2026年浙江省杭州中考专题：三角形专题

2026年浙江省杭州中考专题：三角形专题 【知识点】三角形面积问题 1.如图，点P是△ABC的重心，点D是边AB的中点，PE∥AB交BC于点E，若四边形BEPD的面积为5，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 2.如图，在中，点在上，点在上，是的中点，是的中点，，，且与所夹得锐角为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【知识点】三角形的旋转问题 1.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论一定正确的是（　　） A．BF＝DF B．∠CBD＝∠EBD C．CB∥DE D．AG⊥DE 2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1；若将Rt△ABC绕C点按顺时针旋转到△A1B1C1的位置（A、C、B1在同一直线上），那么AC运动到A1C1所经过的图形的面积是　 ． 3.如图，在中，，设，，且是定值，点是上一点，点为中点，连接，将线段沿绕点顺时针旋转，得到线段交于点，若点关于直线的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（ ） A. B. C. D. 【知识点】三角函数的问题 1.如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB，O为AB的中点，它的支撑柱OH垂直于地面，垂足为点H，当AB一端A着地时，∠BAH＝α，则支撑柱OH的长可表示为（　　） A．120•sinαcm B．120•tanαcm C． D． 2.△ABC中，AB＝12，AC，∠B＝30°，则△ABC的面积是　 　 ． 3.如图，在中，，点D在边上，且满足，连结． 作的平分线分别交于点E，点F．若，则______，______． 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝10，． （1）求AD的长； （2）若BD＝2CD，求tanC的值． 5.如图，在中，，是边上的中线，于点E，，． （1）求的长； （2）求的值． 6.如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E，，， （1）求的长； （2）若，求的值 【知识点】比例线段的问题 1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（　　） A． B． C． D． 2.如图，在中，AD为的平分线，，若DE=3，CE=4，则AB的值________． 【知识点】三角形的性质 1.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，则∠1+∠2+∠3的度数是　360°　 ． 2.如图，在中，，点是边上的一点，满足．若，则的度数为________°．（请用含的代数式表示） 【知识点】尺规作图 1.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　） A．20° B．30° C．45° D．60° 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为 ． 3. 已知：如图，在中，是边上一点．求作：在边上作一点，使得． 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点． 小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．． （1）请判断小成作法是否正确，并给出理由． （2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明． 4.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝3． （1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点BO＝5，求AD的长． 5.小明研究一道尺规作图题：作一边上的高线．他的作法如下：如图，在中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线． （1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由． （2）若，，，求的面积． 【知识点】三角形的全等 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P． （1）证明：△AEB≌△ADC． （2）若∠EBC＝35°，求∠ABE的度数． 【知识点】格点三角形 1.如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可． 2.在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）． （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； （2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标． 3.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 4.如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） （1）请在图1中画出的高． （2）请在图2中在线段上找一点E，使． 【知识点】三角形中位线 1.如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 2.M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，BC＝13，MN＝3，则△ABC的周长等于　 　 ． 3.如图，点D、E分别为的中点，平分交于点F，若，则___． 4.如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 【知识点】特殊三角形的性质 1.在等边△ABC中，D为△ABC内的一点，∠BDC＝120°，∠ADB＝90°，CD＝1，则AD的长为（　　） A． B．2 C． D．3 2.如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 中，，点，分别在边，上，连结，，，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4.如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，第2021个三角形的底角度数是 　 　 ． 5.如图，将一副三角尺的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是 　 　 °． 6.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，E在AB边上且DE⊥AB． （1）求证：BD2＝BE•BA； （2）AB＝6，BC＝4，求DE的长． 7.在中，点分别在边上，线段相交于点． （1）若是正三角形，，求的值． （2）设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：． 8.如图，在等边中，点、分别是边、上的点，与交于点． （1）求证：； （2）求的值． 【知识点】三角形的相似 1.小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ______． 2.如图，在中，的平分线交边于点，已知． （1）求证：； （2）若，求的度数． 3.如图，在中，是角平分线，平分交于点E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州中考专题：三角形专题 【知识点】三角形面积问题 1.如图，点P是△ABC的重心，点D是边AB的中点，PE∥AB交BC于点E，若四边形BEPD的面积为5，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 【解答】解：连接AP交BC于点F，连接CP，BP， ∵点P是△ABC的重心，点D是边AB的中点， ∴点C，P，D三点共线， ∴AD＝BD，BF＝CF， 在PD的延长线上取一点H，使DH＝DP，连接AH，BH，如图所示： 则PH＝2PD， ∴四边形AHBP是平行边形， ∴BH∥AF， ∵BF＝CF， ∴PF是△CBH的中位线， ∴PC＝PH＝2PD， ∴CD＝PC+PD＝3PD， 设S△CPE＝a， ∵四边形BEPD的面积为5， ∴S△CDB＝5+a， ∵PE∥AB， ∴△CPB∽△CDB， ∴， ∴， 解得：a＝4， ∴S△CDB＝5+a＝9， ∵AD＝BD， ∴△ABC的面积为：2S△CDB＝18． 故选：C． 2.如图，在中，点在上，点在上，是的中点，是的中点，，，且与所夹得锐角为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解直角三角形；连接，过点分别作边上的高，根据三角形中线的性质得出得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点分别作边上的高，设交于点， ∵是的中点，是的中点， ∴ ∵且与所夹得锐角为， ∴， ∴ ∴ 故选：D． 【知识点】三角形的旋转问题 1.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论一定正确的是（　　） A．BF＝DF B．∠CBD＝∠EBD C．CB∥DE D．AG⊥DE 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】由旋转得∠A＝∠D，∠ABD＝90°，可得∠A+∠AFB＝90°，进而可得∠D+∠DFG＝90°，则∠DGF＝90°，即AG⊥DE，从而可得答案． 【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE， ∴∠A＝∠D，∠ABD＝90°， ∴∠A+∠AFB＝90°． ∵∠AFB＝∠DFG， ∴∠D+∠DFG＝90°， ∴∠DGF＝90°， 即AG⊥DE， 故D选项正确，符合题意； 根据已知条件不能得出A，B，C选项， 故A，B，C选项不正确，不符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1；若将Rt△ABC绕C点按顺时针旋转到△A1B1C1的位置（A、C、B1在同一直线上），那么AC运动到A1C1所经过的图形的面积是　π　 ． 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可求AC，根据直角三角形的性质和旋转的性质可求∠A1CA＝120°，再根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1， ∴AC＝2，∠ACB＝60°， 由旋转的性质可求，∠A1C1B1＝60°， ∴∠A1CA＝120°， ∴AC运动到A1C1所经过的图形的面积是π． 故答案为：π． 【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的性质和旋转的性质，关键是求出AC，∠A1CA＝120°． 3.如图，在中，，设，，且是定值，点是上一点，点为中点，连接，将线段沿绕点顺时针旋转，得到线段交于点，若点关于直线的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，，在上取点H，使，连接，过点E作于点K，根据直角三角形的性质得出，设，则，求出，得出，求出，得出，求出，，得出，求出，，，从而求出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，，，在上取点H，使，连接，过点E作于点K，如图所示： ∵在中，，点为中点， ∴， ∴， 根据旋转可知：，， ∴和为等腰三角形，， 设，则， ∴， ∴， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴、均不是定值， ∴， ∴为定值， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不是定值， 综上分析可知，为定值， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质 【知识点】三角函数的问题 1.如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB，O为AB的中点，它的支撑柱OH垂直于地面，垂足为点H，当AB一端A着地时，∠BAH＝α，则支撑柱OH的长可表示为（　　） A．120•sinαcm B．120•tanαcm C． D． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【分析】根据线段中点的定义可得OAAB＝120cm，然后在Rt△AOH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵O为AB的中点，AB＝240cm， ∴OAAB＝120（cm）， 在Rt△AOH中，∠BAH＝α， ∴OH＝OA•sinα＝120•sinα（cm）， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 2.△ABC中，AB＝12，AC，∠B＝30°，则△ABC的面积是　21或15　 ． 【专题】分类讨论． 【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解． 【解答】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D， 在Rt△ABD中，∵AB＝12、∠B＝30°， ∴ADAB＝6，BD＝ABcosB＝126， 在Rt△ACD中，CD， ∴BC＝BD+CD＝67， 则S△ABCBC×AD76＝21； ②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D， 由①知，AD＝6、BD＝6、CD， 则BC＝BD﹣CD＝5， ∴S△ABCBC×AD56＝15， 故答案为：21或15． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，本题关键是得到BC和AD的长，同时注意分类思想的运用． 3.如图，在中，，点D在边上，且满足，连结． 作的平分线分别交于点E，点F．若，则______，______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】过点作的平行线交的延长于点，延长至点，使，连接，延长交于点，利用平行线截线段成比例定理和角平线可得到，设，则，利用全等三角形的判定与性质得到，进而求得，最后利用角平分线的性质定理解答即可得出结论． 【详解】解：过点作的平行线交的延长于点，延长至点，使，连接，延长交于点，如图， ，，， 是的平分线， ， ， ， ， ， 设，则， ， 为的垂直平分线， ， ， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， 故答案为：，． 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝10，． （1）求AD的长； （2）若BD＝2CD，求tanC的值． 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【分析】（1）根据垂直定义可得：∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）在Rt△ABD中，利用勾股定理可得：BD＝8，从而可得CD＝4，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，AB＝10，， ∴AD＝AB•sinB＝106； （2）在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6， ∴BD8， ∵BD＝2CD， ∴CDBD＝4， 在Rt△ACD中，tanC． 【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 5.如图，在中，，是边上的中线，于点E，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由等边对等角可得出，即可得出，即可求出答案． （2）由勾股定理求出，再根据等面积法求出，再根据正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 6.如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E，，， （1）求的长； （2）若，求的值 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由D为边的中点，得到，由，得到，证明，即可求解； （2）由，，即，得到，通过解直角三角形可得，通过勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵D为边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴． 【知识点】比例线段的问题 1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（　　） A． B． C． D． 【专题】图形的相似；推理能力． 【分析】先证明△ADN∽△ABM得到，再证明△ANE∽△AMC得到，则，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：∵DN∥BM， ∴△ADN∽△ABM， ∴， ∵NE∥MC， ∴△ANE∽△AMC， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系． 2.如图，在中，AD为的平分线，，若DE=3，CE=4，则AB的值________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义可得，根据等角对等边可得，进而求得的长，根据，证明，根据相似三角形的性质与判定即可求解． 【详解】 AD为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行线 【知识点】三角形的性质 1.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，则∠1+∠2+∠3的度数是　360°　 ． 【专题】三角形；推理能力． 【分析】根据平角的性质和三角形内角和进行计算． 【解答】解：∵∠1+∠BAC＝180°，∠2+∠ABC＝180°，∠3+∠ACB＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°， 故答案为：360°． 【点评】本题考查了平角的性质和三角形内角和，掌握三角形内角和是解题的关键． 2.如图，在中，，点是边上的一点，满足．若，则的度数为________°．（请用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．设，由等边对等角求得，再根据三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形内角和定理得， 即， ∴， 故答案为：． 【知识点】尺规作图 1.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　） A．20° B．30° C．45° D．60° 【专题】作图题． 【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作图可知MN为AB的中垂线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°， 故选：B． 【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为　　 ． 【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【分析】由作图知，BP是∠ABC的角平分线，得到∠CBP＝∠PBA，求得tan∠PBA＝tan∠CBP，设BC＝3x，AC＝4x，根据勾股定理得到AB5x，设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E，得到CD＝DE，根据三角形面积公式得到CDx，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：由作图知，BP是∠ABC的角平分线， ∴∠CBP＝∠PBA， ∴tan∠PBA＝tan∠CBP， ∵∠C＝90°，， ∴， ∴设BC＝3x，AC＝4x， ∴AB5x， 设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E， ∴CD＝DE， ∴S△ABCAC•BCBC•CDAB•DE， ∴3x•4x＝（3x+5x）•CD， ∴CDx， ∴tan∠PBA＝tan∠CBP， 故答案为：． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3. 已知：如图，在中，是边上一点．求作：在边上作一点，使得． 以下是小成和小亦两位同学的作法： 小成：如图1，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点． 小亦：如图2，先作的平分线，然后．．．．．． （1）请判断小成作法是否正确，并给出理由． （2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明． 【答案】（1）小成正确，理由见分析 （2）补全图形见详解，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图－复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识解决问题． （1）利用平行四边形的判定和性质求解； （2）以为圆心，长为半径作弧交于点，作直线交于点，直线即为所求． 【小问1详解】 解：小成作法正确． 理由：由作图可知，， 四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 解：如下图，直线即为所求． 理由：由作图可知平分，， ，， ， ． 4.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝3． （1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点BO＝5，求AD的长． 【专题】作图题；几何直观；运算能力． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）∵∠BAE＝∠B， ∴AD∥BC， ∴， ∴， ∴AD． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 5.小明研究一道尺规作图题：作一边上的高线．他的作法如下：如图，在中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线． （1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由． （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）同意，证明见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作线段，作垂线，中垂线的判定，勾股定理： （1）根据作图可知：，进而得到垂直平分，即可得证； （2）勾股定理求出，再利用勾股定理求出，进而求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：同意，证明如下： 连接， 由作图可知：， ∴垂直平分， ∴，即：为边上的高线． 【小问2详解】 由（1）知：， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的面积． 【知识点】三角形的全等 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P． （1）证明：△AEB≌△ADC． （2）若∠EBC＝35°，求∠ABE的度数． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△AEB和△ADC中， ， ∴△AEB≌△ADC（AAS）． （2）解：∵∠BEC＝90°，∠EBC＝35°， ∴∠ACB＝90°﹣∠EBC＝55°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝55°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝55°﹣35°＝20°， ∴∠ABE的度数是20°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，推导出∠AEB＝∠ADC，进而证明△AEB≌△ADC是解题的关键． 【知识点】格点三角形 1.如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可． 【专题】三角形． 【分析】图1，从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F；图2，EC，EF，FC，借助勾股定理确定F点；图3，根据格点特征，利用垂直平分线的判定画出图形即可． 【解答】解：如图： 【点评】本题考查三角形作图；在格点中利用勾股定理，三角形的性质作平行、垂直、中点是解题的关键． 2.在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）． （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； （2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标． 【分析】（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可； （2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可； （3）作出点B关于y轴的对称点B2，连接A、B2交y轴于点P，则P点即为所求． 【解答】解：（1）如图所示； （2）如图，即为所求； （3）作点B1关于y轴的对称点B2，连接C、B2交y轴于点P，则点P即为所求． 设直线CB2的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵C（﹣1，4），B2（2，﹣2）， ∴，解得， ∴直线CB2的解析式为：y＝﹣2x+2， ∴当x＝0时，y＝2， ∴P（0，2）． 【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 3.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，能通过作辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 作，连接，得到，根据勾股定理得到，，，继而得到，得到，再根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作，连接， ， 令正方形网格的边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 4.如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） （1）请在图1中画出的高． （2）请在图2中在线段上找一点E，使． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-格点作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）取格点，连接交于点，连接，线段即为所求； （2）取格点，连接交于，点就是所求的点． 【小问1详解】 解：取格点，连接交于点，连接，如图： 由图可知，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴为中点， ∴， ∴为的高． 【小问2详解】 解：取格点，连接交于，如图： 由图可得，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点就是所求的点． 【知识点】三角形中位线 1.如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 2.M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，BC＝13，MN＝3，则△ABC的周长等于　35　 ． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】延长线段BN交AC于E，易证△ABN≌△AEN，可得N为BE的中点；由已知M是BC的中点，可得MN是△BCE的中位线，由中位线定理可得CE的长，根据AC＝AE+CE可得AC的长，进而得出△ABC的周长． 【解答】解：延长线段BN交AC于E． ∵AN平分∠BAC， ∴∠BAN＝∠EAN， 在△ABN和△AEN中， ， ∴△ABN≌△AEN（ASA）， ∴AE＝AB＝8，BN＝NE， 又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CE＝2MN＝2×3＝6， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝8+13+8+6＝35． 故答案为：35． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题． 3.如图，点D、E分别为的中点，平分交于点F，若，则___． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线性质定理、等角对等边等知识，利用三角形中位线性质得到，，利用中点定义得到，再利用平行线的性质和角平分线得到，则，即可得到的长度． 【详解】解：∵点D、E分别为中点，， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵平分交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 4.如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EFBC，DG∥BC且DGBC，从而得到DE＝EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先判断出∠BOC＝90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可． 【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点， ∴DG∥BC，DGBC， ∵E、F分别是OB、OC的中点， ∴EF∥BC，EFBC， ∴DG＝EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∵M为EF的中点，OM＝3， ∴EF＝2OM＝6． 由（1）有四边形DEFG是平行四边形， ∴DG＝EF＝6． 【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形． 【知识点】特殊三角形的性质 1.在等边△ABC中，D为△ABC内的一点，∠BDC＝120°，∠ADB＝90°，CD＝1，则AD的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连接DE，可得CE＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠AEC＝∠BDC＝120°．结合等边三角形的判定与性质可得△CDE为等边三角形，则DE＝CD＝1，∠DEC＝∠CDE＝60°，可得∠AED＝∠AEC﹣∠DEC＝60°，点B，D，E在同一条直线上，则∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，可得AD． 【解答】解：将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连接DE， 可得CE＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠AEC＝∠BDC＝120°． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠ACE＝∠DCE＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴DE＝CD＝1，∠DEC＝∠CDE＝60°， ∴∠AED＝∠AEC﹣∠DEC＝60°，∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝180°， ∴点B，D，E在同一条直线上． ∵∠ADB＝90°， ∴∠ADE＝90°． 在Rt△ADE中，∠AED＝60°，DE＝1， ∴AD． 故选：A． 【点评】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2.如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案． 【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2． ∵ME⊥AB，， ∴是直角三角形，，，， ∵， ∴，． 又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点． 故选：A． 3. 中，，点，分别在边，上，连结，，，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，30度所对的直角边等于斜边的一半，平行的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 作于，取，交于，作于，通过等腰三角形三线合一，可知 ，，，，，那么可证，不妨设，，通过，可知，从而得到，那么，不妨设，那么，，，从而得到，推出 ，，接着依次表示出，，你那么，最后求得． 详解】解：如图，作于，取，交于，作于，如图所示： ，， ，，， ，， ，， ， 不妨设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 不妨设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 4.如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，第2021个三角形的底角度数是 　（）°　 ． 【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B＝30°，A1B＝CB，得∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°，那么∠BA1C150°＝75°．由A1A2＝A1D，得∠DA2A1＝∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1，得∠DA2A1∠BA1C150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题． 【解答】解：∵∠B＝30°，A1B＝CB， ∴∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°． ∴2∠BA1C＝150°． ∴∠BA1C150°＝75°． ∵A1A2＝A1D， ∴∠DA2A1＝∠A1DA2． ∴∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1． ∴∠DA2A1∠BA1C150°． 同理可得：∠EA3A2∠DA2A1150°． … 以此类推，以An为顶点的内角度数是∠An＝（）n×150°＝（）n﹣1×75°． ∴以A2021为顶点的内角度数是（）2020×75°＝（）°． 故答案为：（）°． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键． 5.如图，将一副三角尺的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是 　15　 °． 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【分析】如图，延长EC交AB于H．利用三角形的外角的性质求出∠AEH，再证明∠DEB＝∠AEH即可解决问题． 【解答】解：如图，延长EC交AB于H． ∵AB∥CD， ∴∠ECD＝∠EHB＝60°， ∵∠EHB＝∠A+∠AEH，∠A＝45°， ∴∠AEH＝60°﹣45°＝15°， ∵∠AEB＝∠CED， ∴∠DEB＝∠AEH＝15°， 故答案为15． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 6.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，E在AB边上且DE⊥AB． （1）求证：BD2＝BE•BA； （2）AB＝6，BC＝4，求DE的长． 【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【分析】（1）连接AD，由AB＝AC，D为BC中点，得AD⊥BC，因为DE⊥AB于点E，所以∠DEB＝∠ADB＝90°，而∠B＝∠B，则△DBE∽△ABD，所以，则BD2＝BE•BA； （2）因为AB＝6，BC＝4，所以BD＝CD＝2，求得AD4，由S△ABD6DE2×4，求得DE． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴AD⊥BC， ∵DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠ADB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BD2＝BE•BA． （2）解：∵AB＝6，BC＝4， ∴BD＝CDBC＝2， ∵∠ADB＝90°， ∴AD4， ∵S△ABDAB•DEBD•AD， ∴6DE2×4， ∴DE， ∴DE的长是． 【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 7.在中，点分别在边上，线段相交于点． （1）若是正三角形，，求的值． （2）设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明得到，那么，即可求解； （2）连接，设，利用共高三角形面积比化为底之比得到，即，则，而，即可证明． 【小问1详解】 解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了求一个角的正弦值，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积问题，不等式的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8.如图，在等边中，点、分别是边、上的点，与交于点． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，再证明，则，即可得到答案 【小问1详解】 证明：为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； 小问2详解】 解：为等边三角形， ， 由（1）知，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【知识点】三角形的相似 1.小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点作于点，交于点，求出，证明，得到，当时，矩形面积最大，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， 即， 解得， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， 故当时，矩形面积最大， ， 此时， 故答案为：． 2.如图，在中，的平分线交边于点，已知． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，灵活运用相似三角形的判定方法证明三角形相似是解题的关键． （1）利用角的等量代换证出，再通过相似的性质即可解答； （2）利用相似三角形边的比值关系求出中各边的长，再利用勾股定理的逆定理即可解答． 【小问1详解】 解：证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即； 【小问2详解】 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3.如图，在中，是角平分线，平分交于点E，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，即可得证； （2）先根据已知条件求出，再根据即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵是角平分线， ∴． ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的意义等知识，熟练掌握相关判定与性质是解答此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $