． ∵ AH＝HD，CG＝GD， ∴ HG∥AC，且HG＝AC． 同理 EF∥AC，且EF＝AC． ∴ HGEF． ∴ 四边形EFGH是平行四边形． 【例2】（1）如图，已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点D，E，F，所得的四个三角形的面积分别是多少？ 　　（2）已知△ABC三边的长分别为a，b，c，顺次连接各边中点D，E，F，所得的四个三角形的周长分别是多少？ 【师生活动】学生交流讨论后，针对第（1）题，教师引导学生结合中位线定理，发现分割后的四个小三角形形状、大小完全相同，推测出每个小三角形的面积都是原三角形面积的．针对第（2）题，教师引导学生结合中位线定理，发现每个小三角形的三边分别为a，b，c，从而得出每个小三角形的周长为原三角形周长的．学生在学习任务单上完成解答过程，教师板书示范．师生共同总结中点三角形的面积、周长规律． 【答案】解：（1）由三角形的中位线定理，得EF＝AB＝DA，DF＝AC＝EA， 又 DE＝ED， 　　∴ △ADE≌△FED（SSS）， 　　同理 △FED≌△DBF，△FED≌△EFC． 　　∴ S△ADE＝S△FED＝S△DBF＝S△EFC＝S． 　　（2）根据三角形的中位线定理，得DE＝a，EF＝c，DF＝b， ∴ △FED的周长为a＋b＋c＝(a＋b＋c)． 　　由（1）知△FED≌△ADE≌△DBF≌△EFC， 　　∴ △ADE，△DBF，△EFC的周长也是(a＋b＋c)． 　　【归纳】一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形．每个小三角形的周长都是原三角形周长的，每个小三角形的面积都是原三角形面积的． 【设计意图】通过例题讲解，回顾导入提出的问题，从面积与周长两个维度探究中点三角形与原三角形的数量关系，巩固学生对三角形中位线定理的理解与运用，培养学生的逻辑推理、归纳总结与合作交流能力． 课堂练习 1．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点．以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形？ 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】如图，连接DE，EF，FD．能在图中画出3个平行四边形，分别是▱BEFD，▱DECF，▱ADEF． 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 2．如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，且F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】证明：∵ BD，CE是△ABC的中线， ∴ D，E分别是AC，AB的中点， ∴ ED是△ABC的中位线． ∴ ED∥BC，且ED＝BC． ∵ F，G分别是OB，OC的中点， ∴ FG是△OBC的中位线， ∴ FG∥BC，且FG＝BC． ∴ ED∥FG，且ED＝FG． ∴ 四边形DEFG是平行四边形． 3．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离？ 【师生活动】学生独立思考后，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：如图，取CA的中点D，CB的中点E，连接DE，并量出DE的长．根据三角形的中位线等于第三边的一半，得AB＝2DE． 【归纳】“距离、高不可测，中位线来帮忙”． 三角形中位线的有关知识，常用来解决以测量距离为背景的问题．解决问题时先把实际问题转化为数学问题，再分两步走： 一定：依照三角形中位线的定义，确定哪条线段是三角形的中位线； 二算：根据三角形的中位线定理中的“三角形的中位线等于第三边的一半”进行计算． 【设计意图】通过课堂练习，感受三角形的中位线定理在图形的证明和计算中的广泛应用，帮助学生进一步巩固对三角形中位线定理的理解，积累经验，总结分析、解决问题的思路和方法． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．我们是如何证明三角形的中位线定理的？ 2．在三角形中位线定理的证明和应用过程中，你收获了哪些学习经验？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第66页习题21.2第6题． 学科网（北京）股份有限公司 $