21.2.3 三角形的中位线 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

三角形的中位线 数学人教版八年级下册 1 F D E 如图，铁匠师傅要把一块三角形铁皮切割成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮，你能帮助他想出办法吗？说说你的想法． A B C 新知 如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE． A B C D E 　　 像 DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 思考 一个三角形有几条中位线？自己试着画一画． A B C D E F 一个三角形有三条中位线，分别是 DE，DF，EF． 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段； 三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段. 思考 三角形的中位线和中线一样吗？ A B C D E F A B C D E F 问题1 A B C D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系 请你任意画一个三角形，再画出这个三角形的一条中位线，经过观察和测量，猜想一下，这条中位线和三角形的第三条边之间有怎样的关系？ 问题1 请你任意画一个三角形，再画出这个三角形的一条中位线，经过观察和测量，猜想一下，这条中位线和三角形的第三条边之间有怎样的关系？ A B C D E 位置关系 数量关系 DE∥BC DE＝ BC 　　猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 问题1 已知：如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点． 求证：DE∥BC，且 DE＝ BC． A B C D E F 证四边形 BCFD 是平行四边形 将 DE 延长一倍（得到点 F）， 即需证 DE∥BC，DF＝BC 证四边形 ADCF 是平行四边形 （对角线互相平分） 问题1 已知：如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点． 求证：DE∥BC，且 DE＝ BC． A B C D E F 证明：如图，延长 DE 到点 F，使 EF＝DE，连接 FC，DC，AF． ∵ AE＝EC，DE＝EF， ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形． ∴ CF DA． 问题1 已知：如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点． 求证：DE∥BC，且 DE＝ BC． A B C D E F 又 D 是 AB 的中点， ∴ CF BD． ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形． ∴ DF BC， 又 DE＝ DF， ∴ DE∥BC，且 DE＝ BC． 你还有其他证明方法吗？ 问题1 已知：如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点． 求证：DE∥BC，且 DE＝ BC． A B C D E F 证四边形 BCFD 是平行四边形 将 DE 延长一倍（得到点 F）， 即需证 DE∥BC，DF＝BC 证△ADE 和△CFE 全等 问题1 已知：如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点． 求证：DE∥BC，且 DE＝ BC． A B C D E F 证明：如图，延长 DE 到点 F，使 EF＝DE，连接CF． ∵ AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝FE， ∴ △ADE≌△CFE（SAS）． ∴ ∠DAE＝∠FCE，AD＝CF． ∴ CF∥AB． 问题1 已知：如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点． 求证：DE∥BC，且 DE＝ BC． A B C D E F ∵ BD＝AD， ∴ CF＝BD． ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形． ∴ DF BC， 又 DE＝ DF， ∴ DE∥BC，且 DE＝ BC． 新知 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 　　 三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以证两直线平行；二是数量关系，可以计算相关线段的长度、证明线段的倍分关系． 例1 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点． 求证：四边形 EFGH 是平行四边形． A B C D E F G H 分析：可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等． 15 例1 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． A B C D E F G H 证明：如图，连接 AC． ∵ AH＝HD，CG＝GD， ∴ HG∥AC，且 HG＝ AC． 同理 EF∥AC，且 EF＝ AC． ∴ HG EF． ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形． 16 例2 （1）如图，已知△ABC 的面积是 S，顺次连接各边中点 D，E，F，所得的四个三角形的面积分别是多少？ 　　解：由三角形的中位线定理，得 EF＝ AB＝DA，DF＝ AC＝EA． 　　又 DE＝ED， ∴ △ADE≌△FED（SSS）． 同理 △FED≌△DBF，△FED≌△EFC． 　　∴ S△ADE＝S△FED＝S△DBF＝S△EFC＝ S． A B C D E F 17 　　解：根据三角形的中位线定理，得 DE＝ a，EF＝ c，DF＝ b， 　　∴ △FED 的周长为 a＋ b＋ c＝ (a＋b＋c)． 　　由（1）知 △FED≌△ADE≌△DBF≌△EFC， 　　∴ △ADE，△DBF，△EFC 的周长也是 (a＋b＋c)． 例2 （2）已知△ABC 三边的长分别为 a，b，c，顺次连接各边中点 D，E，F ，所得的四个三角形的周长分别是多少？ A B C D E F 18 归纳 　　一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形． 每个小三角形的周长都是原三角形周长的 ; 每个小三角形的面积都是原三角形面积的 ． 　　1．如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点．以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形？ A B C D E F · · · 解：如图，连接DE，EF，FD．能在图中画出 3 个平行四边形， 分别是▱BEFD，▱DECF，▱ADEF． 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 　　2．如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点．求证：四边形 DEFG 是平行四边形． 证明：∵ BD，CE 是△ABC 的中线， ∴ D，E 分别是 AC，AB 的中点， ∴ ED 是△ABC 的中位线． ∴ ED∥BC，且 ED＝ BC． ∵ F，G 分别是 OB，OC 的中点， ∴ FG 是△OBC 的中位线， 　　2．如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点．求证：四边形 DEFG 是平行四边形． ∴ FG∥BC，且 FG＝ BC． ∴ ED∥FG，且 ED＝FG． ∴ 四边形 DEFG 是平行四边形． 　　3．如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC 和 BC．怎样利用三角形的中位线定理测出 A，B 两点间的距离？ · · D E 解：如图，分别取 CA 的中点 D，CB 的中点 E，连接 DE，并量出 DE 的长．根据三角形的中位线等于第三边的一半，得 AB＝2DE． 归纳 距离、高不可测，中位线来帮忙 　　三角形中位线的有关知识，常用来解决以测量距离为背景的问题．解决问题时先把实际问题转化为数学问题，再分两步走： 一定，依照三角形中位线的定义，确定哪条线段是三角形的中位线； 二算，根据三角形的中位线定理进行计算（三角形的中位线等于第三边的一半）． 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫作 三角形的中位线 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 位置关系：证两直线平行 概念 应用 定理 数量关系：计算线段长度、证明倍分关系 $