21.2.3 三角形的中位线 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“三角形的中位线”，系统讲解定义、定理及与平行四边形的综合运用。通过平行四边形与三角形的转化导入新课，建立前后知识联系，以平行四边形为学习支架帮助学生理解新知。 其亮点在于通过探究活动引导学生观察猜想，结合两种证明方法培养推理能力，用符号语言规范表达，课堂小结清晰，当堂小练和中考对接强化应用。助力学生发展几何直观与推理意识，教师可系统教学提升效率。

第二十一章 四边形 21.2 平行四边形 21.2.3 三角形的中位线 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 三角形中位线 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 8. 对接中考 5. 知识点2 三角形的中位线的与平行四边形的综合运用 1. 理解三角形中位线的概念. 2. 能够利用三角形的中位线的性质解决相关问题. 学习目标 知识回顾 连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段. 三角形三条中线的交点，称为重心. 三角形的中线： 新课导入 前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题. 下面利用平行四边形研究三角形的有关问题. 新课讲解 知识点1 三角形中位线 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 符号语言： 如图所示，∵AD=BD，AE=CE， ∴DE 是△ABC的中位线. F 一个三角形有几条中位线？ 有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF. 新课讲解 三角形的中位线 三角形的中线 图示 符号语言 ∵ D，E，F 分别是 BC，CA，AB 边的中点， ∴ DE，EF，FD 是△ABC 的中位线. ∵ D，E，F 分别是 BC，CA，AB 边的中点， ∴ AD，BE，CF 是△ABC 的中线. 区别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段. 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段. 三角形的中位线与三角形的中线的区别 辨析 新课讲解 探究 观察图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ 我们猜想：DE ∥ BC，DE = BC. 怎么证明呢？ 新课讲解 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点.求证：DE ∥ BC，且 DE = BC. 证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵ AE = EC，DE = EF， ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形， ∴ CF DA. 又 D 是 AB 的中点， ∴ CF BD. ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形. ∴ DF BC. 又 DE = DF， ∴ DE ∥ BC，且 DE = BC. F 方法一 新课讲解 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点.求证：DE ∥ BC，且 DE = BC. 证明：如图，延长DE至点F，使得DE=EF，连接FC. ∵ 点E是△ABC的边AC的中点， A B C D E F ∵ AE=CE ，∠AED=∠CEF，DE=EF， ∴△ADE≌△CFE. ∴∠ADE=∠CFE，AD=CF， ∴AD//CF， ∴AE=CE. ∵ 点D是△ABC的边AB的中点， ∴ BD=CF，BD//CF， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DF=BC，DF//BC. ∵ DE=EF， ∴DE//BC，且DE=BC. ∴AD=BD. 方法二 新课讲解 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 三角形的中位线定理 符号语言： 如图所示， ∵ DE为△ABC的中位线， ∴ DE∥ BC，DE =BC. 新课讲解 1. 三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 2. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 3. 中位线具有平移角度、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到. 注意 新课讲解 例 1. 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F. 若DF＝3，求AC的长 解：∵D、E分别为AC、BC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠2＝∠3. 又∵AF平分∠CAB， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD＝DF＝3， ∴AC＝2AD＝2DF＝6. 1 2 3 新课讲解 练一练 1. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B 两处景观之间的距离，他先在AB 外取一点C，然后步测出AC，BC 的中点D，E，并步测出DE 的长约为18 m，由此估测A，B 之间的距离约为( ) A．18 m B．24 m C．36 m D．54 m C 新课讲解 练一练 解：(1) ∵ D，E 分别是 AC，BC 的中点， ∴ DE 是 △ABC 的中位线， ∴ DE ∥ AB，∴ ∠CDE = ∠A = 30°. ∵∠C = 90°，∴ ∠CED = 90° - ∠CDE = 60°. (2) 在 Rt △ABC 中，∵ ∠C = 90°，∠A = 30°，AC = ， ∴ AB = 2BC，BC² + AC² = AB²， 即 BC² + 3 = 4BC²，∴ BC = 1，∴ AB = 2. 由 (1) 知，DE 是 △ABC 的中位线，∴ DE = AB = 1. 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=，点D，E分别是 AC，BC的中点，连接DE.求：(1) ∠CED的度数；(2) 线段DE的长. 新课讲解 构造三角形中位线的方法: 1. 如图①，若已知一边中点，则取另一边中点,并连接； 2. 如图②，若已知两边中点，则连接第三边； 3. 如图③，若已知一边中点，则将另一边倍长，再连接第三边； 4. 如图④，若已知一条线段与角平分线垂直，则延长这条线段构造 等腰三角形，结合已知条件得到中位线. 归纳 新课讲解 知识点2 三角形的中位线的与平行四边形的综合运用 例 2. 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形. A B F C H D G E 已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 证明：连接 AC. ∵ AH = HD，CG = GD， ∴ HG ∥ AC，且 HG = AC. 同理 EF ∥ AC，且 EF = AC. ∴ HG EF. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 新课讲解 【变式】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形. 证明：如图，连接BD. ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点， ∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD， ∴EH∥FG且EH=FG， ∴四边形EFGH为平行四边形. 新课讲解 例 3. 如图，已知E 为▱ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BD，交于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF. 证明：如图，连接BE. ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD，点O 是AC 的中点. ∵ E 为▱ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE＝DC， ∴ AB∥CE，AB＝CE. ∴四边形ABEC 是平行四边形. ∴点F 是BC 的中点. ∴ OF 是△ABC 的中位线. ∴ AB＝2OF. 新课讲解 1. 如图，已知AO是∠BAC的平分线，BD⊥ AO，交AO 的延长线于点D，E 是BC 的中点.求证：DE＝(AB－AC). “角平分线＋垂直”联想到等腰三角形 证明：如图，延长AC，BD相交于点F. ∵ AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠FAD. ∵ BD⊥ AO，∴∠ADB＝∠ADF＝90°. 在△ABD和△AFD中， ∴△ABD≌△AFD(ASA). ∴ AB＝AF，BD＝DF. 又∵ E 是BC的中点，∴ ED是△BCF的中位线. ∴ DE＝CF＝(AF－AC)＝(AB－AC). 练一练 新课讲解 练一练 2. 如图，在△ABC 中，点D，E 分别为AB，AC 的中点，点H 在线段CE 上，连接BH，点G，F 分别为BH，CH 的中点． (1)求证：四边形DEFG 为平行四边形； (2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度． 课堂小结 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段 定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 当堂小练 1. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形？ 解：能画出 3 个，分别为 ▱BDFE，▱DECF，▱DEFA. 理由如下： 由三角形的中位线定理可得 DF ∥ BC，DE ∥ AC，EF ∥ AB， ∴ 四边形 BDFE，四边形 DECF，四边形 DEFA 均为平行四边形. 当堂小练 2. 如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（ ）. A.15 B.18 C.21 D.24 A C D B O E A ∴OE是△DBC的中位线，△DOE的周长是△DBC周长的一半. ∵四边形ABCD是平行四边形，且的周长为36， 解：∵点O是对角线的交点，E是CD的中点， ∴ △DBC的周长为 BC+CD+BD=18+12=30, ∴ △DOE的周长为15. ∴BC+CD=18， 当堂小练 B C A E D F G O 3. 如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形. 证明：∵ BD 和 CE 是 △ABC 的两条中线， ∴ DE 是 △ABC 的中位线， ∴ DE =BC，DE ∥ BC. ∵ F，G 分别是 OB，OC 的中点， ∴ FG 是 △OBC 的中位线， ∴ FG = BC，FG ∥ BC， ∴ DE = FG，DE ∥ FG， ∴ 四边形 DEFG 是平行四边形. 当堂小练 4. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长到点F，使EF=ED，连接CF．四边形DBCF是平行四边形吗？说明理由． F E D C B A 解：是，理由如下： ∵ D，E 分别是 AB，AC 的中点， ∴ DE = BC，DE ∥ BC， 又 EF = DE， ∴ DF = DE + EF = BC， ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形. 当堂小练 5. 如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是_______． 3 当堂小练 6. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E，F ，G ，H分别是AB ，BD ，CD ，AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 24 D. 21 A ∴. 解：BD⊥CD，BD=4，CD=3， E，F ， G ， H分别是AB，BD，CD，AC的中点， ∴ ∴四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+EH=AD+BC. AD=7，BC=5 ， ∴四边形EFGH的周长为12. 当堂小练 7．如图，点E在△ABC的内部，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，F是BC的中点，连接EF，若AC＝5，AB＝9，则EF的长为(　　) A．2 B．2.4 C．3 D．3.5 A 当堂小练 8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别为DM，MN的中点，则EF的长度可能为(　　) A．2 B．5 C．7 D．9 B 对接中考 1. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若▱ABCD的周长为12，则△COE 的周长为( ) A．4 B．5 C．6 D．8 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝OA＝AC，即O是AC的中点. ∵ E是BC的中点， ∴OE是△ABC的中位线，CE＝BC. ∴ OE＝AB. ∵ ▱ABCD 的周长为1 2 ， ∴ AB＋BC＝×12＝6. ∴ △COE 的周长为OE＋CE＋OC ＝(AB＋BC＋AC)＝×(6 ＋4)＝5. B 对接中考 2. 如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个： ① BM＝EN； ② ∠FAN＝∠CDM； ③ AM＝DN； ④∠AMB＝∠DNE． 能使四边形AMDN 是平行四边形的是_______ (填上所有符合要求的条件的序号)． ①②④ 拓展与延伸 1. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于点F. (1)求证：四边形BDFC 是平行四边形； (2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积. (1) 证明：∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝180°. ∴AF∥BC. ∴∠CBE＝∠DFE，∠BCE＝∠FDE. ∵E是边CD的中点，∴CE＝DE. ∴△BCE≌△FDE(AAS)．∴BE＝FE. 又∵CE＝DE， ∴四边形BDFC是平行四边形． 拓展与延伸 2. 在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF． (1)如图①，点P为对角线BD的中点，连接PE，PF，若∠PEF＝26，则∠EPF＝_____°； 128 (2)如图②，直线FE分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BMF＝∠CNF； 拓展与延伸 2. 在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF． (3)如图③，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状． (1)证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，点G，F分别为BH，CH的中点， ∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线． ∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC. ∴DE∥GF，DE＝GF.∴四边形DEFG为平行四边形． (2)解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝2. ∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°. ∴BG＝＝＝， 即线段BG的长度为. 解：延长CE交AB于G. ∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠GAE. ∵CE⊥AE，∴∠AEC＝∠AEG＝90°. 又∵AE＝AE， ∴△AEC≌△AEG(ASA)． ∴CE＝GE，AG＝AC＝5. ∴BG＝AB－AG＝4. ∵F是BC的中点，∴EF＝BG＝2. 解：连接DN.由题意易知EF＝DN. ∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小． 易知N与B重合时DN最大， 此时DN＝DB＝＝＝13， ∴EF的最大值为6.5.当N与A重合时DN最小， ∴DN≥5.∴EF≥2.5.∴EF的长度可能为5. (2) 解：当△BCD是等腰三角形时， ①若BD＝BC，则BD＝3. 在Rt△ABD中，AB＝＝2， ∴S四边形BDFC＝2×3＝6. ②若BD＝DC，则BC边上的中线垂直平分BC. 易得BC＝2AD＝2，与已知BC＝3矛盾， 即BD＝CD这种情况不存在； ③若BC＝CD，则CD＝3. 过D作DG⊥BC， 易得CG＝2. 在Rt△CDG中， DG＝＝＝， ∴S四边形BDFC＝3. 综上所述，当△BCD是等腰三角形时，四边形BDFC的面积为6或3. 证明：如图①，连接BD，取BD的中点P，连接PE，PF， 易得PE为△ABD的中位线，PF为△BCD的中位线， ∴PE∥AB， PF∥CD，PE＝AB，PF＝CD， ∴∠PEF＝∠BMF，∠PFE＝∠CNF. ∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF， ∴∠BMF＝∠CNF. 解：△OMN是等腰三角形，理由如下：如图②，取BD的中点H，连接HE，HF. ∵E，F分别是BC，AD的中点，∴HF，HE分别是△ABD，△BCD的中位线． ∴HF∥AB，HE∥CD，HF＝AB，HE＝CD.∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN. ∵AB＝CD，∴HF＝HE.∴∠HFE＝∠HEF. ∴∠ONM＝∠OMN.∴OM＝ON， ∴△OMN是等腰三角形． $