21.2.2 平行四边形的判定 课件 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

平行四边形的判定（共2课时） 数学人教版八年级下册 1 在一款“几何拼图”游戏中，参与者需要依据现有碎片，还原完整的平行四边形 ABCD．小明抽到一张“残缺碎片”（如图），上面保留了顶点 A，B，C 及部分边．你能帮小明在图纸上还原出完整的平行四边形吗？ A B C D 平行四边形的定义既明确了平行四边形的相关特征，也是最基础的判定平行四边形的方法． 新知 平行四边形的判定定理1： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 实际问题中，有时无法直接获知两组对边的位置关系．除了边，角和对角线也是平行四边形的重要要素，能否从边、角或对角线的其他特征出发，找到新的判定方法？ 探讨平行四边形的判定，本质上是研究当四边形的边、角、对角线满足哪些特定的位置关系或数量关系时，可以判断该四边形为平行四边形． 联系前面学习过的平行线的判定、等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理等，你有什么想法？ 问题1 思路：可以尝试从性质定理的逆命题出发研究图形的判定方法． 平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 问题1 平行四边形的性质 逆命题 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线 互相平分 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 问题1 平行四边形的性质 猜想 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线 互相平分 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 问题2 猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，BC＝AD． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 需要证明 AB∥CD，BC∥AD 要证明四边形ABCD是平行四边形 利用对应角相等 （互补）的关系 添加辅助线 证明三角形全等 A B C D 问题2 猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，BC＝AD． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 证明：如图，连接 BD． ∵ AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB， ∴ △ABD≌△CDB（SSS）． ∴ ∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB． ∴ AD∥BC，AB∥CD．∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 连接对角线是解决平行四边形问题时常作的辅助线． 新知 平行四边形的判定定理2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 问题3 猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 利用同旁内角互补证明两组对边分别平行 对角分别相等 四边形的内角和 A B C D 问题3 猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 证明：在四边形 ABCD 中， ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°． ∵ ∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴ ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°． ∴ AD∥BC，AB∥CD．∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 若两组邻角分别相等，无法判定四边形是平行四边形． 新知 平行四边形的判定定理3： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 思考 经过严格的推理证明，我们发现以上两个命题都是真命题，可以作为判定四边形是平行四边形的依据，由此得到了两个平行四边形的判定定理．请同学们进一步思考，上述两个命题的证明过程有什么共同特点？ 平行四边形的定义既是性质，又是判定方法． 问题4 猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且 OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 思路1：用定义证明． A B C D O △AOB≌△COD ∠OAB＝∠OCD AB∥CD △AOD≌△COB ∠OAD＝∠OCB AD∥BC 问题4 猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且 OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D O 　　证明：∵ OA＝OC，OB＝OD， ∠AOB＝∠COD， ∴ △AOB≌△COD． ∴ ∠OAB＝∠OCD．∴ AB∥CD． 同理 AD∥BC．∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 问题4 猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且 OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 思路2：用判定定理 2 证明． A B C D O △AOB≌△COD AB＝CD 同理 BC＝DA 问题4 猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且 OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 思路3：用判定定理 3 证明． A B C D O △AOB≌△COD △AOD≌△COB ∠OAB＝∠OCD ∠OAD＝∠OCB ∠BAD＝∠DCB 同理 ∠ABC＝∠CDA 新知 平行四边形的判定定理4： 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 归纳 　 平行四边形的性质定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立．也就是说，平行四边形的判定定理与平行四边形的性质定理互为逆定理． 例 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在AC 上，并且 AE＝CF．求证：四边形 BFDE 是平行四边形． A B C D O E F 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO＝CO，BO＝DO . ∵ AE＝CF， ∴ AO－AE＝CO－CF，即 EO＝FO. 又 BO＝DO， ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形. 你还有其他证明方法吗？ 20 例 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在AC 上，并且 AE＝CF．求证：四边形 BFDE 是平行四边形． A B C D O E F 　　证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴ AD＝BC， AD∥BC． 　　∴ ∠DAC＝∠BCA． 　　又 AE＝CF，∴ △AED≌△CFB． 　　∴ ED＝FB．同理 BE＝DF． ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形． 21 　　1．如图，在四边形 ABCD 中，∠ADB＝∠CBD，∠C＋∠ABC＝180°，四边形 ABCD 是平行四边形吗？请说明理由． B C A D 解：四边形 ABCD 是平行四边形. 理由如下： ∵ ∠ADB＝∠CBD，∴ AD∥BC. ∵ ∠C＋∠ABC＝180°，∴ AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解：∵  AB＝DC，AD＝BC， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． ∵ DC＝EF，DE＝CF， ∴ 四边形 DCFE 是平行四边形． ∴  AB∥CD∥EF，AD∥BC，DE∥CF． 　　2．如图，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF．图中有哪些互相平行的线段？ 　　3．如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 DE，DF，BE，BF . 求证：四边形 DEBF 是平行四边形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD． ∵ E，F 分别是 OA，OC 的中点， ∴ OE＝ OA，OF＝ OC． ∴ OE＝OF． ∴ 四边形 DEBF 是平行四边形． 平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形的判定（第2课时） 数学人教版八年级下册 26 平行四边形的判定定理：______________________________________________； ______________________________________________； ______________________________________________； ______________________________________________． （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形 如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时，这个四边形能成为平行四边形？ 问题1 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？ 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 性质：如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等． 从逆命题的角度考虑 问题2 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB CD． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 利用条件AB∥CD 还需证明AD∥BC 利用条件AB＝CD 还需证明AD＝BC 表示平行且相等 添加辅助线,证明三角形全等 问题2 A B C D 1 2 证明：如图，连接 AC． ∵ AB∥CD，∴ ∠1＝∠2． 又 AB＝CD，AC＝CA， ∴ △ABC≌△CDA（SAS）． ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． ∴ BC＝DA． 又 AB＝CD， 你还有其他证明方法吗？ 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB CD． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 问题2 证明：如图，连接 BD． ∵ AB∥CD，∴ ∠1＝∠2． 又 AB＝CD，BD＝DB， ∴ △ABD≌△CDB（SAS）． A B C D 1 2 4 3 ∴ ∠3＝∠4．∴ AD∥BC． 又 AB∥CD，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB CD． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 新知 平行四边形的判定定理5： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 思考 一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明． 　　如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，四边形 ABCD 是等腰梯形． 　　一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． A B C D 例 如图，在□ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，求证 DE BF ． 分析：只需证四边形 DEBF 是平行四边形． 34 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB CD． 又  EB＝ AB，DF＝ CD， ∴ EB DF． ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形． ∴ DE BF． 例 如图，在□ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，求证 DE BF ． 35 归纳 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 一组对边相等 1. 另一组对边相等 2. 该组对边平行 一组对边平行 1. 另一组对边平行 2. 该组对边相等 角 两组对角相等 对角线 对角线互相平分 　　1．如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了. 你能说出其中的道理吗？ 解：∵ 互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等， ∴ 两根枕木及两条铁轨构成的四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴ 两条直铺的铁轨互相平行． 　　2．如图，在□ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C 两点分别作 AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E，F．求证：四边形AFCE 是平行四边形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD＝BC，AD∥BC， ∴ ∠ADE＝∠CBF． ∵ AE⊥BD，CF⊥BD， ∴ ∠AED＝∠CFB＝90°， 　　2．如图，在□ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C 两点分别作 AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E，F．求证：四边形AFCE 是平行四边形． ∴ △AED≌△CFB（AAS）， ∴  AE＝CF． ∵ ∠AEF＝∠CFE＝90°， ∴  AE∥CF． ∴ 四边形 AFCE 为平行四边形． 　　3．如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个平行四边形？为什么？ 解：有 6 个平行四边形. □ ABOF □ AOEF □ ABCO □ BCDO □ CDEO □ DEFO A B C D E F O 平行四边形的判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 利用定义判定 利用边 判定 利用对角线判定 利用角 判定 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 $