加练4 三角形(含尺规作图)-【一战成名新中考·乾坤卷】2025广西中考原创压轴卷（全学科）

加练4三角形( 锐角三角函数（题位预估：8,14,15） 1.真实情境中国的风筝已有2000多年的历 4. 史.相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而 成，是人类最早的风筝起源.如图是一个风 筝骨架的示意图，已知AC⊥DE,且AD=m, AD=CD,AD与AC的夹角为a,则AC的长度 为 第1题图 A.mcosa B.mtana C.2mcosa D.2mtana 2.真实情境如图，在平地上种植树木时，要 求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为 5m,若在坡比为i=1:2.5的山坡种树，也要 5 求株距为5m,则相邻两棵树间的坡面距离 为 m. 第2题图 3.学科融合如图，一束太阳光从天花板和落 地窗交界处的点P射入，经过地板MN反射 到天花板上形成光斑.中午和下午某时刻光 线与地板的夹角分别为α，B.已知天花板与 地面是平行的，且它们之间的距离为3m,当 a=45°，B=30°时，光斑移动的距离AB 为 m. 天花板A 3 m aB 地板 第3题图 乾卷加练 含尺规作图) 尺规作图（题位预估：18,19）》 如图，在△ABC中，BE是AC边上的高 (1)尺规作图：作BC边上的高AD;(要求： 保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)在(1)的条件下，AD交BE于点F,且BF= AC,若CD=3,AF=5,求△ABC的面积 第4题图 数 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°， 冰 (1)尺规作图：作∠ACB的平分线交AB于点 0:(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明 字母)》 (2)若AC=6,求B0的长 第5题图 广西 41 几何综合探究题（题位预估：22,23） 6.如图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B=∠DEF=90°，AB=20,BC=15,DF=15,DE=12.点D,E分 别在AB,AC边上滑动，点F在DE的右侧，当DF与AC相交时，交点记为P. (I)求线段EF的长及线段EP的最小值； (2)当DP=12时，求证：AP=AD; (3)直接写出点A与点F的最大距离. B 第6题图 备用图 数学 42 乾卷加练·广西 7.【问题背景】 数学活动课上，老师将矩形ABCD按如图①所示方式折叠，使点A与点C重合，点B的对 应点为B',折痕为EF,若△CEF为等边三角形 (1)解答老师提出的问题：猜想AB与AD的数量关系，并加以证明 【实践探究】 (2)小明受到此问题启发，将△ABC纸片按如图②所示方式折叠，使点A与点C重合，折痕为 EF,若∠A=45°，AC=2. ①试判断重叠部分△CEF的形状，并说明理由； ②若点D为EF的中点，连接CD,求CD的长， 【问题解决】 (3)小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在△ABC中，将 △ABC折叠，使点A与点C重合，点D为折痕EF上一点，连接CD,BD.若AB=AC=√5，BC=2, ∠ACD=45°，请求出线段BD的长 B B 图① 图② 图③ 数学 第7题图 乾卷加练·广西 43最大值为3.“>3符合题意： 当a<0时，抛物线开口向下， 若02.则当：时系得大位，且版大位大于3 不符合题意： 如每因0.吉分 1 ≥2,3≤a<0,则当-1≤x≤2时，y随x的 增大而增大，当x=2时，y取得最大值，最大值为3， ≤a<0符合题意. 综上所述，a的取值范围为≤a<0成a>0 AO 图① 图② 图③ 图④ 第9题解图 (3)当a<0时，抛物线开口向下，当x=-1时，y取得最小值， 最小值为0.故a<0不符合题意 当a>0时，茄物线开口向上，由题意得，二之2 1 ≤-1，即a≤，当x=-1时，y取得最小值，最小值为 2a Q故0ca≤兮不符台题意 若-1<<2，x=时，y取得最小值，最小值为(3a-1 2a 2a 4a -(3a-1)2 4a -1,解得a=1或)， a的位为1或) 10.解：(1)①当a=1时，抛物线解析式为y=x2+4x+3, y=x2+4x+3=(x+2)2-1, .对称轴为直线x=-2: ②点(m,y1)与(m+3,y2)分别在该抛物线对称轴两侧的 图象上，且y≤y2, 0*m*3 -2 2 又：m<-2且m+3>-2, m的取值范围为-，≤m2: (2)y=ax2+4ax+3a=a(x+2)2-a(a≠0)， 抛物线的顶点为(-2，-a), 乾卷加练答男 将该抛物线向右平移k(0<k<2)个单位得到y=a(x+2-k)2- a, ①若a>0 当0≤1，则当=0时取得最大值。， .a(2-k)2-a= 4, 。7 0<k≤1， 1 .k2 当1<k<2,则当x=-2时，函数y=a(x+2-k)2-a有最大值 5 4a, 5 :ak2-a= 40, 3 解得k=±2！ 1<k<2, 3 k=2 ②若a<0, 则平移后的抛物线在-2≤x≤0的范围内最大值始终为-a, 不合题意舍去， 数 综上，的直为了或号 学 加练4三角形（含尺规作图） 1.C【解析】.·AC⊥DE,∴.∠ABD=90°，在Rt△ABD中，AD= m,∠DAB=&,.AB=AD·cosa=mcos,AD=DC,AC⊥DE, .AC=2AB=2 mncosa,.AC的长度为2mcos. 2.√29【解析】…水平距离为5m,坡比为i=1:2.5,.铅直高 度为5：2.5=2(m).根据勾股定理可得相邻两棵树间的坡面 距离为√52+2=√29(m). 3.(63-6)【解析】如解图，过点C作CE⊥PB,垂足为E,过 点D作DF⊥PB,垂足为F,由题意得CE=DF=3m,△ACP 和△BDP都是等腰三角形，BPMN,∴.∠APC=∠PCM=45°， ∠BPD=∠PDM=30°，在Rt△PCE中，PE=CE=3(m),.AP =2PE=6(m,在△P0F中，PF=D=2=35(m, tan30°3 3 .BP=2PF=6√3(m),.AB=BP-AP=(63-6)m,光斑移 动的距离AB为(63-6)m 天花板 E FA B a△B↓ C 地板 第3题解图 及解析·广西 15 4.解：(1)如解图，线段AD即为所求： (2),·BE是AC边上的高，AD⊥BC .∠ADC=∠AEB=∠ADB=90°， .∠AFE=∠BFD ∴.∠CAD=∠DBF, 又AC=BF, ∴.△ADC≌△BDF(AAS), 第4题解图 ∴.DF=CD=3,AD=BD, .AF=5. .AD=BD=8 .BC=11, .1 Sac=2BC·AD=2XI1×8=4. 5.解：(1)如解图，C0即为∠ACB的平分线： (2).∠A=30°，∠B=90°，AC=6, 六BC=2AC=3,∠ACB=60, 又.·C0平分∠ACB 1 :.LBCO=2 /0 ACB=30°， 第5题解图 在Rt△BOC中， 0B=BC·tam30=3x =√3 3 6.(1)解：在Rt△DEF中 数 EF=√DF2-DE=√152-122=9. 学 由垂线段最短，得当EP⊥DF时，EP有最小值， ∴此时EP为△DEF斜边上的高， EP-DE·EF12x936 DF 155 :印的最小直为兰： (2)证明：·AB=20,BC=15,DE=12,EF=9 贸名号始 EF DE ·BCAB 又：∠DEF=∠B=90°， △DEF∽△ABC, ·∠EDF=∠BAC, 又.∠EPD=∠DPA, △PDE∽△PAD, DP DE AD DE 六APAD'AP DP DP=12,DE=12, .DP=DE. AD DE ·APDP =1 .AP=AD: (3)解：点A与点F的最大距离为10+5√13 16 乾卷加练答案及 【解法提示】如解图，作△ADE的外接圆，记圆心为O,作OM ⊥DE交DE于点M,连接OA,OE、OD,:⊙0是△ADE的外 接园01=0D=0E,∠DAE=号∠D0E,OM1DE,DW F2∠D0E= =EM=DE=6,0M平分∠D0E,∠B0M= OM ∠DAE,又∠0ME=∠ABC=90°，△OME△ABC,. AB E即-。，解得0M=8,在kt△OME中，由勾股定理 BC 得0E=√0M+ME=√82+6=10，即⊙0的半径为10，作 FH⊥0M交0M的延长线于点H,连接OF,则∠H=90°，又 ·,∠DEF=90°，∠EMH=90°，∴.四边形EFHM是矩形，.FH =EM=6,MH=EF=9,∴.OH=OM+MH=8+9=17,在Rt△OFH 中，由勾股定理得0F=√F+0=√6+17产=5√3，由两 点之间线段最短性质得，AF≤0A+OF,AF≤10+5√13， 点A与点F的最大距离为10+5√13. 第6题解图 7.解：(1)4B=3 4D,证明如下： :△CEF为等边三角形， ∴.∠ECF=60 .∠DCE=30°， 设DE=x, 在Rt△DEC中，EC=2DE=2x,CD=√3x: ·矩形ABCD沿EF折叠！ .AE=EC=2x, .AD=AE+DE=2x+x=3x. ,四边形ABCD是矩形， AB=CD=√3x, AB 3x3 AD3x3 (2)①△CEF为等腰直角三角形，理由如下： :△AEF沿EF折叠，点A与点C重合， .EF是线段AC的垂直平分线，∠ECF=∠A=45°， ·∠EFC=90°， ∴.∠FEC=45°， .∠FEC=∠ECF ,△CEF为等腰直角三角形： ②根据图形折叠的性质可知CF=EF=AF= 2AC=1, 解析·广西 点D是EF的中点， .DF= 2 Er=1 2 .CD=VDF+CF2 (3)过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DM⊥AG于点M,作 DN⊥BC于点N,连接AD,如解图， A,C两点关于折痕对称，∠ACD =45°， .DA=DC,∠ACD=∠DAC=45°， .∠ADC=90° E -1M ,AB=AC,AG⊥BC 点G为BC的中点， B 六BG=6G=2c=1. 第7题解图 .AG=√AB2-BG=√(5)2-12=2， .AG⊥BC,DM⊥AG,DN⊥BC, .四边形DWGM为矩形 .∠WDM=90°=∠ADC .∠ADM=∠CDW 在△ADM和△CDN中， I∠AMD=∠CWD, ∠ADM=∠CDN, AD=CD, .△ADM≌△CDW(AAS), ∴.DM=DW,AM=NC. .四边形DNGM为正方形， .DM=DN=NG=MG. 设DM=DN=NG=MG=x,则AM=WC=WG+GC=x+1, .AG=AM+MG=x+1+x=2x+1=2, 解得x=立 1 11 ∴.BW=BG-NG=1 2-2 √2 加练5特殊四边形（含尺规作图）》 1.6【解析】设重叠部分面积为c,a-b=(a+c)-(b+c)=18-12 =6. 2.60【解析】如解图，四边形ABCD是矩形，.∠C=∠D= 90°，∴.∠1+∠MJG=90°，∠2+∠MGJ=90°，.：∠1=∠2= 30°，∴.∠MJG=∠MGJ=60°，.∠GMW=180°-∠MJG-∠MGJ =60°，.∠5=60°，：J∥KL,EF∥GH,.四边形NPM0是平 行四边形.∠4=∠5=60°，∠3=∠4=60° G 34 2 H 第2题解图 乾卷加练答多 3.D【解析】：四边形ABCD是正方形，且边长为18，BD是对 角线，AB=BC=CD=AD=18,∠A=∠ADC=90°，∠ABD= ∠CBD=∠ADB=∠CDB=45°，.·四边形PQMN是正方形， .PQ=QM=MW=PN,∠PQM=∠PWM=90°，PW∥BD,. ∠PWC=∠CBD=45°，.△CPW是等腰直角三角形，.设CP =CN=a,.PW=√2a,BW=18-a,.PQ=QM=MW=PW=√2a, ∠NMB=90°，∠CBD=45°，.△MWB是等腰直角三角形， ∴.BM=MN=2a,∴.BN=2a,∴.18-a=2a,∴.a=6,∴.S1= 2cpcN=7=×6=18=pN=(a)-2x6= 72,故选项A,B均正确，不符合题意.四边形AEFG是正方 形，∴.设AE=EF=FG=AG=b,.·∠AEF=∠AGF=∠A=90°， .∠FEB=90°，∠ABD=45°，△EBF是等腰直角三角形， ..EB=EF=b,..AE+BE=2b=18,..b=9,..S3=AE2=b2=81, S宁B,原-了×9x9=405敬选项C正砖，不符合题 2 意：选项D不正确，符合题意 4.B【解析】小：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,.∠E =∠DAE,又：AE平分∠BAD,∠BAE=∠DAE,∠E= ∠BAE,.AB=BE=6,又BC=4,.CE=6-4=2,同理可得， BF=2,.EF=2+4+2=8,AB∥CD,.∠BAD+∠ADC= 180°，又.∠BAD和∠ADC的平分线交于点0，.∠OAD+ ∠0DA=90°，.∠A0D=90°=∠E0F,.在Rt△E0F中，0E2 +0F2=EF2=82=64. 数 5.C【解析】如解图，连接EF交AC于点O,.·四边形EGFH 是菱形，EF⊥AC,OE=OF,四边形ABCD是矩形，LB 学 =∠D=90°，AB∥CD,∴.∠ACD=∠CAB,在△CFO与△AEO 1∠FCO=∠OAE, 中，∠F0C=∠A0E,△CF0≌△AE0(AAS),.A0=C0, OF=0E. AC=AR+BC=6+3=3/5.A0=1AC=1x35= 21 2 2,∠CMB=∠0AE,∠A0E=∠B=90,△A0E∽ 3√ 3w5 △ABC,:A0-4E2AB 15 AB AC 6=35AE-,即AE的长为 D E B 第5题解图 6.D【解析】四边形ABCD是矩形，.∠BCD=∠D=90°，AD =BC=3,CD=AB=4,AC=√AD+CD=√32+4=5，设DW =x,则CN=DC-DN=4-x,由折叠可得∠NC'B'=∠BCD= 90°，C'W=CN=4-x,C'N⊥B'C',B'C'⊥AC,C'N∥AC, △CAD1C0-C营-号解得= ,CN=4-16=20 ·DWs16 99CD=CN-DN= 及解析·广西 17