精品解析：2025届天津市红桥区高考二模数学试题

高三数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 参考公式： 柱体的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高. 锥体的体积公式 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. 球的体积公式 其中R表示球的半径. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知命题 ，命题，则命题是命题（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若 则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知直线与圆 相切，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 直线l与双曲线的一条渐近线平行，且l过抛物线的焦点，交C于A，B两点，若，则E的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 若虚数单位，且则实数___________________. 11. 若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为______． 12. 由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为___________________. x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 13. 甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为 体积分别为，若__________________. 14. 已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从､两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为___________；记取出的4个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为___________. 15. 在四边形中，，，，，为的中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若 且 （1）求cosB； （2）求a的值; （3）求 的值. 17. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面,，是的中点，是的中点. （1）证明：平面 （2）若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②求点到平面的距离； 18. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧). （1）求椭圆C方程； （2）若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程. 19. 已知数列 的首项 （1）证明：数列 为等比数列； （2）证明：对任意的 （3）证明: 20. 已知函数，其中为自然对数的底数， （1）当时，求函数在点处的切线方程; （2）证明:恒成立； （3）证明: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 参考公式： 柱体的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高. 锥体的体积公式 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. 球的体积公式 其中R表示球的半径. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集、并集的运算直接可得出结果. 【详解】易知，又， 所以. 故选：D 2. 已知命题 ，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论. 【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出， 即充分性成立； 由可推出，不能推出，即必要性不成立； 因此命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 3. 若 则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解. 【详解】因为 所以 则 . 故选：A. 4. 已知直线与圆 相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线和圆相切，由圆心到直线距离等于半径列方程可得结果. 【详解】将圆化为标准方程， 可得圆心，半径， 依题意可知圆心到直线的距离为， 又，解得. 故选：D 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项后得结论． 【详解】函数定义域是，，函数为偶函数，排除AB， 又时，，排除D. 故选：C． 6. 若则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性与值域可得，再由对数函数的单调性可得，由此可得结果. 【详解】因为，所以， ，， 所以. 故选：D. 7. 直线l与双曲线的一条渐近线平行，且l过抛物线的焦点，交C于A，B两点，若，则E的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据双曲线的渐近线方程，求得直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，得到，再根据抛物线的定义得到弦长， 求得，即可求解双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为， 设直线的方程为， 又由抛物线的焦点， 则， 即， 所以直线的方程为； 设， 联立， 得， 所以， 根据抛物线的定义可知， 即， 即， 又由， 所以， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，以及抛物线的标准方程与几何性质和抛物线的焦点弦的性质的合理应用是解答的关键. 8. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可. 【详解】由，得， 即函数的单调递减区间为， 令，则函数其中一个的单调递减区间为： 函数在区间内单调递减， 则满足，得，所以的取值范围是. 故选：D. 9. 已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案. 【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 所以对任意的，且，则， 所以，即， 设，即在上单调递减， 又时，，解得， 所以在上单调递增； 在上单调递减，所以， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 若为虚数单位，且则实数___________________. 【答案】 【解析】 【分析】化简复数，再由复数相等可得解方程即可得出答案. 【详解】因为 所以解得：. 故答案为：. 11. 若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数和得到的值，再根据二项式展开式的通项公式可得到结果. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32， 所以，即， 二项式展开式的通项公式为， 令，则，所以的系数为， 故答案为：. 12. 由表格数据得到的线性回归方程为，则表格中的m值为___________________. x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 【答案】 【解析】 【分析】计算出样本的中心点坐标，将其代入可求得m的值. 【详解】，， 线性回归方程恒过， 所以，解得：. 故答案为：. 13. 甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为 体积分别为，若__________________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意分别求出，，由此求出，即可求出. 【详解】因为甲、乙两个圆锥的底面积相等，所以甲、乙两个圆锥的底面半径相同，设为， 设甲、乙两个圆锥的母线长分别为，高分别为 所以甲、乙两个圆锥的圆心角之和为：， 所以， 由，所以，即， 又，所以，即，所以， 甲圆锥的高， 乙圆锥的高， ， 所以 故答案为：. 14. 已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从､两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为___________；记取出的4个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用古典概型公式得解 【详解】从､两个袋内各任取2个球，有种，恰好有1个红球有 从､两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为 取出的4个球中红球的个数为随机变量，则可能取值为 ;;; ; 故答案为：， 【点睛】熟练掌握超几何分布是解题关键. 15. 在四边形中，，，，，为的中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____． 【答案】 ①. ②. ． 【解析】 【分析】以为基底，将用基底表示，根据已知结合向量的数量积运算律，可求出；设用基底表示，求出关于的二次函数，即可求出其最小值. 【详解】为的中点，， ，，， ， ， ； 设， ， ， 时，取得最小值为. 故答案为：；. 【点睛】本题考查向量基本定理、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若 且 （1）求cosB； （2）求a的值; （3）求 的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，再由正弦定理和二倍角的正弦公式求解即可； （2）由余弦定理可得，解方程即可得出答案； （3）利用同角的正余弦公式可求得，再求得，进而利用两角差的正弦公式可求得. 【小问1详解】 因为所以 由正弦定理可得：所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得：， 所以，解得：或， 因为所以. 【小问3详解】 因为，所以，所以， ， ， 所以. 17. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面,，是的中点，是的中点. （1）证明：平面 （2）若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②求点到平面的距离； 【答案】（1）证明见解析； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质以及线面垂直判定定理证明即可得出结论； （2）①根据定义作出两平面所成角的平面角，即可求出对应余弦值； ②利用等体积法直接计算可得结果 【小问1详解】 由底面为矩形，，所以， 即，又因为是的中点，所以； 因为平面，平面， 所以， 由平面, 所以平面； 【小问2详解】 ①连接，如下图所示： 由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以即为平面与平面所成的夹角， 易知，所以， 又，，所以， 因此， 即平面与平面夹角的余弦值为； ②易知三棱锥的体积为； 设点到平面的距离为， 由可知， 又，即，解得； 即点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧). （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，解方程求出，即可求出椭圆方程； （2）首先设直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示点的坐标，并利用坐标表示的面积，即可求解直线方程. 【小问1详解】 由题意可得：，解得：， 故，，， 所以椭圆C的方程为. 小问2详解】 当直线斜率为0时，不符合题意，舍去. 当直线斜率不为0时，设直线方程为，设， 联立，得， 易知，则，. 易知，， 所以直线：①，直线：②， 联立①②， 所以， 因为， 所以， 解得， 故直线的方程为或. 19. 已知数列 的首项 （1）证明：数列 为等比数列； （2）证明：对任意的 （3）证明: 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析, 【解析】 【分析】（1）根据题中递推关系式，运用倒数法化简变形可证数列等比数列； （2）由（1）可求出数列的通项公式，将不等式右侧式子配凑成通项公式的形式，再将其化为关于二次函数最值问题,通过放缩可证明该不等式； （3）对利用（2）中的结论缩小，出现首项为 ，公比为的等比数列的前n项和的算术平均值，从而可证明不等式. 【小问1详解】 ，又 所以是以为首项，以为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知，即 . 【小问3详解】 由（2）知，对任意，有， 取， 则. 20. 已知函数，其中为自然对数的底数， （1）当时，求函数在点处的切线方程; （2）证明:恒成立； （3）证明: 【答案】（1） （2）证明见解析； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）根据不等式构造函数和分别证明大于等于零恒成立即可； （3）依据（2）中结论可得，再利用等比数列前项和公式计算可得证明得出结论. 小问1详解】 当时，可得，所以； 可得，又， 所以在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 易知，要证明， 可得， 构造函数，可得， 可知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时，等号成立； 下面证明， 令，所以； 易知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时等号成立， 综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即. 【小问3详解】 由（2）中结论可知； 所以， 因此； 可知 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$