第20章 勾股定理 章节复习课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 章末复习 数学人教版八年级下册 1 请你带着下面的问题,进入本章的复习吧! 1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系? 2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法? 3.已知一个三角形的三边长,怎样判断它是不是直角三角形? 4.勾股定理的逆定理是如何证明的? 要点一 勾股定理及其应用 例1 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4,则第三边长为( ) A.5 B. C.5或 D.不能确定 解析:当所求边为斜边时,由勾股定理,得 =5; 当所求边为直角边时,边长为 4 的边是斜边, 由勾股定理,得 = . 故第三边长为 5 或 . C 归纳 利用勾股定理求直角三角形的第三条边长时,需分清斜边和直角边,若无法明确哪一条边是斜边,则需要分情况讨论. 要点一 勾股定理及其应用 要点一 勾股定理及其应用 例2 池塘中一株荷花的茎长为 OA,无风时露出水面部分 CA=0.4米,如果把这株荷花向旁边拉至使它的顶端 A 恰好到达池塘的水面 B 处,此时荷花顶端离原来位置的距离 BC=1.2米,求这株荷花的茎长 OA. 解:设荷花的茎长为 x 米, 由题意,得 OA=OB=x,OC= x-0.4. ∵ ∠BCO=90 ,∴ OC2+BC2=OB2, ∴ ( x-0.4)2+1.22=x2,解得 x=2. 答:这株荷花的茎长OA为 2 米. 归纳 利用勾股定理解决实际问题时,关键是先建立直角三角形模型,再合理假设未知数,最后根据勾股定理列方程求解. 要点一 勾股定理及其应用 例3(1)如图1,四个全等的直角三角形拼成一个大正方形,中间空白部分也是正方形.已知直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c.请你证明:a2+b2=c2. 要点一 勾股定理及其应用 证明:S大正方形=(a+b)2=4 ab+c2. ∴ (a+b)2=4 ab+c2, ∴ a2+b2=c2. 归纳 利用等积法验证勾股定理的本质是用两种不同的方式表示同一个图形的面积,然后通过等式变形,推导得到 a2+b2=c2. 要点一 勾股定理及其应用 例3(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折,得到图2,若 a=3,b=4,则空白部分的面积为 . 要点一 勾股定理及其应用 13 解:设空白部分的面积是 S, ∵ a=3,b=4, ∴ S=c2-2 ab =a2+b2-ab =32+42-3 4 =13. 例3(3)如图3,分别以 Rt ABC 的三条边为基础向外作三个正方形,连接 EC,BG, 若设 S EBC=S1,S BCG=S2,S正方形BCIH=S3,求 S1,S2,S3 之间的关系. 要点一 勾股定理及其应用 解:在 Rt ABC 中,由勾股定理,得 AB2+AC2=BC2. 在正方形 ABED 中,AD∥BE,AB=BE, ∴ S EBC= = AB2,同理 ,S BCG= AC2. ∵ S正方形BCIH=BC2 , AB2+AC2=BC2, ∴ 2S1+2S2=S3. 归纳 要点一 勾股定理及其应用 利用勾股定理解决与面积有关的问题 (1)把图形的面积转化为直角三角形边长的平方; (2)利用勾股定理得到直角三角形三边之间的数量关系,进而得出几何图形面积之间的关系. C.1,2, D. , , 例1 勾股数又名毕氏三元数,凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,我们称之为勾股数.下列各组数为勾股数的是( ) A.9,40,41 B.9,16,20 要点二 勾股定理的逆定理及其应用 不是正整数 ️ ️ ️ 92+162=337≠202 ,不能构成直角三角形 A 选项,因为92+402=412 ,所以 9,40,41 是一组能成为直角三角形三边长的正整数,为勾股数. A 归纳 要点二 勾股定理的逆定理及其应用 判断勾股数的步骤 (1)三个数均是正整数; (2)计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和; (3)若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和,则是勾股数;反之则不是. 例2 某住宅小区有一块草坪如图所示,已知AB=6米,BC=8米,CD=24米,AD=26米,且 AB⊥BC,则这块草坪的面积是 平方米. 要点二 勾股定理的逆定理及其应用 6 8 24 26 解析:如图,连接 AC, ∵ 在 ABC 中,∠ABC=90 ,AB=6,BC=8, ∴ AC= = =10, ∴ S ABC= =24. ∵ AC=10,CD=24,AD=26, ∴ AC2+CD2=AD2, ∴ ACD 是直角三角形,且∠ACD=90 , ∴ S ACD= =120, ∴ S四边形ABCD=S ABC+S ACD=24+120=144. 要点二 勾股定理的逆定理及其应用 6 8 24 26 归纳 (1)判断三角形是不是直角三角形的“三步法” ①找最长边,计算平方; ②计算较小两边长的平方和; ③比较是否相等. (2)不规则图形求面积时,可以通过添加辅助线将不规则图形转化为规则图形,再求面积之和. 要点二 勾股定理的逆定理及其应用 要点三 利用勾股定理解决最短路径问题 例1 如图是一个长方体的货柜,已知它的高为 3 m,底面是边长为 2 m 的正方形.现在点 A 处有一只壁虎,想沿长方体表面爬行,最后到达点 C 处,则壁虎爬行的最短路程是多少? 解:(1)如图,将长方体的右表面翻折至前表面,使 A,C 两点共面,连接 AC,则线段 AC 的长度即为此种情况的最短路程. AC= = =5. 要点三 利用勾股定理解决最短路径问题 例1 如图是一个长方体的货柜,已知它的高为 3 m,底面是边长为 2 m 的正方形.现在点 A 处有一只壁虎,想沿长方体表面爬行,最后到达点 C 处,则壁虎爬行的最短路程是多少? 解:(2)如图,将长方体的后表面翻折至上表面,使 A,C 两点共面,连接 AC,则线段 AC 的长度即为此种情况的最短路程. ∴ AC= = = . ∵ >5, ∴ 壁虎爬行的最短路程是 5 m. 归纳 立体图形中最短路径问题 第1步,展开,将立体图形展开为平面图形;(注意:①只需展开包含相关点的面;②可能存在多种展开方法.) 第2步,定点,确定相关点的位置; 第3步,连线,连接相关点,构造直角三角形; 第4步,计算,根据勾股定理求解. 要点三 利用勾股定理解决最短路径问题 例2 如图,一条笔直的公路 l 经过某水厂 A 和某宝塔 B,某镇准备开发某桑葚基地 C,经测量 C 位于 A 的北偏东 60 方向,C 位于 B 的北偏东 30 方向,且 AB=4 km. (1)求宝塔 B 与桑葚基地 C 的距离; 要点三 利用勾股定理解决最短路径问题 (2)为方便游客到 C 采摘桑葚,该镇准备由 C 向公路 l 修一条距离最短的公路,不考虑其他因素,求这条最短公路的长(结果保留根号). 解:(1)根据题意得,∠CAB=30 ,∠ABC=120 , ∴ ∠ACB=180 -∠CAB-∠ABC=30 , ∴ ∠ACB=∠CAB=30 , ∴ BC=AB=4. ∴ 宝塔 B 到桑葚基地 C 的距离为 4 km. 要点三 利用勾股定理解决最短路径问题 在 Rt BCD 中,BC=4 km,∠CBD=90 -30 =60 , ∴ ∠BCD=30 , ∴ BD= BC=2. 在 Rt BCD 中,由勾股定理, 得 BC2=CD2+BD2, ∴ CD= = . 即最短公路的长为 km. 解:(2)如图,过点 C 作 CD⊥l 于点 D, 要点三 利用勾股定理解决最短路径问题 D 归纳 “垂线段最短”类问题 (1)作垂线:过定点向定直线作垂线段; (2)定边角:根据条件,结合三角形内角和等,确定已知角和已知边; (3)计算长度:在直角三角形中,利用勾股定理或者直角三角形的性质求垂线段长. 要点三 利用勾股定理解决最短路径问题 例3 如图,小区 A 与公路 l 的距离 AC=200 m,小区B 与公路 l 的距离 BD=400 m.已知 CD=800 m,现要在公路旁建造一家利民超市 P,使超市 P 到 A,B 两小区的路程之和最短. (1)请在图中画出点 P,写出画法. (2)求 PA+PB 的最小值. 要点三 利用勾股定理解决最短路径问题 A C D B l P 例3 如图,小区 A 与公路 l 的距离 AC=200 m,小区B 与公路 l 的距离 BD=400 m.已知 CD=800 m,现要在公路旁建造一家利民超市 P,使超市 P 到 A,B 两小区的路程之和最短. (1)请在图中画出点 P,写出画法. (2)求 PA+PB 的最小值. 要点三 利用勾股定理解决最短路径问题 解:(1)如图,作点 A 关于 l 的对称点 ,连接 ,交 l 于点 P,P 即为所求的点. A C D B l A′ AC=A′CC E 解:(2)由对称性,得 PA+PB 的最小值为线段 的长. 如图,过点 作 ⊥BD,交 BD 的延长线于点 E. 在 Rt 中, =CD=800, BE=BD+DE=BD+ =BD+AC=400+200=600, ∴ = = =1000. ∴ PA+PB 的最小值为 1000 m. 要点三 利用勾股定理解决最短路径问题 P A C D B A′ AC=A′CC l 归纳 “两定一动”最小问题 (1)对称转化:作其中一个定点关于直线的对称点; (2)连线找交点:连接对称点与另外一个定点,与直线的交点即为所求点; (3)计算:构造直角三角形,利用两点之间线段最短的性质,用勾股定理计算得出线段长度,即为最短距离和. 要点三 利用勾股定理解决最短路径问题 勾股定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 应用 互逆定理 直角三角形边长的数量关系 直角三角形的判定 利用勾股定理解决最短路径问题 勾股定理及其逆定理的综合应用 $