21.1 四边形及其内角和 课件 2025-2026学年 人教版八年级数学下册

四边形及其内角和  数学人教版八年级下册 1 现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂……观察下列图形，你能找出其中的四边形结构吗？你能再列举一些生活中含有四边形的事物吗？ 问题1 观察下图，请你回忆三角形的概念以及符号表示，尝试描述四边形的概念． C B A D B C A 概念 边 顶点 角 在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 组成四边形的各条线段叫作四边形的边 每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点 组成三角形的线段叫作三角形的边 边 顶点 图形及记法 三角形 四边形 相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点 概念 记作：△ABC 记作：四边形 ABCD 问题2 这两个四边形有什么不同？怎么区分它们？ C B A D D B C A 请你用直尺在图（1）中画出任意一条边所在直线，观察整个四边形是否都在这条直线的同一侧？ （1） （2） 问题2 这两个四边形有什么不同？怎么区分它们？ D B C A 在图（1）中，四边形 ABCD 都在直线 CD 的同一侧，也都在直线 BC，AB，AD 的同一侧． C B A D （1） （2） 问题2 这两个四边形有什么不同？怎么区分它们？ D B C A C B A D 　　如图（1），画出四边形 ABCD 的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形． （1） （2） 问题2 这两个四边形有什么不同？怎么区分它们？ C B A D D B C A 观察图（2），请你判断四边形 ABCD 是不是凸四边形？ （1） （2） 问题2 这两个四边形有什么不同？怎么区分它们？ C B A D D B C A 特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形. （1） （2） 在图（2）中，四边形 ABCD 不都在直线 CD （或 BC ）的同一侧，这样的四边形不是凸四边形. 问题3 连接 AC 和 BD，你发现了什么？ C B A D AC 将四边形分为 _______ 和 _______ . BD 将四边形分为 _______ 和 _______ . △ABC △ADC △BDA △BDC 问题3 连接 AC 和 BD，你发现了什么？ C B A D 　　连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线． 连接对角线是把四边形问题转化为三角形问题的常用方法 问题4 类比三角形，说一说四边形的内角和外角分别是什么，尝试： （1）画一个四边形 ABCD ，将它的所有内角表示出来． （2）在（1）的图中分别画出四边形 ABCD 顶点 A，C 处的外角． C B A D ∠A ∠D ∠C ∠B ∠1 ∠2 ∠4 ∠3 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角． 问题4 四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角． 类比三角形，说一说四边形的内角和外角分别是什么，尝试： （1）画一个四边形 ABCD ，将它的所有内角表示出来． （2）在（1）的图中分别画出四边形 ABCD 顶点 A，C 处的外角． C B A D ∠A ∠D ∠C ∠B ∠1 ∠2 ∠4 ∠3 问题4 每个顶点处都可以画出两个相等的外角，任选一个探讨即可； 同一个内角两边的延长线形成的夹角不是四边形的外角． 类比三角形，说一说四边形的内角和外角分别是什么，尝试： （1）画一个四边形 ABCD ，将它的所有内角表示出来． （2）在（1）的图中分别画出四边形 ABCD 顶点 A，C 处的外角． C B A D ∠A ∠D ∠C ∠B ∠1 ∠2 ∠4 ∠3 问题5 我们知道，三角形的内角和是180°，那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能猜想并证明你的结论吗？ 180° 360° 猜想：四边形的内角和等于360°． 360° ？ 如何证明猜想？ 问题5 我们知道，三角形的内角和是180°，那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能猜想并证明你的结论吗？ 180° 连接对角线可将四边形分为两个三角形 ？ 能否把四边形问题转化为学习过的三角形问题？ 问题5 A B C D 1 2 3 4 四边形 ABCD 的内角和 ＝ _______________ ＋_______________ 如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形 ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD . △ABC 的内角： ∠1，∠B，∠3 △ABC 的内角和 △ACD 的内角和 △ACD 的内角： ∠2，∠D，∠4 问题5 A B C D 1 2 3 4 如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形 ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD . 在△ABC 中，由三角形内角和定理，得 ∠1＋∠B＋∠3＝180°. 同理 ∠2＋∠4＋∠D＝180°. ∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D ＝∠1 ＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D ＝（∠1＋∠B＋∠3）＋（∠2＋∠4＋∠D） ＝ 360°. 四边形的内角和等于360° 例 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？ 内角与外角是邻补角 内角和与外角和相加等于4×180° 已知内角和，可求出外角和 19 例 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？ 解：如图， ∵ ∠DAB 与∠1 是邻补角， ∴ ∠DAB＋∠1 ＝ 180° ① 同理，∠ABC＋∠2＝180° ② ∠BCD＋∠3＝180° ③ ∠CDA＋∠4＝180° ④ 20 例 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？ ①＋②＋③＋④得 ∠DAB＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD ＋∠3＋∠CDA＋∠4＝720°. 而 ∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°， ∴ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°. 四边形的外角和等于360° 21 问题6 如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ ① ② 问题6 ① ② 四条边确定后，四个角并不确定 形成两个三角形 形状会发生改变 形状不变 四边形不具有稳定性 三角形具有稳定性 迁移应用 你能说一说它们的原理吗？ 利用四边形的不稳定性：四边形结构可以灵活改变形状，从而实现门的伸展与收缩、升降机的上升与下降． 克服四边形的不稳定性：在窗框上钉一根木条， 将四边形窗框分割成两个三角形，利用三角形的稳定性，使窗框变得稳固，不易变形. 　　1．求出下列图形中 x 的值． （1） （2） （3） 解：（1）∵ 四边形的内角和等于 360°， ∴ 90＋140＋x＋x＝360， ∴ x＝65. 　　1．求出下列图形中 x 的值． （1） （2） （3） 解：（2）∵ 四边形的内角和等于 360°， ∴ 3x＋3x＋2x＋4x＝360， ∴ x＝30. 　　1．求出下列图形中 x 的值． （1） （2） （3） 解：（3）∵ 与 x°角相邻的内角的度数为（180－x）°， ∴ 120＋75＋（180－x）＋80＝360， ∴ x＝95. 　　2．一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？ C B A D 解：另一组对角也互补．理由如下： 如图，在四边形 ABCD 中， 若 ∠A＋∠C＝180°， 由四边形的内角和等于 360°，得 ∴ 它的另一组对角也互补. ∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C) ＝360°－180＝180°. 　　3．下列图形中哪些具有稳定性？ （1） （2） （3） （4） （5） √ √ 四边形及其内角和 定义 元素 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 边、顶点、对角线、内角、外角 内角和 外角和 稳定性 四边形的内角和等于360° 四边形的外角和等于360° 四边形具有不稳定性 $