21.1.1 四边形及其内角和 课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.1 四边形及多边形 21.1.1 四边形及其内角和 第二十一章 四边形 人教版八年级下册 说一说在生活中，你在哪些地方见到过四边形的形象？ 新课导入 三角形 相关定义 分类 性质 判定 相关定义 分类 性质 判定 ？ 新知探究 （一）四边形的概念 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. 在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形. 新知探究 三角形 四边形 概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形 边 组成三角形的线段 叫作三角形的边 顶点 相邻两边的公共端点 叫作三角形的顶点 图形及记法 在平面内，由___________________的四条线段_____________组成的图形叫作四边形 组成_______的各条线段叫作四边形的边 每相邻两条_____________　 叫作四边形的顶点 A B C D 记作：_____________ 记作：△ABC 线段的公共端点　 不在同一条直线上 四边形 ABCD 新知探究 首尾顺次相接 四边形 × √ × × A C B D 记作： 四边形 ACBD 四边形 ADBC ps：字母必须按顺时针或逆时针的方向排列. 练一练 找出下面的四边形. A A B C D B C D 四边形 ABCD 都在 直线 CD 的同一侧， 也都在直线 AB， BC，AD 的同一侧. 四边形 ABCD 不都在直线 CD（或 BC）的同一侧. 如左图，画出四边形 ABCD 的任何一条边（例如 CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形. 凸四边形 这两个四边形有什么不同？ 特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形. 新知探究 A B C D 连接 AC 和 BD，你能发现什么？ 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. AC 将四边形分为 _______ 和 _______ . BD 将四边形分为 _______ 和 _______ . △ABC △ACD △BDA △BDC 新知探究 A B C D 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角； 四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 内角 新知探究 请在图中分别画出四边形 ABCD 顶点 A，C 处的内角和外角. 材料准备：剪刀、量角器等. 活动 分别剪下一些形状不同、大小不同的四边形，测量每一个内角的度数，并计算出四边形的内角和. A B C D O 观察猜想 根据测量的结果，你有什么猜想？ 猜想：四边形的内角和都是360°. 你能证明吗？ 新知探究 （二）四边形的内角和与外角和 四边形 ABCD 的内角和 = _______________ + _______________ A B C D 1 2 3 4 如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形 ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形. 四边形 三角形 转化 △ABC 的内角： △ACD 的内角： ∠1、∠B、∠3 ∠2、∠D、∠4 △ABC 的内角和 △ACD 的内角和 新知探究 A B C D 1 2 3 4 如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形 ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形. 在△ABC 中，由三角形内角和定理，得 ∠1 + ∠B + ∠3 = 180°. 同理∠2 + ∠4 + ∠D = 180°. 由此可得 ∠DAB + ∠B + ∠BCD + ∠D = ∠1 + ∠2 + ∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D =（∠1 + ∠B + ∠3）+（∠2 + ∠4 + ∠D） = 180°+ 180° = 360°. 四边形 三角形 转化 四边形的内角和等于 360° 新知探究 根据测量的结果，你有什么猜想？请证明你的猜想是否正确。 典例精析 活动 画出四边形的外角，并计算出四边形的外角和. 内角+其邻补角=180° 典例精析 四边形的外角和等于 360° 典例精析 四边形的内角和等于 360° 几何语言： 在四边形 ABCD 中， ∴∠A +∠B +∠C +∠D = 360°. A B C D 四边形的外角和等于 360° 在四边形 ABCD 中， ∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°. 归纳小结 如图，在四边形 ABCD 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 320°，则∠D 的度数为（ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 4 四边形的外角和 ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360° 320° ∠4 = 360°－320°= 40° ∠D = 180°－∠4 = 180°－40°= 140° C 练一练 新知探究 如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ （三）四边形的不稳定性 形状会发生改变 形状不变 现象 结论 四边形 不具有稳定性 三角形 具有稳定性 形成两个三角形 四条边确定后，四个角并不确定 新知探究 你能说一说它们的原理吗？ 利用四边形的不稳定性：伸缩门、升降机。 克服四边形的不稳定性：在窗框上钉一根木条，以防窗框变形。 新知探究 1. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A＝∠C＝ 100°，则∠D的度数是(　B　) A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° B 课堂练习 A层　基础练 2. 如图①是一种生活中常使用的工具——千斤顶，图②是其示意图，该千斤顶的基本形状是一个四边形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小，从而改变千斤顶的高度，这是利用了四边形的 ⁠. 不稳定性 A层　基础练 3. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠D＝ 110°，与∠α相邻的外角是70°，则∠β的度数是 (　B　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° B A层　基础练 4. 在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°，则下列 结论正确的是(　B　) A. ∠B＋∠D＝360° B. ∠B＋∠D＝180° C. ∠D＝2∠B D. ∠B－∠D＝90° B A层　基础练 5. 如图，将三角形纸片ABC剪掉一角变为四边形BCDE， 下列说法正确的是(　A　) A. 内角和变大 B. 内角和变小 C. 外角和变大 D. 外角和变小 A A层　基础练 6. 如图，在四边形ABCD中，∠1＋∠2＋∠3＝320°， 则∠D的度数为 ⁠. 140°　 A层　基础练 7. 在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2 : 3 : 5，∠D＝50°，求∠A的度数. 解：设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝5x. ∵四边形ABCD的内角和为360°，∠D＝50°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝2x＋3x＋5x＋50°＝10x＋50°. ∴10x＋50°＝360°，即x＝31°. ∴∠A＝62°.∴∠A的度数为62°. A层　基础练 8. 如图，将△ABC纸片剪去一个角得到四边形DECA，则∠D＋∠E－∠B＝ ⁠. 180°　 B层　提升练 9. 用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长 度如图所示，现添加一根木条，使这个图形稳定，则添 加的木条的长度不可以是(　A　) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 A B层　提升练 10. 如图，在四边形ABCD中，BE，DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β. (1)如图1，若α＋β＝115°，求∠GBC＋∠GDC的度数； 解：(1)∵四边形ABCD的内角和为360°， ∴α＋β＝∠BAD＋∠BCD＝360°－(∠ABC＋∠ADC). ∵∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角， ∴∠MBC＝180°－∠ABC，∠NDC＝180°－∠ADC. ∴∠MBC＋∠NDC＝180°－∠ABC＋180°－∠ADC ＝360°－(∠ABC＋∠ADC)＝α＋β＝115°. ∵BE，DF分别平分∠MBC和∠NDC，     C层　拓展练 10. 如图，在四边形ABCD中，BE，DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β. (2)如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由. 解：(2)BE∥DF. 理由如下： 如图，过点C作CP∥BE. 答图 ∴∠EBC＝∠BCP. ∴∠DCP＝∠BCD－∠BCP＝β－∠EBC. 由(1)知∠MBC＋∠NDC＝α＋β.∵α＝β， ∴∠MBC＋∠NDC＝2β. 又∵BE，DF分别平分∠MBC和∠NDC，   ∴∠FDC＝β－∠EBC. 又∵∠DCP＝β－∠EBC，∴∠FDC＝∠DCP. ∴CP∥DF. 又∵CP∥BE，∴BE∥DF. C层　拓展练 四边形 定义 前提条件是在一个平面内 内角和 四边形的内角和等于360° 外角和 四边形的外角和等于360° 课堂小结 $