21.2 多边形及其内角和 课件2025-2026学年 人教版八年级 数学下册

多边形及其内角和  数学人教版八年级下册 1 多边形在生活中很常见，观察图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？你能再列举一些生活中含有多边形的事物吗？ 本节课将类比三角形、四边形的学习方法，探索多边形的相关概念，以及内角和与外角和的性质． 问题1 观察下图，你能类比三角形、四边形的定义，尝试描述多边形的定义吗？ ①在同一平面内； ③首尾顺次连接； ②若干条线段； ④封闭图形. A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An C B A D A B C 在平面内，由 n（n≥3）条线段 A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形． 新知 …… 三角形 四边形 五边形 六边形 A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An n 边形 多边形有几条边就叫作几边形. 思考1 请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义. 组成四边形的各条线段叫作四边形的边 每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点 边 顶点 四边形 多边形 记作：多边形 A1A2…An 内角 外角 对角线 图形及记法 记作：四边形 ABCD 每相邻两边组成的角叫作 四边形的内角 四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线 组成多边形的各条线段叫作多边形的边 每相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点 每相邻两边组成的角叫作 多边形的内角 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线 思考2 指出图中六边形的边、顶点、内角，在每个顶点处各画出一个外角，同时画出它的全部对角线． 边：AB，BC，CD，DE，EF，FA． 顶点：点 A，点 B，点 C，点 D，点 E，点 F． 内角：∠BAF，∠ABC，∠BCD，∠CDE， ∠DEF，∠AFE． A B C D E F 对角线：AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF． 1 6 5 4 2 3 外角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6． 如无特殊说明，讨论的多边形都是凸多边形 思考3 从 n 边形的一个顶点出发，能画出几条对角线？这个 n 边形一共有多少条对角线？这些对角线能把 n 边形分成几个三角形？ 边数 3 4 5 6 7 … n 从一个顶点出发的 对角线的条数 总的对角线条数 分成的三角形个数 0 0 1 1 2 2 2 5 3 3 9 4 4 14 5 n－3 n－2 … … … 思考3 　 从不同顶点作出的多边形的对角线是有重复的，所以多边形对角线的条数不是所有顶点上对角线条数的和． 从 n 边形的一个顶点出发，能画出几条对角线？这个 n 边形一共有多少条对角线？这些对角线能把 n 边形分成几个三角形？ 问题2 观察下图的多边形，它们的边、角有什么特点？ 　　它们的各个角都相等，各条边都相等． 　 像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形． 问题3 类比四边形内角和公式的推导过程，你能得出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ 　　从五边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于 180°×____． 　　从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于 180°×____． 2 3 3 4 3 4 思考1 一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将 n 边形分为 个三角形，n 边形的内角和等于 . n 边形的内角和等于(n－2)× 180°． (n－3) (n－2) (n－2)× 180° 类比四边形内角和公式的推导过程，你能得出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An 思考1 正 n 边形每个内角的度数都是 ． 类比四边形内角和公式的推导过程，你能得出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An 一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将 n 边形分为 个三角形，n 边形的内角和等于 . (n－3) (n－2) (n－2)× 180° 思考2 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ 如图，从 n 边形的内部任取一点 O，连接点 O 与 n 边形的各个顶点，n 边形被分为____个三角形．因为这 n 个三角形的内角和是______________，所以 n 边形的内角和是________________，即________________． n n×180° n×180°－360° (n－2)×180° 方法一 思考2 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ 如图，在 n 边形的边上任取一点 P，连接点 P 与 n 边形的各个顶点，n 边形被分为______个三角形．因为这______ 个三角形的内角和是______________，以点 P 为公共顶点的______ 个角的和是____，所以 n 边形的内角和是___________________，即______________． (n－1)×180° (n－1)×180°－180° (n－2)×180° (n－1) (n－1) (n－1) 180° 方法二 问题4 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和． 多边形的外角和等于多少度？请你说明理由． 问题4 多边形的外角和等于多少度？请你说明理由． 多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______. n 边形的内角和与外角和的总和等于________. n 边形的内角和等于_____________. 邻补角 n×180° (n－2)×180° A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An n 边形的外角和等于 _______________________________. n×180°－(n－2)×180°＝360° 新知 n 边形的外角和等于360°． 正 n 边形的每个外角的度数等于 ． 与多边形的边数无关 思考 为什么多边形外角和与边数无关？ 从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点 A，然后转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和. 由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°. A 例 一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为 n. 因为它的内角和等于(n－2)×180°，外角和等于 360°， 所以 (n－2)×180°＝2×360°. 解得 n＝6. 因此这个多边形是六边形. 20 1．过十二边形的一个顶点有____条对角线，这些对角线将十二边形分成____个三角形，这个十二边形共有____条对角线． 　　解析：因为 n 边形从一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，这些对角线将多边形分成(n－2)个三角形，这个 n 边形共有　　　　条对角线． 所以过十二边形的一个顶点有 12－3＝9（条）对角线， 这些对角线将十二边形分成 12－2＝10（个）三角形， 十二边形共有　　　　　　　（条）对角线． 9 10 54 　　2．求出下列图形中 x 的值． （1） （2） （3） 解：（1）∵ 五边形的内角和等于（5－2）×180°＝540°， ∴ 150＋120＋90＋x＋2x＝540， ∴ x＝60. 　　2．求出下列图形中 x 的值． （1） （2） （3） 解：（2）∵ 六边形的内角和等于（6－2）×180°＝720°， ∴ x＋x＋x＋x＋90＋90＝720， ∴ x＝135. 　　2．求出下列图形中 x 的值． （1） （2） （3） 解：（3）∵ AB∥CD，∴ ∠B＋∠C＝180°. ∴ 135＋180＋150＋x＝540， ∴ x＝75. ∵ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝（5－2）×180°＝540°， 3．（1）一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形是几边形？ （2）一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？ （3）一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？ 解：（1）设这个多边形的边数为 n， 则 (n－2)×180°＝1 080°． ∴ n＝8． ∴ 这个多边形是八边形． 解：（2）由题意，得每一个外角都等于 180°－120°＝ 60°． ∵ 多边形的外角和为 360°， ∴ 360°÷60°＝6， ∴ 这个多边形是六边形． 3．（1）一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形是几边形？ （2）一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？ （3）一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？ 解：（3）∵ 多边形的外角和为 360°， ∴ 360°÷72°＝5， ∴ 这个多边形是五边形． 3．（1）一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形是几边形？ （2）一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？ （3）一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？ 多边形及其内角和 定义 元素 在平面内，由 n（n≥3）条线段 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形 边、顶点、对角线、内角、外角 内角和 外角和 n 边形的内角和等于(n－2)× 180° 任意一个多边形的外角和都等于360° 正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形 $