精品解析：天津市红桥区2025-2026学年高三二模数学试卷

高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得：，又，所以 2. 设，那么“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用充分条件和必要条件的定义，结合特殊值法以及不等式的基本性质判断可得出结论. 【详解】充分性：若 ，则，充分性成立； 必要性：若，可取，，则，必要性不成立. 因此，“ ”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案． 【详解】对于A，令，因为为偶函数， 又因为，所以不存在零点，故A不合题意； 对于B，令， 因为为奇函数，故B不合题意； 对于C，令，为非奇非偶函数，故C不合题意； 对于D，令，为偶函数， 当时，，故D符合题意． 4. 为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ） A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁 【答案】C 【解析】 【分析】先补全组的频率，再通过累计频率判断中位数落在区间，最后利用中位数定义列方程求解即可． 【详解】根据所给的信息可知，在区间上的数据的频率为 ， 因为的频率为，的频率为， 所以中位数在， 设为中位数为，则， 解得． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得 由且，得， 由，得， 所以． 6. 下列结论中正确的结论个数为（ ） ①命题：，的否定是，； ②若直线l上有无数个点不在平面内，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则； ④若随机变量，且，，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，利用全称命题的否定是特称命题即可判断；对于②，结合空间中直线与平面的位置关系判断即可；对于③，根据正态分布的性质求解即可；对于④，利用二项分布的期望和方差公式求解即可. 【详解】对于①，全称命题，的否定是特称命题：，；故①正确； 对于②，直线l上有无数个点不在平面内，直线l与平面可能相交，也可能平行，故②错误； 对于③，根据正态分布的性质可得,故③错误； 对于④，由随机变量，且，，可得：，解得，故④正确. 7. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点 ，点 即为该球的球心，求出长度，由勾股定理可求出四棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式可得出答案． 【详解】 如图，在四棱锥中， 取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为， 分别过作两个平面的垂线交于点 ，则由外接球的性质知， 点 即为该球的球心，连接并延长，交于，则是线段的中点， 连接，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在中，，即， 所以四棱锥外接球的表面积为． 8. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为，图象在 轴上的截距为．则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】先由最高点与最低点横坐标求出周期，得；再由最高点位置求，结合 轴截距求出振幅，确定函数；最后据此逐一验证选项：A周期为错误，B最大值为错误，C的区间符合单调递增区间正确，D化简后不是偶函数错误． 【详解】对于A，由图知，解得，A错误； 对于B，由，得，则， 由时，函数取最大值，得， 化简得，结合，得， 由函数在 轴上的截距为，即，解得， 所以，最大值为，B错误； 对于C，由， 得， 当时，递增区间为，C正确； 对于D，， 该函数不是偶函数，D错误． 9. 设，分别是双曲线的左、右焦点，离心率为e，过的直线交双曲线的左支于M，N两点，若是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线性质设，则，，，计算得到，根据勾股定理解得答案． 【详解】 是以为直角顶点的等腰直角三角形， 设，则， ，， 则，即，解得， 在直角中，， 化简得到． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得． 复数是纯虚数，，，的虚部为1． 11. 已知二项式的展开式中的常数项为，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得的展开式中的通项为， 令，得，则常数项为， 即，解得． 12. 已知抛物线的焦点为，准线与 轴的交点为，点 在抛物线上，且，O是坐标原点，则=_________ 【答案】 【解析】 【详解】设A到准线的距离等于AM，由抛物线的定义可得|AF|=|AM|，由可得 △AMK为等腰直角三角形． 设点A （，s ），∵准线方程为 x=﹣2，|AM|=|MK|， ∴+2=|s|，∴s=±4，∴A （2，±4 ），∴|AO|= 故答案为. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 13. 一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】第一空分先白后红和先红后白两种情况，由概率公式计算；第二空利用条件概率公式即可求解． 【详解】第一空： 令事件 表示用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球， 所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个红球的概率为， 所以， 第二空： 令事件表示不放回的抽样方式第次摸到红球，， ，， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 ． 14. 已知O是 内的一点，，，，,则______；若，则______． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算方法，直接求出结果即可，再根据向量数量积的运算律，列出方程组，求出参数值，求出结果即可. 【详解】由题意可知；    所以 因为，所以， 得，解得， 则. 15. 设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将函数有四个不同的零点，转化为函数和有四个不同的交点，利用数形结合得到的范围，再根据为方程 的两根，为方程的两根，利用韦达定理建立的函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又因为函数有四个不同的零点， 所以函数和有四个不同的交点， 如图所示： 由图知，， 设为方程 的两根，即的两根， 所以， 设为方程的两根，即的两根， 所以， 所以， 令，， 所以在上单调递增， 因为 ， ， 所以的值域为， 即的取值范围为． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在 中，内角所对的边分别是，已知． （1）求的值； （2）若， ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）先展开并整理已知等式，得到边的关系式，再代入余弦定理公式，直接求出的值。 （2）① 先由求出，再结合，用正弦定理求出； ②先由判断 为锐角，求出，再用二倍角公式算出，，最后用两角差的正弦公式计算． 【小问1详解】 由，整理得， ， 所以； 【小问2详解】 ①若，则， 因为，所以， 由，得， 所以； ②由，得，即，所以 一定为锐角， 所以，则， 所以， 所以． 17. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 因为，所以，因为，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用向量点积证明同时垂直于平面内的两条相交直线和，得出平面，再结合平面，证得平面平面； （2）先求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算出法向量夹角的余弦值，最后取其绝对值，得到两平面夹角的余弦值； （3）先计算底面 的面积，再以点到底面的距离（即的竖坐标）为高，代入三棱锥体积公式计算出体积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量， 则，即，令，可得， 又设平面的法向量， 则，即，令，可得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 （是的竖坐标）． 18. 设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，； (Ⅱ)（i）. （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【解析】 【详解】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得 （II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由 可得.因为，可得，故. 设等差数列的公差为d，由，可得 由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有， 故. （ii）略 19. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，上顶点为，左、右焦点分别为，且． （1）求椭圆的离心率； （2）点在椭圆上（异于椭圆左、右顶点），直线与直线交于点，线段与线段交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为，且的面积为，求椭圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆顶点与焦点的距离条件，代入椭圆基本关系化简，直接求出离心率； （2）由离心率确定椭圆方程形式，设直线并联立椭圆求点坐标，证明垂直得出外接圆以为直径，再用切线性质与三角形面积求出参数，得到椭圆标准方程． 【小问1详解】 由题意得，， 所以，又， 所以，整理得， 所以椭圆的离心率； 【小问2详解】 由（1）可得，代入，整理得， 所以椭圆的方程为，， 设直线的方程为， 联立方程组，得， 则，， 联立，解得， 设，因为，则， 所以，则，垂足为H， 因此的外接圆是以为直径，的中点为圆心的圆， 设圆心为，所以圆T的标准方程为， 设的中点为，则， 连接，由题意知，， 所以，由对称性可知，且， 则是等边三角形，， 因此，解得， 所以椭圆C的标准方程为． 20. 已知函数. （1）求函数 的单调区间； （2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围： （3）已知，曲线在不同的三点处的切线都经过点，且，当时，证明：. 【答案】（1）单调减区间为： ，单调增区间为：； （2） ； （3） 由（1）知，，曲线过有三条不同的切线，切点为， 于是，方程有3个不同的根， 该方程整理为， 设，求导得， 而，当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 显然有3个不同的零点，必有， 则，且，即， 又，设， 则方程即为：， 记，则为有三个不同的根， 设，要证，即证， 即证，即证， 即证，即证， 又且， 则，即， 于是即证，即证， 设，记，求导得， 设，则， 则函数在上单调递增，有， 于是，即在上为增函数，有， 因此 ， 记， 则， 于是在 为增函数，则， 所以，即， 从而原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）对函数 求导，解导函数大于0和小于0的不等式即得. （2）求出函数的导数，由在附近的临近区域导数值左正右负求出范围. （3）由（1）及导数的几何意义求出切线方程，再构造函数利用函数的三个零点可得，再借助换元法及分析法推理论证即得. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，，即 在 上递减，在上递增， 所以函数 的单调减区间为 ，单调增区间为. 【小问2详解】 依题意，函数，求导得， 当时，当时，，则函数在处不可能取到极大值； 当时，由，得，由，得或， 则函数在处取到极大值，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ） A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论中正确的结论个数为（ ） ①命题：，的否定是，； ②若直线l上有无数个点不在平面内，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则； ④若随机变量，且，，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为，图象在 轴上的截距为．则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数 9. 设，分别是双曲线的左、右焦点，离心率为e，过的直线交双曲线的左支于M，N两点，若是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为__________． 11. 已知二项式的展开式中的常数项为，则实数______． 12. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，O是坐标原点，则=_________ 13. 一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 14. 已知O是 内的一点，，，，,则______；若，则______． 15. 设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在 中，内角所对的边分别是，已知． （1）求的值； （2）若， ①求的值； ②求的值． 17. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 19. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，上顶点为，左、右焦点分别为，且． （1）求椭圆的离心率； （2）点在椭圆上（异于椭圆左、右顶点），直线 与直线交于点 ，线段与线段 交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为，且的面积为，求椭圆的标准方程． 20. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在 处取得极大值，求实数的取值范围： （3）已知，曲线在不同的三点处的切线都经过点，且，当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $