2026年广东深圳考前冲刺压轴题练习

**基本信息** 聚焦深圳中考压轴题，以几何综合、函数应用及新定义问题为核心，通过典例训练数学思维与知识迁移能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|约12题|圆与三角形、四边形综合证明与计算|以圆的切线、相似三角形为基础，构建“性质应用-辅助线添加-等量转化”逻辑链| |函数综合|约8题|反比例、二次函数与几何图形结合|通过坐标法实现数形转化，强化函数性质与几何特征的关联应用| |新定义与实践|约9题|“对直四边形”“对等补四边形”等创新题型及实际应用题|以新定义为载体，融合几何判定与代数计算，培养数学抽象与模型意识|

2026深圳考前冲刺压轴题 1 1.如图，四边形ABCD为正方形，点E在DC上，以AE为直径的⊙O与BC相切，若 ，则正方形的边长为( ____ ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】解：如图，设BC与⊙O相切于点F，连接OF， B 2 ___ ∴OF⊥BC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD， ∴OF∥AB∥CD， ∵O是AE的中点， ∴点F是BC的中点， ∴OF是梯形ABCE的中位线， 3 ∴OF= ， 设正方形的边长为x, ∴OF= ， ∴AE=2OF=x+ ， ∵∠D=90°， ∴点D在⊙O上， 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2， 4 ∴ ， 解得x1=0(舍去)，x2=5， 即正方形的边长为5， 故选：B． 5 2.在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i=3：4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)则大楼MN的高度是(　　)米．(图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6，精确到整数) A.88 B.90 C.92 6 D.94 【解析】解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D， ___ 则BE=DN，DB=NE， ∵斜坡AB的坡度i=3：4， 7 ∴ ， ∴设BE=3a米，则AE=4a米， 在Rt△ABE中， (米)， ∵AB=75米， ∴5a=75， ∴a=15， ∴AE=60米，DN=BE=45米， 设NA=x米， ∴BD=NE=AN+AE=(x+60)米， 8 在Rt△ANM中，∠NAM=58°， ∴MN=AN•tan58°≈1.6x(米)， ∴DM=MN-DN=(1.6x-45)米， 在Rt△MDB中，∠MBD=22°， ∴ ， 解得：x=57.5， 经检验：x=57.5是原方程的根， ∴MN=1.6x=92(米)， ∴大楼MN的高度约为92米． 故选：C． 9 3.华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的数学思想并结合已画的部分图象判断方程 根的情况是( ____ ) A.有三个实数根，两个正根一个负根 B.有两个实数根，一个正根一个负根 C.有三个实数根，一个正根两个负根 D.有两个实数根，并且两个都是负根 【解析】解：在同一平面直角坐标系中，作出y=x2+2x-3和y= C 10 的大致图象： __ 由图可知，方程x2+2x-3= 根的情况是：有三个实数根， 11 一个正根两个负根． 故选：C． 12 二．填空题 13 4.如图，点A在双曲线 上，连接OA，交双曲线 于点B，点C为x轴上一点，四边形OACD为菱形，若四边形ACDB的面积是6，则k= ____ ． 【解析】解：连接AD交x轴于点H，过B作BG⊥x轴于G， 4 14 __ ∵四边形AODC是菱形， ∴AH⊥OC，S△AOD=S△ACD=2S△AOH=k, ∴AH∥BG，S△AOH= k, ∴△OBG∽△OAH． 15 ∴ =( )2． 又∵S△OBG= = k,S△OAH= ， ∴( )2= ． ∴ = ． 16 ∴B是OA的中点， ∴S△BOD=S△BAD= S△AOD= k. ∴S四边形ACDB=S△ACD+S△BAD= k=6． ∴k=4． 故答案为：4． 17 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点D在边CB上，DB=2CD，连接AD，过点C作CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，连接DF，则DF=　　． 【解析】解：过点F作FG⊥BC于点G， ___ ∵∠ACB=90°，AC= BC=6， 18 ∴∠B=45°， ∴△FGB为等腰直角三角形，FG=GB，设FG=GB=x, ∵DB=2CD，BC=6， ∴CD=2，DB=4， ∴DG=DB-GB=4-x, ∵CF⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠DCE+∠CDE=90°， 又∵∠CAD+∠CDE= 90°， ∴∠DCE=∠CAD，在 Rt△ACD 中，tan∠CAD= = = ， 19 ∴tan∠DCE= ，在Rt△CGF中，tan∠DCE= = = ， ∴ = ， 解得x=1.5， ∴FG= 1.5，DG=4-1.5=2.5， 在RtADGF中，由勾股定理得： DF= = = = = 20 ， 故答案为： ． 21 6.如图，点A是反比例函数 的图象上一点，延长AO交图象另一支曲线于点B，BC∥y轴且满足AC=BC，∠C=120°．若△ABC的面积为8，则k= ____ ． 【解析】解：如图，连接OC， 由对称性可知，OA=OB， ∵BC=AC，OA=OB， ∴OC⊥AB，∠ACO=∠BCO= ∠ACB=60°， 在Rt△BOC中， 6 22 ∵∠BCO=60°， ∴OC= OB， ∵S△ABC=8，即 AB•OC=8，而AB=2OB， ∴OB•OC=8， ∴ OB2=8， 解得OB2=8 ， 23 在Rt△BOD中，∠B=90°-60°=30°， ∴OD= OB，BD= OB， ∴S△BOD= OD•BD= × OB× OB= OB2= ×8 =3= |k|， ∴k=6． 故答案为：6． 24 7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF，DE与AB交于点G．若G是DE的中点，正方形ADEF的面积为7，则AC•AG的值为 ____ ． 【解析】解：设AD=a, 在△ABC中，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点， ∵BD=CD=AD=a, ∴∠C=∠DAC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴EF=AD=AF=DE=a,∠E=∠ADG=∠DAF=90°， 7 25 ∵正方形ADEF的面积为7， ∴AD2=a2=7， ∵点G是DE的中点， ∴EG=DE， 在△FEG和△ADG中， ， ∴△FEG≌△ADG(SAS)， ∴FG=AG， 26 ∴∠GAF=∠GFA， ∵∠DAF=∠BAC=90°， ∴∠DAF-∠DAB=∠BAC-∠DAB， ∴∠GAF=∠DAC， ∴∠GAF=∠DAC=∠GFA=∠C， ∴△GAF∽△DAC中， ∴ = ， ∴ = ， 27 ∴AC•AG=a2=7， ∴AC•AG的值为7． 故答案为：7． 28 8.如图，四边形OABC是平行四边形，OA边在x轴上，点B在反比例函数 上，点C在反比例函数 (k为常数，且k≠0)上．若AC⊥x轴，则k的值是 ____ ． 【解析】解：∵点B在反比例函数 上， ∴设B(2a, )， ∵四边形OABC是平行四边形得出BC∥OA，BC=OA，AC⊥x轴， 5 29 ∴OA=BC=a, ∵点C在反比例函数 (k为常数，且k≠0)上， ∴C(a, )， ∵BC∥OA， ∴ = ， 解得k=5． 故答案为：5． 30 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E．点G与点E关于直线BD对称，连接BG、CG．若CG=2，则线段AD的长为　　． 【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB= BC，∠ABD=45°， ∵DE⊥AB于点E， ∴∠BED=90°， ∴△BED是等腰直角三角形， 31 ∴BD= BE， ∵点G与点E关于直线BD对称， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABD， ∴BD= BG， ∵AB：BC=BD：BG= ， ∵∠ABD=∠CBG， ∴△BAD∽△BCG， ∴AD：CG=AB：BC= ， ∵CG=2， 32 ∴AD=2 ． 故答案为：2 ． 33 10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上、顶点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若y= (k≠0)图象经过点C，且S△BEF= ，则k的值为 _____ ． 【解析】解：∵B为OE的中点， -12 34 ∴EB=OB= EO= AO， ∴EB= AB， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD=BA，CD∥EA， ∴设点A坐标为(2a,0)，点D坐标为(0，4d)， ∴点C坐标为(-3a,4d)，点E坐标为(-2a,0)，点B坐标为(-a,0)， ∵△BEF∽△DFC，且 = ， 35 ∴ = ， ∴点F纵坐标为 yD=d, ∴ BE•yF= [-a-(-2a)]d= ad= ， ∴ad=1， ∴k=-3a•4d=-12ad=-12， 故答案为：-12． 36 11.如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上，BE=DF，M为EF的中点，点N在边AB上，∠AMN=45°．若AB=7，AM=5，则MN的长为　　． 【解析】解：作NQ⊥AM于点Q，则∠AQN=∠MQN=90°， ∵四边形ABCD是正方形，E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上， ∴AD=AB=7，∠EAF=90°， ∵BE=DF， ∴AF+AE=AD+DF+AB-BE=AD+DF+AB-DF=14， 37 ∵M为EF的中点，AM=5， ∴AM=EM=FM= EF， ∴∠QAN=∠AEF，EF=2AM=10， ∵AE2+AF2=EF2=102=100，且AF=14-AE， ∴AE2+(14-AE)2=100， 解得AE=6或AE=8(不符合题意，舍去)， ∴AF=14-6=8， ∵点N在边AB上，∠AMN=45°， ∴∠QNM=∠AMN=45°， 38 ∴QN=QM， ∵∠AQN=∠EAF，∠QAN=∠AEF， ∴△AQN∽△EAF， ∴ = ， ∴QA= = = QN= QM， ∵AM=QA+QM= QM+QM=5， 39 ∴QM= ， ∴MN= = QM= ， 故答案为： ． 40 12.2025年在澳大利亚举行的第66届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)中，中国代表队发挥出色，获得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式 来计算，由该公式可知中国队团体总分为 _____ ． 【解析】解：∵中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式 来计算， 231 41 ∴中国队团体总分为：2×42+40+2×36+35=231． 故答案为：231． 42 13.某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度AB=2m,遮阳棚固定点A距离地面高度AC=3m,遮阳棚与墙面AC的夹角为60°．在某一时刻，一位身高160cm的顾客EF在太阳光下的影长FG=80cm,则此时遮阳棚在地面上的影长CD为　　m. 【解析】解：过点B作BN⊥CF 于点N，作BM⊥AC 于点M， 则四边形BMCN为矩形， ∴CM=BN，BM=CN， 在 Rt△ABM 中，∠BAM=60°， 43 ∴∠ABM=30°， ∴AM= AB=1m, ∴BM= = m, ∴CN=BM= m,BN=CM=AC-AM=2(m)， ∵同一时刻太阳光线是平行的， ∴∠1=∠2， 又∵BN⊥DN，EF⊥GF， ∴∠EFG=∠BND=90°， ∴△BND∽△EFG， 44 ∴ ， 即 = 解得DN=1， ∴CD=CN-DN=( -1)m, 答：此时遮阳棚在地面上的影长CD等于( -1)m. 故答案为：( -1)． 45 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ．CD平分∠ACB，E为DC延长线上一点，且∠EAC=∠BEC，那么 的值为　　． 【解析】解：过点E作EF∥BC交AB的延长线于点F，延长AC交EF于点F，如图： 46 __ 在Rt△ABC中，tan∠CAB= = ， 设BC=k,则AC=2k, ∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB， 47 ∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=45°， ∴180°-∠ACD=180°-∠BCD，即∠ACE=∠BCE， ∵∠EAC=∠BEC， ∴△ACE∽△ECB， ∴ = ， ∴CE2=AC•BC=2k•k=2k2， ∴CE= k, ∵AC⊥BC，EF∥BC， 48 ∴AH⊥EF， ∴∠AHE=90°， ∵EF∥BC， ∴∠CEH=∠BCD=45°， ∴∠ECH=∠CEH=45°， ∴EH=CH， 在Rt△CGE中，CE= k, ∴EH2+CH2=CE2=( k)2， ∴EH=CH=k, ∴AH=AC+CH=2k+k=3k, 49 ∵tan∠CAB= ，即tan∠HAF= = ， ∴HF= AH= k, ∴EF=EG+HF=k+ k= k, ∵EF∥BC， ∴△DCB∽△DEF， 50 ∴ = = = ， ∴∠ACB=90°，tan∠CAB= ，CD平分∠ACB，E为DC延长线上一点，且∠CEA=∠CBE，那么 =， 故答案为： ． 51 三．解答题 52 15.如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在 上取点E，使 ，连接BE，交AC于点F． (1)求证：BE∥CD； (2)若 ，求半圆O的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线OG∥BC，交AC于点G，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 53 _________ 【解析】(1)证明：连接OC，交BE于点H． ____ ∵CD与半圆O相切于点C， 54 ∴∠OCD=90°， ∵ ， ∴OC⊥BE，即∠OHB=90°， ∵∠OCD=∠OHB， ∴BE∥CD． (2)解：由(1)得∠OCD=90°， 设半圆O的半径为r,则OC=OB=r. ∵BD=2， ∴OD=r+2， ∵OC⊥CD， 55 ∴ ， 解得r=3， ∴半圆O的半径为3． (3)如图，射线OG为所求． ___ 56 16.综合与实践 木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题． 如图1，现有宽度不同的两根木条(宽木条MOBP中MO∥PB，窄木条NOAQ中ON∥AQ，∠MOB=∠NOA=135°)，当遇到转角为直角(∠MON=90°)的地面时，发现拼接后点A与点B不能重合．在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接． 第一步：如图2，画出QA的延长线，交BP于点C，连接OC； 第二步：如图3，沿着射线OB方向，平移窄木条NOAQ，得到N′O′A′Q′ 57 ，使点A′与点B重合，延长MO，交窄木条的边N′O′于点D，连接BD； 第三步：沿着OC、BD切割，切口恰好可以完全重合，如图4完成拼接． (1)如图4，如果宽木条MOBP的宽度为12cm,窄木条NOCQ的宽度为8cm,宽木条MOBP裁剪后的锐角是∠OCP，那么tan∠OCP=　　； (2)请结合图3和图4，运用几何知识说明完成拼接的合理性； (3)如图5，当遇到转角为60度的地面时，对宽度比为2：1的两根长方形木条切割后拼接铺入该转角处，则tanα=　　． 58 ____ 59 【解析】解：(1)如图，延长NO交PC于点S， ___ 则SC=8cm,QS=12cm, ∴tan∠OCP= = = ， 60 故答案为： ； (2)如图， ___ ∵MO∥PB，∠MOB=135°， ∴∠OBP=45°， ∵NO∥N'O'，∠NOB=135°， 61 ∴∠OO'N'=45°， 同理可得∠OAQ=∠OA'Q'=45°， ∴∠PBQ'=90°， ∵∠CAB=∠OAQ=45°， ∴∠ACB=90°． ∵NO∥N'O'， ∴∠ODN'=∠MON=90°， ∴∠ODO'=90°， 故△ODO'与△ACB都是等腰直角三角形． 由平移可得OA=O′B， ∴OO′=AB． 62 在Rt△ODO′和Rt△ACB中， ， ， ∴OD=CB． ∵OD∥CB， ∴ODBC为平行四边形． ∴OC∥BD，OC=BD， ∴∠OCP=∠DBP， 则∠OCP+∠DBQ'=∠PBQ'=90°，即可完成拼接． 63 (3)如图，过A作AC⊥BE于点C，作AD⊥BH于点D，过B作AQ⊥AF，FA的延长线于点Q，记AQ交BH于点P， ___ 则四边形ACBQ为矩形， ∴可设AC=BQ=m, ∵两根木条宽度之比为2：1，即AD：AC=2：1， ∴AD=2m, 64 ∵∠G=∠H=∠ADH=90°， ∴四边形ADHG为矩形， ∴∠GAD=90°， ∵∠FAG=60°， ∴∠PAD=30°， ∴DP=AD•tan30°= m, ∵∠BPQ=∠APD=90°-∠DAP=60°， ∴BP= = m, 65 ∴BD=BP+DP= m, ∴tanα= = = ； 故答案为： ； 66 17.在平面直角坐标系中，过点F(0，f)作y轴的垂线与二次函数y=- +k(h、k为常数)的图象交于点M，N两点(点M在点N的左侧)，点P在直线MN上，当点P满足PM+PN=4时，我们称点P是该二次函数图象的F～4美好点． (1)二次函数y=- 的图象如图所示． ①在f的不同取值-2、- 、-1中， 67 使该函数图象有F-4美好点的f的值是 ________ ； ②已知P(m,n)是该函数图象的F～4美好点，猜想n的取值范围，并说明理由． (2)若 是二次函数y=- +h-2(h为常数)图象的F～4美好点，请直接写出h的值． 【解析】解：(1)①当y=-2时，- =-2，解得x=±2， ∴MN=4， ∴f=-2时，函数图象有F-4美好点； -2，-1 68 当y=- 时，- =- ，解得x=±3， ∴MN=6， ∴f=- 时，函数图象没有F-4美好点； 当y=-1时，- =-1，解得x=± ， ∴MN=2 ， ∴f=-1时，函数图象有F-4美好点； 故答案为：-2，-1； 69 ②当- =n时，解得x=± ， ∴MN=2 ， ∵P(m,n)是该函数图象的F～4美好点， ∵-2n＞0，2 ≤4， 解得-2≤n＜0； (2)当=- +h-2=- 时，解得x=h+ 或x=h- ， 70 ∴MN=2 ， ∵函数图象有F～4美好点， ∴2h-1＞0，2 ≤4， 解得 ＜h≤ ； 当h- ＞3时，解得h≥3，不符合题意舍去； 当h+ ＜3时，解得h＜4- ， 此时3-h- +3-h+ =4， 解得h=1； 71 当h- ≤3≤h-+ 时，解得4- ≤h≤4-+ ， 此时MN=2 =4， 解得h= ； 综上所述：h的值为1或 ． 72 18.如图，在△ABC中，AB=AC． (1)实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在BC下方求作点D，使四边形ABDC为菱形；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母) (2)推理与计算：在(1)的条件下，若∠A=30°，菱形ABDC的面积为2，求菱形ABDC的周长． 【解析】解：(1)如图四边形ABDC即为求作的菱形； (2)如图①，过C作CH⊥AB于H， ∴∠AHC=90°， ∵∠A=30°， 73 ∴CH= AC， ∵四边形ABDC是菱形， ∴AB=AC=BD=DC， ∴菱形ABDC的面积=AB•CH= AB2=2， ∴AB=2(舍去负值)， ∴菱形的周长=4AB=8． 74 19.综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点O处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点O的水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m. 信息2：从点O处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m. 信息3：若消防员将水枪喷水口从点O处向右移动t m至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压(即水流的抛物线形状与大小不变)， 75 此时水流未达到最高点但恰好到达点A处． (以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状) 【问题解决】 (1)求此次消防演练中点O处喷出的抛物线形状水流的表达式； (2)求信息3中移动距离t的值； 【联系拓广】 (3)如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点E位于y轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为 ， 76 下沿抛物线的表达式为 (h为出水口点E到地面的高度)，高楼外墙与y轴仍相距8m.当点E沿y轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖4.9m长的火带CD处(即CD两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且CD=4.9m)？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 77 _______ 【解析】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x-6)2+18(a≠0)， 代入点(0，0)：a×(0-6)2+18=0， 36a+18=0， 解得： ， 78 因此，抛物线表达式为： ； (2)当x=8时，代入抛物线表达式： ， ∴点A的坐标为(8，16)． 抛物线向右移动t米后的表达式为： ， 代入点A(8，16)： 79 (2-t)2=4， 解得：t1=4，t2=0(舍去)， 因此，移动距离t的值为4； (3)当x=8时，两条抛物线的纵坐标分别为： ， ， 两者的差值：y1-y2=(-6.4+h)-(-12.8+h)=6.4＞4.9， 说明需要向右移动． 80 设顶点向右平移n米， 平移后的抛物线表达式为： ， ， 当x=8时：yc=- (8-n)2+h, 81 yD=- (8-n)2+h, 两者的差值CD： ， 解得：n1=1，n2=15(舍去)， 因此，无人机需向右移动1m. 82 20.综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形ABCD”． 【性质探究】 小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线BD，取BD中点O，并连接OA，OC． ∵∠BAD=∠BCD=90°，　　， ∴ ，OC=　　， 83 ∴OA=OB=OC=OD， ∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上． (1)请补全小明同学的证明过程． 【性质应用】 (2)如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E． ①求证：四边形APED是“对直四边形”； ②若AB=8，AD=6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长． 【拓展提升】 (3)如图4，在矩形ABCD中，AB=kBC(k为正实数) 84 ．点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交BC于点F．请求出 的值(用含k的式子表示)． __________ 【解析】解：(1)如图2，连接对角线BD，取BD中点O，连接OA，OC． 85 ___ ∵∠BAD=∠BCD=90°，BD的中点为O， ∴ ， ． ∴OA=OB=OC=OD， ∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心， 86 BD为直径的圆上． 故答案为：BD的中点为O， BD； (2)①连接DP，设圆心为O， ____ ∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°， ∴DP为⊙O的直径， 87 ∴∠DEP=90°， ∴四边形APED是“对直四边形”； ②∵矩形ABCD中，∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，且AB=8，AD=6， ∴CD=8，BC=6， ∴ ， ∵∠DPE=∠DAE，∠PED=∠ADC=90°， ∴△PDE∽△ACD， ∴ ， 88 ∴ ， ∵△ADE为等腰三角形， ∴当EA=ED时，∠EAD=∠EDA， ____ ∵∠EDC+∠EDA=90°，∠ECD+∠EAD=90°， ∴∠ECD=∠EDC， 89 ∴CE=DE， ∴ ， ∴ ； 当AD=AE=6时，CE=AC-AE=4， 设⊙O与CD交点为F，连接AF，EF， 90 ____ ∵∠ADC=90°， ∴AF是⊙O直径， ∴∠AEF=90°， ∴∠CEF=90°， ∵ ， 91 ∴EF=3， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当DA=DE=6时， ， 故PE的长为 或 或 ． 92 (3)设圆心为点O，连接DP，DE，DF， _____ ∵在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，且AB=kBC(k为正实数)． ∴∠PAD=90°， ∴DP是⊙O的直径， ∴∠PED=90°， 93 ∴∠PED=∠ADC=90°， ∵∠DPE=∠DAE， ∴△PDE∽△ACD， ∴ ， ∴DE=kPE， ∵∠DEF=∠DCF=90°， ∴C，D，E，F到线段DF的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以DF为直径的圆上， ∴∠DCE=∠DFE， 94 ∵∠DEF=∠ADC=90°， ∴△DFE∽△ACD， ∴ ， ∴EF=kDE， ∴EF=k2PE， ∴ ， 故 的值为 ． 95 21.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是的△ABC外接圆，点D是圆外一点．连结DO，DO与AB交于点E，DO⊥AB，已知∠DBA=∠ACB． (1)求证：DB是⊙O的切线； (2)若BC=2，DE=4，求△DBE的面积． 【解析】(1)证明：连接OB， ∵OB=OC， ∴∠C=∠CBO， ∵∠ABC=90°， ∴ABO+∠OBC=∠ABO+∠C=90°， 96 ∵∠DBA=∠ACB， ∴∠ABO+∠DBA=90°， ∴∠DBO=90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴DB是⊙O的切线； (2)解：∵DO⊥AB， ∴AB=2AE=2BE，∠BED=90°， ∴∠ABC=∠DEB， ∵∠DBA=∠ACB， ∴△BDE∽△CAB， 97 ∴ = ， ∴ = ， ∴BE=2(负值舍去)， ∴△DBE的面积= DE•BE= ×4×2=4． 98 22.综合与实践 某市民广场附近有一条笔直的东西走向高铁轨道，广场中央设有一处喷泉．为提升市民休闲体验，现规划了一条景观步道．若景观步道与喷泉中心点、高铁轨道均在同一平面内，恰好满足步道上任意一点P到喷泉中心点M的距离，与该点到高铁轨道(广场段)所在直线l的距离相等．已知广场是长为0.8千米，宽为0.6千米的矩形，矩形长边与高铁轨道平行，喷泉中心点M到高铁轨道所在直线l的距离为0.5千米． 如图，以高铁轨道所在直线l为x轴，以过点M且垂直于x轴的直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 99 ________ 任务一模型建立 (1)经过测量，以下表中x为横坐标与之对应的y为纵坐标的点均在该景观步道上． x -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 y 0.34 0.29 0.26 0.25 0.26 0.29 0.34 小亮带领小组成员根据以上信息，结合所学的一次函数、二次函数、反比例函数知识判断景观步道所在曲线应为　　函数，其表达式为　　； 100 (2)小明带领小组成员根据题中有下划线的部分，通过代数推理确定景观步道所在曲线的函数表达式． 已知M(0，0.5)，在景观步道上任取一点P(x,y)，过点P作PD⊥x轴于点D，请完成后续推理，求出函数表达式； 任务二模型应用 (3)经实地检测可知，当与高铁轨道的距离超过0.29千米时，几乎没有噪音影响．请直接写出游人在景观步道上行走时不受噪音影响的x的取值范围． 【解析】解：(1)根据表格中x与y的关系，可知函数图象关于y轴对称， 顶点在(0，0.25)，开口向上， 101 符合二次函数特征， 设表达式为y=ax2+0.25， 代入点(0.1，0.26)，得0.26=a(0.1)2+0.25， 0.01a=0.01， 解得a=1， 所以表达式为：y=x2+0.25， 答：景观步道所在曲线应为二次函数，其表达式为y=x2+0.25； 故答案为：二次；y=x2+0.25； (2)由题意可知，点M在y轴上，且到x轴的距离为0.5， ∴点M的坐标为(0，0.5)， 设景观步道上任意一点P的坐标为(x,y)， 102 根据题意，点P到点M的距离等于点P到x轴的距离， ∴ =y, 两边平方，得： x2+(y-0.5)2=y2， x2+y2-y+0.25=y2， x2-y+0.25=0， y=x2+0.25， 答：景观步道所在曲线的方程为y=x2+0.25； (3)由题意，与高铁轨道的距离超过0.29千米，即y＞0.29，代入函数表达式：x2+0.25＞0.29， 103 即x2＞0.04， 解得：x＜-0.2或x＞0.2， 结合广场范围(长0.8千米，即x∈[-0.4，0.4])， 最终：-0.4≤x＜-0.2或0.2＜x≤0.4， 答：游人不受噪音影响的x取值范围为[-0.4，-0.2)∪(0.2，0.4]． 104 23.我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行． 例如图1所示，若∠A+∠C=180°，AB=CD，则称四边形ABCD为对等补四边形，且有AD∥BC． (1)以下图形属于对等补四边形的有 ____ (填序号)； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)如图2，四边形ABCD为对等补四边形(AB=CD)，小明发现当∠A=90°时，四边形ABCD恰好为矩形，请你帮他证明这一结论； (3)如图3，四边形ABCD为对等补四边形，AB=CD=5，BC=11，对角线AC平分角∠BCD，求线段AC的长度； (4)在问题(3)的条件下， ②④ 105 平面内存在点E使得四边形ABEC为对等补四边形，线段DE与线段AC交于点Q，请直接写出线段DQ的长． _____ 106 【解析】解：(1)由定义可知满足对角互补的只有矩形和正方形，其也都满足有一组对边相等， 故答案为：②④； (2)证明：∵四边形ABCD是对等补四边形，且AB=CD， ∴∠A+∠C=180°，且AD∥BC． ∵∠A=90°， ∴∠C=90°， 又∵AD∥BC， ∴∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形； (3)延长CB至点E，使BE=AB，连接AE， 107 ∵四边形ABCD是对等补四边形，且AB=CD=5， ______ ∴∠D+∠ABC=180°，AD∥BC． ∵CA平分∠BCD， ∴∠ACB=∠DCA． ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=DC=5， 108 ∴BE=AB=5． ∵∠D+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°， ∴∠D=ABE， ∴△ABE≌△CDA(SAS)， ∴AE=AC． 又∵BC=11， ∴EC=16． 过点A作AH⊥BC于点H， ∴EH=CH=8，BH=3，AH=4． 在Rt△AHC中，由勾股定理可得AC2=AH2+CH2， 109 ∴AC= =4 ； (4)∵四边形ABCD为对等补四边形，AD∥BC，AB=CD，AD=DC=AB=5， ①当AB=CE=5时，如图， ____ 则AC∥BE，∠BAC+∠CEB=180°， ∴CD=CE=5，AD=CD=5， 又∵∠BAC=∠ECA，∠DAC=∠DCA， 110 ∴∠DAB=∠DCE， ∵∠DAB=∠ADC， ∴∠ADC=∠DCE， ∴△ADC≌△ECD(SAS)， ∴∠DAC=∠ACD=∠CDE=∠DCE=∠ACB， ∴DQ=QC， 又∵△CDQ∽△CAD， ∴CD2=CQ•AC， ∴ ， 111 ∴ ； ②当 时， 如图，连接BD，过点B作BH⊥DE于点H， ___ 此时 ， 112 ∴ ， ∵△DQC∽△DCE， ∴ ， ∴DQ= = ； 综上，DQ的长为 或 ． 113 24.如图，在等腰△ABC中，AH为底边BC上的高，∠ACB的角平分线交AH于点D，⊙O经过C、D两点且圆心O在△ABC的腰AC上． (1)请画出⊙O(尺规作图，保留作图痕迹)； (2)求证：AH与⊙O相切； (3)当AB=12， 时，求⊙O的半径． 【解析】(1)解：如图所示，⊙O即为所求； (2)证明：连接OD， ∵OD=OC， 114 ∴∠ODC=∠OCD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠ODC=∠DCB， ∴OD∥BC， ∵AH⊥BC， ∴OD⊥AH， ∵OD是⊙O的半径， ∴AH与⊙O相切； (3)解：∵AB=AC=12，AH⊥BC， ∴BH=CH， 115 ∴∠AHC=∠AHB=90°， ∵ ， ∴ = = ， ∴CH=BH=4， ∵OD∥CH， ∴△AOD∽ACH， ∴ ， 116 ∴ ， ∴OD=3， ∴⊙O的半径为3． 117 25.【综合与实践】 【情境导入】 周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC=90°，AB=2米，BC=6米，坡面AC上有一棵小树MN( 118 小树粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，MN⊥BC)，现在斜坡底C处安装一个喷水管CP，水流呈抛物线状，恰好落在A处．技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到B的水平距离x(米)与水流的高度y(米)的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 … y 2 2 ⃯ 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为　　，并求出水流的函数解析式． 119 (2)若调试时，水流恰好经过树顶N点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶A处看，树底M和树顶N的视觉效果对称(即AM=AN)，请求出此时树顶N的坐标． ③在灯光测试中，需要在MN右侧(靠近C的一侧)再放置一棵与MN等高的小树DE(D在坡面上，树干垂直BC)，且水流也能刚好经过树顶E．为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底M的横坐标m的取值范围． 【解析】(1)由题意，根据表格数据，当x=0和当x=4时的函数值相同， ∴对称轴是直线x=2． 120 ∴顶点坐标为 ． ∴可设抛物线解析式为 ， 将点(0，2)代入得： ，解得a=- ， ∴抛物线解析式为y=- (x-2)2+ ． 121 故答案为： ； (2)①设直线AC的解析式为 y=kx+b, 将A(0，2)，C(6，0)代入得 ， ∴ ． ∴直线AC的解析式为y=- ； 122 设点N的横坐标为m(0＜m＜6)， ∴点N的纵坐标为 ，M(m, m+2)． ∴MN=[ ]-(- m+2)=- m2+ m=- (m- )2+ ． ∵- ＜0， 123 ∴当x= 时，MN有最大值，最大值为 ． 答：这棵小树MN的最大可能高度是 m； ②如图所示，过A作AH⊥MN于点H，连接AN， _____ 124 设AH=t,则H(t,2)，M(t,- t+2)，点N的纵坐标为- (t-2)2+ ，点N的横坐标为t, ∵AM=AN， ∴H为MN中点，即 HM=HN． ∴ ，解得 或t=0(舍去)， ∴ ， 125 ∴点N坐标为 ； ③方法1：如图所示，由题意得，DE∥MN，DE=MN， _____ ∴四边形DMNE是平行四边形， ∴NE∥AC，即直线NE与抛物线要有两个不同的交点， 126 ∵直线AC的解析式为 ， ∴可设直线NE的解析式为 在 中， 当x=6时， ， 127 ∴ ． 当直线NE恰好经过点 时，则 解得 ， ∴此时设直线NE的解析式为 ，联立 128 得 ，解得 x=6或 ， ∴此时点N的横坐标为 ． 当直线NE与抛物线恰好只有一个交点时，联立 得 ， 129 即3x2-20x+24b'-48=0．Δ=(-20)2-4×3(24b'-48)=0，解得 ， ∴方程3x2-20x+24b'-48=0，即为方程 ，解得 ， ∴此时点N的横坐标为 ， 130 综上所述， ． 方法2：设M(m,- m+2)，N(m,- m2+ m+2)，D(n,- n+2)，E(n,- n2+ n+2)， ∴MN=- m2+ m+2-(- m+2)=- m2+ m,DE=- n2+ n+2-(- 131 n+2)=- n2+ n, ∵MN=DE， ∴- m2+ m=- n2+ n, ∴ (n+m)(n-m)= (n-m)， ∵n≠m, ∴ (n+m)= ，则n= -m, 132 又∵m＜n＜6， ∴ ． 133 26.【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6，AC=DE=8，旋转角为α(0°＜α＜360°)． 【初步感知】 (1)如图1，连接AE，CD，将三角形纸片BDE绕点B旋转，求 的值； 【深入探究】 134 (2)如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求CG的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由． 135 _______ 【解析】解：(1)∵∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6，AC=DE=8， ∴AB=BE=10， 由旋转得：∠CBD=∠ABE， 136 ∵ = ， ∴△BCD∽△BAE， ∴ = = = ； (2)如图2，延长CD交AE于H，连接BH交DE于M， 137 ___ 由(1)知：△BCD∽△BAE， ∴∠BAE=∠BCD， ∵CF是直角三角形ABC斜边AB的中线，∠ACB=90°， ∴CF=AF=BF=5， ∴∠BCF=∠FBC， ∴∠FBC=∠BAE， 138 ∵∠AFH=∠BFC， ∴△AFH≌△BFC(ASA)， ∴CF=FH， ∴四边形ACBH是平行四边形， ∵∠ACB=90°， ∴▱ACBH是矩形， ∴∠AHB=90°，BH=AC=8， ∵AB=BE， ∴AH=EH=BC=6， 设MH=x, ∵∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM， 139 ∴△AEG∽△HEM， ∴ = = ， ∴AG=2x, ∵EH=BD=6，∠EMH=∠BMD，∠EHM=∠BDM=90°， ∴△EHM≌△BDM(AAS)， ∴BM=EM=8-x, 由勾股定理得：EM2=EH2+MH2，即(8-x)2=62+x2， 解得x= ， 140 ∴AG=2× = ， ∴CG=AC-AG= ， 方法二：连接BG，过B作BH⊥AE交AE于H， ___ 141 由(1)知，△BCD∽△BAE， BAE=∠BCD， ∵CF是△ABC的中线， ∴∠BCF=∠FBC， ∴∠FBC=∠BAE， ∴AE∥BC， ∴∠EAC=∠ACB=∠AHB=90°， ∴四边形ABCH是矩形， ∴AE=2AH=2BC=12， 设AG=x, ∵△BDG≌△BCG， 142 ∴CG=DG=8-x,EG=ED+DG=16-x, ∵EG2=AG2+AE2， ∴(16-x)2=122， ∴x=3.5， ∴CG=AC-AG=4.5； (3)分两种情况： ①如图3，∠EAD=90°，过点B作BQ⊥AE于Q，过点D作DP⊥BQ于P， 143 __ ∴∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90°， ∴四边形ADPQ是矩形， ∴∠ADP=90°，AQ=PD， 144 设AQ=PD=b, ∵AB=BE，BQ⊥AE， ∴AQ=EQ=b, ∴AE=2b,∠ADP=∠BDE=90°， ∴∠ADE=∠BDP，∠EAD=∠DPB=90°， ∴△DAE∽△DPB， ∴ = ， 即 = 145 ∴PB= b, 在Rt△BPD中，BP2+PD2=BD2， ∴b2+( b)2=62， 解得：b= (负值舍去)， ∵△DAE∽△DPB， 146 ∴ = ， 即 = ， 解得：AD= ， ②如图4，∠AED=90°，过点B作BQ⊥AE于Q， 147 __ ∴∠BQE=∠AED=∠BDE=90°， ∴四边形BDEQ是矩形， 148 ∴EQ=BD=6， ∵AB=BE，BQ⊥AE， ∴AE=2EQ=12， 由勾股定理得：AD= = =4 ， 综上，AD的长是 或4 ． 149 27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，点E在AC上，连接DE，且DE=AE． (1)实践与操作：用直尺和圆规作出边AC上满足条件的点E，并连接DE．(保留作图痕迹，不写作法) (2)推理与计算： ①求证：DE是⊙O的切线； ②若∠B=30°，AE=2，AB=6，求劣弧 的长度． 【解析】(1)解：作出线段AD的垂直平分线，交AC于点E，连接DE即可．如图， 150 ___ (2)①证明：连接OD，如图， ___ ∵∠ACB=90°， 151 ∴∠A+∠B=90°， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∴∠ODB+∠A=90°． ∵DE=AE， ∴∠A=∠EDA， ∴∠EDA+∠ODB=90°， ∴∠ODE=180°-(∠EDA+∠ODB)=90°， ∴OD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； 152 ②∵∠B=30°， ∴∠A=90°-∠B=60°， ∵DE=AE， ∴△ADE为等边三角形， ∵AE=2， ∴AD=AE=2， ∵AB=6， ∴BD=AB-AD=4， 连接OD，过点O作OF⊥BD于点F，如图， 153 ___ 则BF=DF= BD=2， ∵OF⊥BD，∠B=30°， ∴OB= = ， 154 ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠B=30°， ∴∠BOD=120°， ∴劣弧 的长度= ． 155 28.定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“反点”．例如，求函数y=x-2图象的“反点”．可以看成是函数y=x-2图象与函数y=-x图象的交点坐标，联立方程组 ，即可求解． (1)若一次函数y=2x+b的图象上“反点”坐标为(-3，3)，则b的值为 ____ ． (2)设反比例函数 的图象上的“反点”分别为A，B，线段AB的长度 ，求k的值． 9 156 (3)若二次函数y=x2-5x+c的图象上有且只有一个“反点”． ①求c的值． ②若M(t-1，y1)，N(t,y2)是二次函数y=x2-5x+c的图象上的两点，求y1+y2的最小值． 【解析】解：(1)由题意，∵一次函数y=2x+b的图象上“反点”坐标为(-3，3)， ∴2×(-3)+b=3． ∴b=9． 故答案为：9； (2)由中心对称性质可知 ， 157 ∴A的坐标是(-3，3)． ∴k=-3×3=-9； (3)①∵函数y=x2-5x+c的图象存在唯一的一个“反点”， ∴联立方程组 ，可得：x2-5x+c=-x,即x2-4x+c=0有两个相等的实数根， ∴Δ=(-4)2-4c=0． ∴16-4c=0． ∴c=4； ②由①得，二次函数的表达式为y=x2-5x+4， 158 ∵M(t-1，y1)，N(t,y2)是二次函数y=x2-5x+c的图象上的两点， ∴ ，y2=t2-5t+4， ∴y1+y2=2(t-3)2-4， ∴当t=3时，y1+y2的最小值是-4． 159 29.【特例研究】在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． ________ (1)如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　　，k的值为　　； 【类比探究】 (2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在OD上，点F落在BC上，若BF=8，求线段OE的长度； 160 【拓展延伸】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=2β(0°＜β＜45°)，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在OD上，点F落在BC上．求 的值(用含β的式子表示)． 【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAB=∠DAC=45°，AD= OA， 161 ∴旋转角为45°，k= = ， ∴k= ， 故答案为：45°， ； (2)根据题意得△AEF∽△AOB， ∴∠EAF=∠OAB， ， ∴∠FAB=∠EAO， = ， 162 ∴△AFB∽△AEO， ∴ ， ∠OAB=45°，∠AOB=90°， ∴ = ， ∴ = = ， ∵BF=8， ∴OE=4 ； 163 (3)如图，过点O作OG⊥AB于点G， ____ 同理可证△AFB∽△AEO， ∴ ， ∵菱形ABCD中，∠ABC=2β， ∴∠ABO=β， ∵O是AB的垂直平分线与BD的交点， 164 ∴AO=BO， ∴∠BAO=∠ABO=β， ∴AB=2BG，cos∠ABO= = =cosβ， ∴ =2cosβ， ∴ =2cosβ， ∴BF=OE•2cosβ，BA=OB•2cosβ， ∵BE=OE+OB， 165 ∴BF+BA=OE•2cosβ+OB•2cosβ =2(OE+OB)cosβ=2BEcosβ， 即BF+BA=2BEcosβ． ∴ =2cosβ． 166 $ 2026深圳考前冲刺压轴题 一．选择题（共3小题） 1．如图，四边形ABCD为正方形，点E在DC上，以AE为直径的⊙O与BC相切，若，则正方形的边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）则大楼MN的高度是（　　）米．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6，精确到整数） A．88 B．90 C．92 D．94 3．华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的数学思想并结合已画的部分图象判断方程根的情况是（　　） A．有三个实数根，两个正根一个负根 B．有两个实数根，一个正根一个负根 C．有三个实数根，一个正根两个负根 D．有两个实数根，并且两个都是负根 二．填空题（共11小题） 4．如图，点A在双曲线上，连接OA，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，四边形OACD为菱形，若四边形ACDB的面积是6，则k＝　 　 ． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边CB上，DB＝2CD，连接AD，过点C作CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，连接DF，则DF＝　 　 ． 6．如图，点A是反比例函数的图象上一点，延长AO交图象另一支曲线于点B，BC∥y轴且满足AC＝BC，∠C＝120°．若△ABC的面积为8，则k＝　 　 ． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF，DE与AB交于点G．若G是DE的中点，正方形ADEF的面积为7，则AC•AG的值为 　 　 ． 8．如图，四边形OABC是平行四边形，OA边在x轴上，点B在反比例函数上，点C在反比例函数（k为常数，且k≠0）上．若AC⊥x轴，则k的值是　 　 ． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E．点G与点E关于直线BD对称，连接BG、CG．若CG＝2，则线段AD的长为　 　 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上、顶点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若y（k≠0）图象经过点C，且S△BEF，则k的值为 　 　 ． 11．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上，BE＝DF，M为EF的中点，点N在边AB上，∠AMN＝45°．若AB＝7，AM＝5，则MN的长为　 　 ． 12．2025年在澳大利亚举行的第66届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中，中国代表队发挥出色，获得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式来计算，由该公式可知中国队团体总分为　 　 ． 13．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度AB＝2m，遮阳棚固定点A距离地面高度AC＝3m，遮阳棚与墙面AC的夹角为60°．在某一时刻，一位身高160cm的顾客EF在太阳光下的影长FG＝80cm，则此时遮阳棚在地面上的影长CD为　 　 m． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．CD平分∠ACB，E为DC延长线上一点，且∠EAC＝∠BEC，那么的值为　 　 ． 三．解答题（共15小题） 15．如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F． （1）求证：BE∥CD； （2）若，求半圆O的半径； （3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线OG∥BC，交AC于点G，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 16．综合与实践 木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题． 如图1，现有宽度不同的两根木条（宽木条MOBP中MO∥PB，窄木条NOAQ中ON∥AQ，∠MOB＝∠NOA＝135°），当遇到转角为直角（∠MON＝90°）的地面时，发现拼接后点A与点B不能重合．在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接． 第一步：如图2，画出QA的延长线，交BP于点C，连接OC； 第二步：如图3，沿着射线OB方向，平移窄木条NOAQ，得到N′O′A′Q′，使点A′与点B重合，延长MO，交窄木条的边N′O′于点D，连接BD； 第三步：沿着OC、BD切割，切口恰好可以完全重合，如图4完成拼接． （1）如图4，如果宽木条MOBP的宽度为12cm，窄木条NOCQ的宽度为8cm，宽木条MOBP裁剪后的锐角是∠OCP，那么tan∠OCP＝　 　 ； （2）请结合图3和图4，运用几何知识说明完成拼接的合理性； （3）如图5，当遇到转角为60度的地面时，对宽度比为2：1的两根长方形木条切割后拼接铺入该转角处，则tanα＝　 　 ． 17．在平面直角坐标系中，过点F（0，f）作y轴的垂线与二次函数yk（h、k为常数）的图象交于点M，N两点（点M在点N的左侧），点P在直线MN上，当点P满足PM+PN＝4时，我们称点P是该二次函数图象的F～4美好点． （1）二次函数y的图象如图所示． ①在f的不同取值﹣2、、﹣1中，使该函数图象有F﹣4美好点的f的值是　 　 ； ②已知P（m，n）是该函数图象的F～4美好点，猜想n的取值范围，并说明理由． （2）若是二次函数yh﹣2（h为常数）图象的F～4美好点，请直接写出h的值． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC． （1）实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在BC下方求作点D，使四边形ABDC为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）推理与计算：在（1）的条件下，若∠A＝30°，菱形ABDC的面积为2，求菱形ABDC的周长． 19．综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点O处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点O的水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m． 信息2：从点O处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点O处向右移动tm至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点A处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 （1）求此次消防演练中点O处喷出的抛物线形状水流的表达式； （2）求信息3中移动距离t的值； 【联系拓广】 （3）如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点E位于y轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（h为出水口点E到地面的高度），高楼外墙与y轴仍相距8m．当点E沿y轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖4.9m长的火带CD处（即CD两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且CD＝4.9m）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 20．综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形ABCD”． 【性质探究】 小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线BD，取BD中点O，并连接OA，OC． ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，　 　 ， ∴，OC＝　 　 ， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程． 【性质应用】 （2）如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E． ①求证：四边形APED是“对直四边形”； ②若AB＝8，AD＝6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长． 【拓展提升】 （3）如图4，在矩形ABCD中，AB＝kBC（k为正实数）．点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交BC于点F．请求出的值（用含k的式子表示）． 21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，⊙O是的△ABC外接圆，点D是圆外一点．连结DO，DO与AB交于点E，DO⊥AB，已知∠DBA＝∠ACB． （1）求证：DB是⊙O的切线； （2）若BC＝2，DE＝4，求△DBE的面积． 22．综合与实践 某市民广场附近有一条笔直的东西走向高铁轨道，广场中央设有一处喷泉．为提升市民休闲体验，现规划了一条景观步道．若景观步道与喷泉中心点、高铁轨道均在同一平面内，恰好满足步道上任意一点P到喷泉中心点M的距离，与该点到高铁轨道（广场段）所在直线l的距离相等．已知广场是长为0.8千米，宽为0.6千米的矩形，矩形长边与高铁轨道平行，喷泉中心点M到高铁轨道所在直线l的距离为0.5千米． 如图，以高铁轨道所在直线l为x轴，以过点M且垂直于x轴的直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 任务一模型建立 （1）经过测量，以下表中x为横坐标与之对应的y为纵坐标的点均在该景观步道上． x ﹣0.3 ﹣0.2 ﹣0.1 0 0.1 0.2 0.3 y 0.34 0.29 0.26 0.25 0.26 0.29 0.34 小亮带领小组成员根据以上信息，结合所学的一次函数、二次函数、反比例函数知识判断景观步道所在曲线应为　 　 函数，其表达式为　 　 ； （2）小明带领小组成员根据题中有下划线的部分，通过代数推理确定景观步道所在曲线的函数表达式． 已知M（0，0.5），在景观步道上任取一点P（x，y），过点P作PD⊥x轴于点D，请完成后续推理，求出函数表达式； 任务二模型应用 （3）经实地检测可知，当与高铁轨道的距离超过0.29千米时，几乎没有噪音影响．请直接写出游人在景观步道上行走时不受噪音影响的x的取值范围． 23．我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行． 例如图1所示，若∠A+∠C＝180°，AB＝CD，则称四边形ABCD为对等补四边形，且有AD∥BC． （1）以下图形属于对等补四边形的有　 　 （填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）如图2，四边形ABCD为对等补四边形（AB＝CD），小明发现当∠A＝90°时，四边形ABCD恰好为矩形，请你帮他证明这一结论； （3）如图3，四边形ABCD为对等补四边形，AB＝CD＝5，BC＝11，对角线AC平分角∠BCD，求线段AC的长度； （4）在问题（3）的条件下，平面内存在点E使得四边形ABEC为对等补四边形，线段DE与线段AC交于点Q，请直接写出线段DQ的长． 24．如图，在等腰△ABC中，AH为底边BC上的高，∠ACB的角平分线交AH于点D，⊙O经过C、D两点且圆心O在△ABC的腰AC上． （1）请画出⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）求证：AH与⊙O相切； （3）当AB＝12，时，求⊙O的半径． 25．【综合与实践】 【情境导入】 周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC＝90°，AB＝2米，BC＝6米，坡面AC上有一棵小树MN（小树粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，MN⊥BC），现在斜坡底C处安装一个喷水管CP，水流呈抛物线状，恰好落在A处．技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到B的水平距离x（米）与水流的高度y（米）的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 … y 2 2 ⃯ 【探究任务】 （1）根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为　 　 ，并求出水流的函数解析式． （2）若调试时，水流恰好经过树顶N点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶A处看，树底M和树顶N的视觉效果对称（即AM＝AN），请求出此时树顶N的坐标． ③在灯光测试中，需要在MN右侧（靠近C的一侧）再放置一棵与MN等高的小树DE（D在坡面上，树干垂直BC），且水流也能刚好经过树顶E．为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底M的横坐标m的取值范围． 26．【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，BC＝BD＝6，AC＝DE＝8，旋转角为α（0°＜α＜360°）． 【初步感知】 （1）如图1，连接AE，CD，将三角形纸片BDE绕点B旋转，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求CG的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由． 27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，点E在AC上，连接DE，且DE＝AE． （1）实践与操作：用直尺和圆规作出边AC上满足条件的点E，并连接DE．（保留作图痕迹，不写作法） （2）推理与计算： ①求证：DE是⊙O的切线； ②若∠B＝30°，AE＝2，AB＝6，求劣弧的长度． 28．定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“反点”．例如，求函数y＝x﹣2图象的“反点”．可以看成是函数y＝x﹣2图象与函数y＝﹣x图象的交点坐标，联立方程组，即可求解． （1）若一次函数y＝2x+b的图象上“反点”坐标为（﹣3，3），则b的值为　 　 ． （2）设反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B，线段AB的长度，求k的值． （3）若二次函数y＝x2﹣5x+c的图象上有且只有一个“反点”． ①求c的值． ②若M（t﹣1，y1），N（t，y2）是二次函数y＝x2﹣5x+c的图象上的两点，求y1+y2的最小值． 29．【特例研究】在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　 ，k的值为　 　 ； 【类比探究】 （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，若BF＝8，求线段OE的长度； 【拓展延伸】 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝2β（0°＜β＜45°），O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．求的值（用含β的式子表示）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/6 15:13:11；用户：罗帅；邮箱：17729846990；学号：37340701 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $