精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

东北师大附中初中部 2025-2026学年第二学期期中考试 初一年级数学学科试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 二元一次方程的一个解是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式：正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（ ） A. B. C. D. 7. 初一年级名师生参加研学活动，需同时租用甲、乙两种客车出行，每辆甲客车可坐人，每辆乙客车可坐人，若一次性将师生运往目的地且每辆客车都坐满，则租车方案有几种（） A. B. C. D. 8. 如图，在五边形中，，平分，平分，则的度数是（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 不等式的解集是___________． 10. 一个三角形的两边长分别是2和6，第三边长为偶数，则第三边长为_____． 11. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 12. 不等式的所有正整数解之和为___________． 13. 如图，在中，，点在边上，连接．当，且时，那么我们称是的“分割线”．若是的“分割线”，则______． 14. 如图，点分别在的边上，连接，把沿折叠，点恰好落在边上点的位置．若平分，则下列结论：①，②；③；④．其中正确结论的序号是___________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解不等式： （1）． （2）． 16. 解方程组： （1）； （2）． 17. 解不等式组： （1） （2） 18. 甲、乙两地相距千米，货车与客车分别从甲、乙两地出发相向而行，货车先行3小时后，客车出发，又经过4小时两车相遇．已知客车的速度是货车的倍，问：货车每小时行驶多少千米？（列一元一次方程解应用题） 19. 小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 20. 为了让更多的同学参与到体育活动中去，学校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知每副羽毛球拍的售价是60元，每副乒乓球拍的售价是45元，如果学校要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过5000元，那么学校最多能购进多少副羽毛球拍． 21. 如图，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，的面积是30，则的面积为___________． 22. 近年来，我国人形机器人研发不断取得新的突破，某机器人企业研发出A、B两款热销的机器人，1个款机器人和2个B款机器人的生产成本共27万元，2个A款机器人比1个B款机器人的生产成本多14万元． （1）求每个A款机器人，每个B款机器人的生产成本； （2）该机器人企业计划生产A、B两款机器人共14个（两款都生产），若生产A款机器人的数量不少于B款机器人的3倍，该机器人企业有哪几种生产方案： （3）在（2）的条件下，如果出售每个A款机器人获利5000元，出售每个B款机器人的利润率为，并且所有机器人能够全部售出，请直接写出哪种方案利润最高，最高利润是多少． 23. 若一个不等式（组）解集中有最大（最小）整数值，则称最大（最小）整数值为的“麦斯值”，若不等式（组）的“麦斯值”都是不等式组的解，则称不等式组对于不等式（组）“麦斯覆盖”，即不等式（组）被不等式组“麦斯覆盖”． 例如：①不等式的“麦斯值”为5，它被不等式组“麦斯覆盖”， ②不等式组的“麦斯值”为1和3，它被不等式组“麦斯覆盖”，却不被不等式组“麦斯覆盖” （1）已知关于的不等式，不等式的“麦斯值”为___________，判断不等式组是否对于不等式“麦斯覆盖”．___________（填“是”或者“否”）； （2）已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”，求的取值范围； （3）已知关于的不等式和不等式组，以及不等式组，且不等式和不等式组中有且只有一个被不等式组“麦斯覆盖”，请直接写出的取值范围． 24. 某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探索研究四边形的某两个外角和与它们不相邻的内角之间的关系．已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论探究】 （1）如图，当，时，计算___________； 【结论推导】 （2）如图，观察猜想与之间的关系，并证明你的结论； 【结论应用】 若直线分别平分四边形的外角和． （3）如图，当直线时，试判断之间的数量关系是___________； （4）当，时，若直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点顺时针旋转，直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点逆时针旋转，两条直线同时出发，设旋转时间为（单位：），在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值．（写出个即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中初中部 2025-2026学年第二学期期中考试 初一年级数学学科试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A的是代数式，不含不等号，不是不等式， 选项B的，选项C的都是用等号连接的等式，不是不等式， 选项D的是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义． 2. 二元一次方程的一个解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将选项中的代入原方程，验证左右两边是否相等，相等即为方程的解． 【详解】解：根据二元一次方程解的定义，将选项A代入方程， 左边右边， 所以是二元一次方程 的一个解． 将选项B代入方程，左边右边； 将选项C代入方程，左边右边； 将选项D代入方程，左边右边． 3. 若，则下列不等式：正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：已知 ． 对于选项A，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，可得 ，因此A错误． 对于选项B，根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得 ，因此B正确． 对于选项C，由 ，得 ，不等式两边同时加，不等号方向不变，得 ，因此C错误． 对于选项D，举反例：当 ， 时，满足 ，但 ，因此D错误． 4. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：如图，作， 由题意，，， ∴， ∴， ∴ 5. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平面密铺，熟练掌握多边形内角和是解题的关键．根据多边形的内角和求出，计算多边形的外角为即可得到答案． 【详解】解：正三角形的内角为，正方形的内角为， ， 这块正多边形地砖的边数是， 故选B． 6. 如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：中边上的高是． 7. 初一年级名师生参加研学活动，需同时租用甲、乙两种客车出行，每辆甲客车可坐人，每辆乙客车可坐人，若一次性将师生运往目的地且每辆客车都坐满，则租车方案有几种（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设租用两种客车的数量为未知数，根据总人数列出二元一次方程，求方程的正整数解，统计解的个数即可得到方案数． 【详解】解：设租用甲客车辆，乙客车辆，由题意得，均为正整数， 根据题意，得， ∴， ∵是正整数， ∴或或， 因此租车方案共有种． 8. 如图，在五边形中，，平分，平分，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据五边形内角和求出的度数，再利用角平分线性质求出的度数，最后在中求解． 【详解】解：∵五边形的内角和等于，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴的度数是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，按照一元一次不等式的解法步骤逐步变形即可得到解集． 【详解】解：， 移项得：， 两边同除以4得：． 10. 一个三角形的两边长分别是2和6，第三边长为偶数，则第三边长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；又知道第三边长为偶数，就可以知道第三边的长度． 【详解】根据三角形的三边关系，得 ， 即4＜＜8． 又∵第三边长是偶数，则， 故答案为：6 【点睛】本题考查了三角形三边关系，需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．同时注意第三边长为偶数这一条件． 11. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意用含的代数式分别表示出两种情况下的竹竿总数，即可列出方程. 【详解】解：设牧童有人，根据题意，每人竿多竿，可得竹竿总数为， 每人竿少竿，可得竹竿总数为， 因为竹竿总数不变， 因此可列方程：. 12. 不等式的所有正整数解之和为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】先求解该一元一次不等式，得到解集后找出解集中的所有正整数，再计算所有正整数解的和即可． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 ∵为正整数 的取值为 ， 所有正整数解之和为 ． 13. 如图，在中，，点在边上，连接．当，且时，那么我们称是的“分割线”．若是的“分割线”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，设，则，所以，然后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的“分割线”， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 14. 如图，点分别在的边上，连接，把沿折叠，点恰好落在边上点的位置．若平分，则下列结论：①，②；③；④．其中正确结论的序号是___________． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得 ，从而得到对应角相等，据此判断①；根据四边形内角和定理及  判断②；根据角平分线的定义及三角形内角和定理推导  与  的关系，结合平角定义及折叠性质判断④；通过反证法或特定值法判断③是否恒成立. 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，，， ，故①正确； 在四边形 中，， ， ，即，故②正确； 平分， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ，故④正确.； 若，则，  ， 由于的形状不确定，该等式不一定成立，故③错误.； 综上所述，正确的结论是①②④. 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解不等式： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 16. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解： 得：， 解得：， 把代入得：， 解得： ∴方程组的解为：． 17. 解不等式组： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】分别求出每个不等式组中两个一元一次不等式的解集，然后找出两个解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解： 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 18. 甲、乙两地相距千米，货车与客车分别从甲、乙两地出发相向而行，货车先行3小时后，客车出发，又经过4小时两车相遇．已知客车的速度是货车的倍，问：货车每小时行驶多少千米？（列一元一次方程解应用题） 【答案】货车每小时行驶80千米． 【解析】 【分析】设货车每小时行驶千米，则客车每小时行驶千米．甲、乙两地相距千米，货车与客车分别从甲、乙两地出发相向而行，据此列方程并解方程即可． 【详解】解：设货车每小时行驶千米，则客车每小时行驶千米． 则 解得 答：货车每小时行驶80千米 19. 小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【解析】 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 20. 为了让更多的同学参与到体育活动中去，学校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品．已知每副羽毛球拍的售价是60元，每副乒乓球拍的售价是45元，如果学校要购进羽毛球拍和乒乓球拍共100副，且总费用不超过5000元，那么学校最多能购进多少副羽毛球拍． 【答案】该校最多能购进33副羽毛球拍． 【解析】 【详解】解：设购进羽毛球拍x副，则购进乒乓球拍副， 由题意得， 解得， 是非负整数， x的最大值为33． 答：该校最多能购进33副羽毛球拍． 21. 如图，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，的面积是30，则的面积为___________． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）由为的高，可得，再由可得，再由平分，可以求出，最后由是三角形的外角便可求出； （2）由中线的性质可得，再根据可得，进一步可求出三角形的面积． 【小问1详解】 解：是的高， ， ， ， 平分， ， 是外角， ． 【小问2详解】 解：是的中线， ， ， ， ， ， ． 22. 近年来，我国人形机器人研发不断取得新的突破，某机器人企业研发出A、B两款热销的机器人，1个款机器人和2个B款机器人的生产成本共27万元，2个A款机器人比1个B款机器人的生产成本多14万元． （1）求每个A款机器人，每个B款机器人的生产成本； （2）该机器人企业计划生产A、B两款机器人共14个（两款都生产），若生产A款机器人的数量不少于B款机器人的3倍，该机器人企业有哪几种生产方案： （3）在（2）的条件下，如果出售每个A款机器人获利5000元，出售每个B款机器人的利润率为，并且所有机器人能够全部售出，请直接写出哪种方案利润最高，最高利润是多少． 【答案】（1）每个A款机器人生产成本为11万元，每个B款机器人生产成本为8万元 （2）共有3种生产方案，分别是：方案一：生产A款机器人11个，B款机器人3个；方案二：生产A款机器人12个，B款机器人2个；方案三：生产A款机器人13个，B款机器人1个 （3）生产A款机器人13个，B款机器人1个的方案利润最高，最高利润是69000元 【解析】 【分析】（1）设每个A款机器人的成本为x万元，每个B款机器人的成本为y万元，进一步建立方程组求解即可； （2）设生产A款机器人n个，则生产B款机器人个，可得，进一步求解即可； （3）先计算每个方案的利润，再比较大小即可得到答案. 【小问1详解】 解：设每个A款机器人的成本为x万元，每个B款机器人的成本为y万元， 由题意得：，解得：， 答：A款机器人的成本为11万元，B款机器人的成本为8万元． 【小问2详解】 解：设生产A款机器人n个，则生产B款机器人个， 由题意得：， 解得：， ∴， ∵n取正整数， ∴n可取的值为11，12，13， 共有3种生产方案，分别是：方案一：生产A款机器人11个，B款机器人3个；方案二：生产A款机器人12个，B款机器人2个；方案三：生产A款机器人13个，B款机器人1个． 【小问3详解】 解：方案一的利润为（元）； 方案二的利润为（元）； 方案三的利润为（元）； ∵， ∴生产A款机器人13个，B款机器人1个的方案利润最高，最高利润是69000元. 23. 若一个不等式（组）解集中有最大（最小）整数值，则称最大（最小）整数值为的“麦斯值”，若不等式（组）的“麦斯值”都是不等式组的解，则称不等式组对于不等式（组）“麦斯覆盖”，即不等式（组）被不等式组“麦斯覆盖”． 例如：①不等式的“麦斯值”为5，它被不等式组“麦斯覆盖”， ②不等式组的“麦斯值”为1和3，它被不等式组“麦斯覆盖”，却不被不等式组“麦斯覆盖” （1）已知关于的不等式，不等式的“麦斯值”为___________，判断不等式组是否对于不等式“麦斯覆盖”．___________（填“是”或者“否”）； （2）已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”，求的取值范围； （3）已知关于的不等式和不等式组，以及不等式组，且不等式和不等式组中有且只有一个被不等式组“麦斯覆盖”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2，是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求得不等式的整数解，确定其最大整数解即可；已知关于的不等式根据定义判定求解即可； （2）先求出不等式组的解集，确定的“麦斯值”；求出不等式组的解集，根据不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”，建立不等式求的取值范围即可； （3）先求出各个不等式或不等式组的解集，确定不等式或不等式组的“麦斯值”， 根据不等式（组）中有且只有一个被不等式组“麦斯覆盖”，建立新不等式组求解即可； 【小问1详解】 解：不等式，解得，故不等式的“麦斯值”为2，它被不等式组 “麦斯覆盖”，故答案为：是． 【小问2详解】 解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， 不等式组的“麦斯值”为和4， ∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”， 故 解不等式①，得，解不等式②，得， 故的取值范围为； 【小问3详解】 解：，解得，故不等式的最小整数解为， 故不等式的“麦斯值”为1； ∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为，其整数解为3,4，故不等式的麦斯值”为3和4； ∵， ∴解不等式①，得，解不等式②，得， 不等式有解集满足的条件是， ∴不等式组的解集为， 当被不等式组“麦斯覆盖”时，根据题意，得， 被不等式组“麦斯覆盖”时，， 不被不等式组“麦斯覆盖”的条件为，或， 故只有且仅有被不等式组“麦斯覆盖”的条件为； 被不等式组“麦斯覆盖”时，，不被不等式组“麦斯覆盖”的条件为，或， 故只有且仅有被不等式组“麦斯覆盖”的条件为； 综上所述，的取值范围为：或 ． 24. 某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探索研究四边形的某两个外角和与它们不相邻的内角之间的关系．已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论探究】 （1）如图，当，时，计算___________； 【结论推导】 （2）如图，观察猜想与之间的关系，并证明你的结论； 【结论应用】 若直线分别平分四边形的外角和． （3）如图，当直线时，试判断之间的数量关系是___________； （4）当，时，若直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点顺时针旋转，直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点逆时针旋转，两条直线同时出发，设旋转时间为（单位：），在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值．（写出个即可）． 【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）； （4）在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值为或或（写出个即可）． 【解析】 【分析】（）连接，根据三角形的外角性质即可求解； （）连接，根据三角形的外角性质即可求解； （）过作，则，所以，，又平分，平分，则，，从而可得由（）得，，则，然后通过等式的性质即可求解； （）分当在内部时，当在内部时，如图，当在内部时，分别通过三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴ ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 证明：连接， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由（）得，， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（）得， ∴， ∴， 当在内部时，如图，设与交于点， ∴，， ∴ ， ∴， 解得：， 当在内部时，如图，设与交于点， ∴， ∴， 解得：； 如图，当在内部时， 同理， ∴， 解得：， 综上可得：在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值为或或（写出个即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $