2026年辽宁省铁岭中学生能力训练数学模拟练习（四）

2026年中学生能力训练 数学模拟练习（四) (本试卷共23道题 满分120分考试时间120分钟) ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效。 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵 式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数.如“T=州”表 示-723，则“T三卡”所表示的数是 A.-625 B.652 C.625 D.-652 纵式WT 横式一 = 123456789 第1题图 第2题图 从正面看 2.如图所示是一个收藏于深圳市博物馆的钧瓷月白釉碗，它具有很高的历史价值和艺 术价值.关于它的三视图，下列说法正确的是 A.主视图与俯视图相同 B.主视图与左视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同 3、如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA,PB经反射以后分别沿着与EF所在直 线平行的方向射出，若∠CAP=55°，∠APB=100°，则∠DBP的度数为 A.45° B.50 C.55° D.无法确定 888 ②③ ④ 第3题图 第4题图 4.如图，小明设计一组测量实验.①将200mL的水倒入一个容积为600mL的杯子中： ②若将5颗完全相同的大铁球放入水中，水刚好到杯口，没有溢出；③若将8颗完 全相同的小铁球放入水中，水没有满：④再加入1颗大铁球，水满且溢出来.根据 以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是 A.35cm3 B.45cm3 C.55cm3 D.60cm3 5.某校九年级开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有30名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 100 99 98 97 人数 6 9 12 3 数学模拟练习（四）第1页（共8页） 则这30名学生决赛成绩的中位数和众数分别是 A.98.5,99 B.99,99 C.97.5,98 D.98.5,98 6,下列计算正确的是 A.2a-a=2 B.a3·a2=a6 C.a5÷a2=a4 D.（a3)2=a3 7.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,1)，点B的坐标为(2,0)，点 D与点C关于x轴对称.则点D的坐标是 A.（3,2) B B.（-3,-2) C.（-1,2) ◆ D.（1,-2) 8,如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的 A B B2---.. D >C B D B C B(C 图1 图2 图3 A.中线、角平分线、高线 B.高线、中线、角平分线 C.角平分线、高线、中线 D.角平分线、中线、.高线 9.已知直线1：y=x+b与直线2：y=-3x+5交于点A(a,-1),那么关于x,y的二 {3x+y-5=0的解是 元一次方程组x一y+6=0 B.{=9 - c. 1O.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F,连接DE并延长，交 边BC于点M,交边AB的延长线于点G,若AF=4,FB=2,则MG的值为 A.4V3 B.35 C.2V5+2 D.210 F B 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 2x-6,x-3 1.计算2-9+的结果是 数学模拟练习（四）第2页（共8页) 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为0(0,0)，A(4,-3),B(3, 0)，以点O为位似中心，在第二象限内作与△OAB的相似比为2的放大的位似图 形△OCD,则点C的坐标为 A 图1 图2 第12题图 第13题图 13.如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示 意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度h.(m)与足球被 踢出后经过的时间t(s)之间的关系的部分数据如下表： 的 0 2 6 3 15 3 h/m 0 ⊙ 则该运动员踢出的足球在第 s落地， 14.如图，点A,B是反比例函数y=二(x>0)图象上的两点，AC⊥x轴于点C,BD⊥x 轴于点D,连结OA,BC,若点C(2,0),BD=4,SABCD=5,则S△4OC= B 第14题图 第15题图 15.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB中点，以D为圆心，任意长为半径画 弧分别交AD,DF于点G和H,再以A为圆心，DG长为半径作弧交AB于点M, 以M为圆心，GH长为半径作弧交前弧于点N,作射线AN交CB延长线于点P,连 接DE并延长交AP于点F,则AF的长为 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.解方程：（每题5分，共10分） (1)-71+(-+(元-3.14)°-（分） (2)(8 x3-9x （x1-x-1)+2-2x+ 一+1 数学模拟练习（四）第3页（共8页） 17.(本小题8分) 项目名称：红色文创·匠心算理一辽宁非遗面人采购探究 一、项目情境 “如果你有时间，一定要来一趟辽宁：在抗美援朝烈士陵园致敬英烈，走进中 国工业博物馆触摸钢铁脊梁，感受‘共和国长子’的时代担当.” 国庆黄金周，辽宁红色旅游线路备受青睐.沈阳中街某非遗面人工作室里，承 载着雷锋精神、辽宁舰记忆的文创面人供不应求.为满足市场需求，工作室的王师 傅计划采购两款粘土制作精品面人： 他用500元购进的A款普通粘土，和用750元购进的B款改良粘土.已知 两种粘土购进的数量相同，且每份B款改良粘土的进价比A款粘土的进价多5元· 二、项目任务 任务1：核算原料成本 (1)请根据情境，求A、B两款粘土每份的进价分别是多少元？ 任务2：制定采购计划 (2)王师傅决定追加投入，计划用不超过1320元的总费用，购进这两款粘土共100 份用于赶工.请问B款改良粘土最多能购进多少件？ 18.（本小题8分) 乡村振兴战略推进中，某地依托北斗导航技术优化农田规划，技术员用边长为1 的正方形定位模块拼出五连格L形测量组件，用于直角三角形高标准农田片区ABC 的边界校准，其中∠C90°，∠B=30°，测量组件的顶点D、E、F、G恰好贴合农 田三边（如图1)，为精准测算种植面积提供数据支持】 (一)基础问题：ˉ请求出这块直角三角形高标准农田的面积， (二)问题提出与解决： 技术员将L形测量组件接入北斗定位坐标系，让农田顶点A、B、C分别落在坐 标轴上（如图2），北斗系统反馈反比例函数y=上(x<0)的图象经过测量组件顶点 D,试求该反比例函数的解析式，为定位数据传输提供基础模型， B 图1 图2 数学模拟练习（四）第4页（共8页） 19.（本小题8分) 某校志愿者社团为了解全校2800名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学 生进行以下问卷调查： 1,本学期您参加志愿服务的时长（每项含最大值，不含最小值）大约是 A.0-3h B.3-6h C.6-9h D.9h以上 2.学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的 一座博物馆是 E.烟台市博物馆 F.北极星钟表文化博物馆 G.磁山地质博物馆 H.张裕酒文化博物馆 形成了如下不完整的调查报告： 本学期参加志愿服务本学期参加志愿服务 最想去的博物馆条形统计图 时长条形统计图 时长扇形统计图 180 人数 160 156 口男生 136 80 140 68 口女生 60 120 52 100 9% 8 80 B 6 18% 40 36 2 20 0 39% 0 A B CD选项 H选项 请根据以上信息解答下列问题： (1)求出参与本次抽样调查的学生人数，并将条形统计图和扇形统计图补充完整： (2)说明在抽取的学生中，本学期参加志愿服务时长的中位数在哪个时段； (3)请估计在本校2800名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约“6-9h”的学 生人数； (4)若有一男生一女生想采用抽签的方式（第一人抽签后又放回，第二人再抽取） 决定去哪座博物馆解说，请用树状图或者列表格求出两人正好抽到各自性别中 最想去的博物馆的概率。 数学模拟练习（四）第5页（共8页） 20.(本小题8分) 综合实践：智慧城市交通规划中的几何建模 为推进国家智慧城市交通网建设与城市立体交通规划的实施，某城市规划院设 计了圆形交通枢纽模型：⊙O为城市核心交通圈（圆心为O),AC是⊙O的直径（代 表枢纽主交通干线)，规划的快速联络道PA是⊙O的切线（快速道沿切线方向接入 交通圈)，交通圈上的换乘节点B在⊙O上，且快速道PA与联络道PB的规划长度 相等(PA=PB)·规划的综合廊道PC与交通圈的核心联络弦AB交于换乘分流点E. (1)规划师需验证：联络道PB是否也为⊙O的切线（即PB是⊙O的切线），请完 成证明； (2)若规划中测得∠APC=∠BPC(廊道规划的角度设计关系)，求PE:CE的比值. 3 0 21.(本小题8分) 综合与实践 辽宁某化工厂附近的空气质量监测站，建有一座垂直于地面的采样监测塔AB, 塔底B位于水平地面EF上.为监测不同高度处的废气排放浓度，科研人员利用地面 固定气象站获取的气流数据，分析监测塔上方C区域的气团运动情况. 如图所示，在气流稳定区C处进行原位采样分析时，测得采样口A处的俯角 ∠DCA=22°，测得塔底B处（地面空气基准点)的俯角∠DCB=71°.根据现场风 廓线仪监测，空气沿水平方向由C点顺风移动84米后到达D点，此时在D处测得 采样口A处的.俯角∠D=45°（气团运动至D处时与A处样本浓度趋于一致).已知 图中各点共面.（结果精确到1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90） (1)计算监测塔高度：为确保废气处理设备的有效运行，需计算该监测塔相对于地 面的垂直高度AB,请完成计算（结果精确到1米）； (2)实验方案优化：在后续监测方案优化中，若引入高精度激光测高仪，可直接获 取C点到地面EF的垂直距离，请分析原数据采集方案中，至多可以删减的数据 为 B 数学模拟练习（四）第6页（共8页） 22.(本小题12分) 某同学制作一架小型航模，其主体骨架由若干根轻质杆组成。在骨架的一部分 结构中，有三根长度相同的杆，分别记作AB、AC、AD,其中A是骨架上的一个节 点，B、C是位于同一直线上的两个连接点，且杆AB与AC之间的夹角为120°，在 组装过程中，他将杆AC绕节点A沿逆时针方向旋转一个角度a(0<a<180)，使 其到达新的位置AD,然后用两根短杆分别连接B与D、D与C,构成一个四边形骨 架ABCD （1)如图1，当a=30时，∠8DC=9,S AB (2)在上述结构中，过节点A作一条与BD垂直的直线，该直线与BD相交于点E, 并与直线DC相交于点F,再用一根杆连接B与F.设当0°<a<120°时，试探究 线段AF、CF、BF之间的数量关系并证明你的结论； (3)在第(2)问的条件下，若BC=3V2,在杆AC绕A旋转的整个过程中(0°<a<180°)， 当BF=3时，求AF的长.（直接写出结果) 图1 图2 备用图 数学模拟练习（四）第7页（共8页） 23.（本小题13分) 在平面直角坐标系中，y是关于自变量x的函数，给定一个实数k,构造一个新 (y(x≥k) 函数y,当x≥k,y=y,当x<k,y=y,即y= yx<,叫“k界变化函数” 例当k=2时，一次函数y=x-1的“2界变化函数”为y--1(x之2) 1-x+1(x<2) (1)求一次函数y=-2x+4的“3界变化函数”； (2)点A(,2)在反比例函数y=的“0界变化函数”上，求1的值： (3)已知关于x的二次函数y=-(a-1)x+a-2(a<5).点(6，在该二次 函数的“a界变化函数”上， ①求a的值； 3 ②当1≤≤m时，该二次函数的“a界变化函数”y的取值范围是-2≤y≤2， 求m的取值范围. 数学模拟练习（四）第8页（共8页） 数学模拟练习（四）参考答案 (必若有其他正确解法或证法请参照此标准赋分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 6 9 10 答案 D B B D C A C A B 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.2 12.(-8,6) 13.8 14.9 15.4V5 -3 三、解答题：（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.计算（每题5分，共10分） (1)解：原式=7-4+1-9 =-5.--- -5分 (2)解：原式=8-(x+1(x-卫÷3-9x+1 x-1 x2-2x+1 -9-x22-2x1+1 x-1x3-9x =(3+x)(3-x2, (x-1)2 x-1 x(x+3)(g-3)+1 =x-1+1 =1. ,10分 17.(本小题8分) 解：(1)设A款粘土每份的进价是x元，则B款改良粘土每份的进价是(x+5)元， 由题意得： 500_750 xx+5 解得：x=10, 经检验，x=10是原方程的解，且符合题意. ∴.x+5=10叶5=15元， 答：A款粘土每份的进价是10元，则B款改良粘土每份的进价是15元： ---4分 数学试题参考答案及评分标准第1页（共7页） (2)设购进m份B款改良粘土，根据题意可得： 15+10(100-m)≤1320， 解得：≤64， 答：最多可以购进64份B款改良粘土.- --8分 18.(本小题8分) 解：（一）问题背景： 如图所示： 由题意知GD=2,GF=4,GF∥AB,∠B=30°， ∴.∠CFG=∠B=30°，∠A=60°， A DE B .CG=1GR=2,AG= GD =4V3 图1 2 sin60° 4C=43+2,BC=ACan60=4+2W3, 3 SBc=14CBC=1×(3+2)×(42W3)=14y3+8. 2 3 3 ∴.此直角三角形的面积 14W3+8: -4分 3 y (二)问题提出与解决： D 如图所示：过D作DE⊥x轴于E, 由题意知，AB=1.AD=4,CF=1,BF=3, ∠DAB=∠ABF=∠CFB=∠AOB=∠DEA=90°， 图2 在Rt△BCF中，由勾股定理得BC=√CF2+BF2=√10， ,∠ABOH∠BAO=∠ABOH∠CBF, ∴.∠BAO=∠CBF, ∴.△BAO∽△CBF, :.A009,即0-B0 BF CF BC 31W10 解得A0=3V10 10 BO=V10 10 同理△ADE∽△BAO, :想=DE-AD BO AO AB 数学试题参考答案及评分标准第2页（共7页) 即AE DE =4 V103W10 1 10 10 解得AB=2V10 6W10 6 DE= 0B=A0+AB=7N10 10 D(- 6W107W10 10 ∴.k=xy=- 610×7W10=.42 10 ∴反比例函数解析式为y=- 42 ,8分 5x 19.(本小题8分) 解：(1)，选择A的36人，占被调查人数的9%， ∴.参与本次抽样调查的学生人数为36÷9%=400（人）， .400-36-156-136=72(人)， .选择A的有72人： .136÷400×100%=34%, .选择D的占抽样调查的学生人数的34%， 补充条形统计图和扇形统计图如下： 本学期参加志愿服务本学期参加志愿服务 时长条形统计图 时长扇形统计图 180 160 156 140 136 120 100 9% 80 72 6 4% 18% 28 36 C 39% B D选项 --2分 (2)由条形统计图可知，本学期参加志愿服务时长的中位数在6-9h时段：--4分 (3).2800×39%=1092(人)， ∴.在本校2800名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约“6-9h”的学生约为1092 人： ---8分 数学试题参考答案及评分标准第3页（共7页） (4)用列表法表示所有可能出现的结果如下： E F G H E EE EF EG EH F FE FF FG FH G GE GF GG GH H HE HF HG HH 一共有16种可能出现的结果，其中两人正好抽到E博物馆的有1种， ·两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的概率为1 6 20.(本小题8分) (1)证明：连接OB、OP, ,A与⊙O相切于点A, ∴.PA⊥OA, .PA=PB,OA=OB,OP=OP, .△AOP≌△BOP(SSS), .∠OAP=∠OBP=90°， ,OB是⊙O的半径，且PB⊥OB, .PB是⊙O的切线. …4分 (2)解：连接CB,设OP交AB于点F, ,PA=PB,∠OPA=∠OPB, .PO垂直平分AB,∠APB=2∠OPB, ∴∠BFP=∠OBP=90°，AF=BF, .AO=BO, .OF∥CB,OF=1CB, 2 ,∠APC=3∠BPC, .∠APB=3∠BPC+∠BPC=4∠BPC, .2∠OPB=4∠BPC, ∴.∠OPB=∠OPC+∠BPC=2∠BPC ∴.∠OPC=∠BPC, ,∠OPC=∠BCP, ∴∠BPC=∠BCP, ∴.PB=CB=2OF, 设PF=x,OF=m,则PB=CB=2L, :cos∠0PB=P里=B,且P0=+,PB2=(2)2=42, PB PO 数学试题参考答案及评分标准第4页（共7页） ∴.PFPO=PB2, .x（x+)=42, 解关于x的方程得1=Y7- Lm,=7-土1m(不符合腿意，舍去)， 2 2 ∴Pn=17-1 3 .PF∥CB, .△PEF△CEB, 0 V17-1 ..PE_PF m 2 17-1 ⊙ CE CB 2m 的值为17-1 --8分 CE 4 21.(本小题8分) 解：(1)如图，在D处测得A处的俯角∠D=45°， 延长BA交CD于点G,则AG⊥CD. 在Rt△AGD中，∠D=45°， G C::----4D ∴tanD=tan45°=As-1. A DG 设AG=DG=x米，则CG=CD-DG=(84-x)米 在Rt△AGC中，∠ACG=∠DCA=22°， B E -F ∴tan∠ACG=tan22°=A9≈0.40，即x≈0.40 CG 84-x 解得：x≈24（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， .AG=DG=24米，CG=60米. 在Rt△GBC中，∠BCG=71°， tan∠BCG=tan71°B CG ∴.BG=CGtan71°≈60X2.90=174(米)， ∴.AB=BG-AG=174-24=150(米)， 答：该监测塔相对于地面的垂直高度AB约为150米；…4分 数学试题参考答案及评分标准第5页（共7页) (2)点C到EF的距离，结合(1)可知，利用数据22°，71°，求得AG的长度即 可，所以原数据采集方案中至多可以删减的数据为84米和45°， 故答案为：84米和45°. ……8分 22.(本小题12分) (1)解：，将线段AC绕点A逆时针旋转(0°<a<180°)，得到线段AD, ∴.∠CAD==30°，AC=AD, ∠ADC=(180°-∠CAD)=75°， ,∠BAC=120°， .∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD=120°+30°=150°， .AB=AC,AC=AD, ∴.AB=AD, ÷2ADB=2080-∠BAD)-=15, .∠BDC=∠ADC-∠ADB=75°-15°=60°： 如图，过点A作AG⊥BC于点G, .AB=AC, 8G=6c-8c 图1 在Rt△ABG中，AG=AB, 2 ∴.BG=VAB2-AG2=V5AG, :.BG=- AB 2 ∴.BC=√3AB, BC=5, A 故答案为：60：5 .4分 (2)CF+BF=√5AF,证明如下： ,将线段AC绕点A逆时针旋转a(0°<<180°)，得到线段AD, ∴.∠CAD=a,AC=AD, 2ADc=∠4cD-us0P-∠C1D)=o0P- ， ,·∠BAC=120°， .∠BAD=∠BAC+∠CAD=120°+a, AB=AC,AC=AD, 数学试题参考答案及评分标准第6页（共7页) .'AB=AD, ∠ADB=2Q80-∠BADy30-7& , 2 /3c ∠BDC=∠ADC-∠ADB=90-& 60 :AE⊥BD,AB=AD, ∴AE垂直平分BD, ∴FB=FD, ∴△BFD是等边三角形， G ∴.∠AFB=∠AFC=30°，∠DBF=60°， 如图，延长FB至G,使得BG=CF,连接AG, 3. :∠ADB=30- :∠ABR=∠ABD+∠DBF=90°-1a, 图2 2 :∠4cD=90°-1a, 2 ∴.∠ACD=∠ABF, ∴.180°-∠ACD=180°-∠ABF,即∠ABG=∠ACF, 在△ABG和△ACF中， AB=AC ∠ABG=∠ACF, BG=CF ∴.△ABG≌△ACF(SAS), ∴.AG=AF,∠G=∠AFC=30°， ∴.∠FAG=120°， 由(1)可得GF=√3AF, .GB+BF=√3AF,即CF+BF=V3AF; …8分 (3)3V5-压或3+V压 …12分 2 2 23.(本小题13分) (1)y= [-2x+4(x≥3) …4分 2x-4(x<3) (2)t=4或t=-4 …8分 (3)①a=4 ②4≤m≤3+2W2 …13分 数学试题参考答案及评分标准第7页（共7页)