精品解析：山东淄博市沂源县2025-2026学年八年级下学期4月期中数学试题

初三数学试题 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是正方形 8. 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下： 甲：连接，作的中垂线交、于E、F，则四边形是菱形 乙：分别作与的平分线、，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ） A. 仅甲正确 B. 仅乙正确 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误 9. 如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E；于点F，连接，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤，正确的有（　　）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是_____． 12. 如果，那么的取值范围是_____． 13. 若m是方程的一个根，则的值为_____． 14. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，且点的坐标为，点是对角线的中点．将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为_____． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 化简计算： （1） （2） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为G．求证：． 19. 阅读下面计算过程： 试求： （1）________； （2）（为正整数）________ （3）求的值． 20. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 21. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了如下的数学活动： 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 22. 如图，点E是矩形的对角线上的一点，且，，，点P为直线上的一点，且于点于点．如图①，当点为线段中点时，易证得 （1）如图②，当点P为线段上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其他条件不变，则是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图（3），当点P为线段延长线上的任意一点时，其他条件不变，则与之间又具有怎样的数量关系？ 23. （1）[问题探究] 如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； ③探究与的数量关系，并说明理由． （2）[迁移探究] 如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可. 【详解】A. ，故A选项不符合题意； B. ，故B选项不符合题意； C. ，故C选项不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解． 【详解】解：由题意知：被开方数， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0． 3. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，含未知数的项的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，且未知数的次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 4. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法解方程的方法对各选项进行判断． 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B.由得，，故选项B不符合题意； C. ，故选项C符合题意； D. ，故选项D不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法；用配方法解一元二次方程时，先把原方程化为的形式；再方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式逐一判断即可． 【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确； B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误； C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键． 6. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，把代入已知方程，从而列出关于的新方程，通过解方程来求的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 解得 ； 故选：A． 7. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断，找出说法错误的选项即可． 【详解】解：A、， 根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，故说法正确，不符合题意； B、， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； C、∵， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； D、， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，不一定是正方形，故说法错误，符合题意． 8. 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下： 甲：连接，作的中垂线交、于E、F，则四边形是菱形 乙：分别作与的平分线、，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ） A. 仅甲正确 B. 仅乙正确 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误 【答案】C 【解析】 【分析】证明，得出，即可得出四边形是平行四边形，结合，即可得解；由平行线的性质，，由角平分线的定义得出，，得出，，由等角对等边得出，，推出，即可得出四边形是平行四边形，结合，即可得解． 【详解】解：如图1：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故甲的作法正确； 如图2， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故乙的作法正确； 9. 如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标． 【详解】解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上， ，，， 即轴， 在中，由勾股定理得：， 点的坐标是：． 10. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E；于点F，连接，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤，正确的有（　　）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有较强的综合性，构造适当辅助线，综合运用这些知识是解题的关键． 连接，可得四边形是矩形，则，再证明，则可得，从而可判定①；延长，交于点N，由平行线的性质及得，则得，即有，从而可判定②；由②的证明可判定③；易得是等腰直角三角形，则由勾股定理及矩形的性质得：，则可判定④；过点A作且，连接，证明，由勾股定理即可判定⑤． 【详解】解：连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 故①正确； 延长，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 故②正确； 由②的证明知：，， ∴； 故③正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 故④错误， 过点A作且，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴． 故⑤正确， 所以正确的有4个：①②③⑤. 故选：B 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是_____． 【答案】矩形 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可推出所得四边形对边平行且相等，判定为平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，可推出平行四边形有一个内角为直角，利用矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设菱形为，，，，分别为，，，的中点，连接对角线、， ，，，分别是菱形四边的中点， 是的中位线，是的中位线， 根据三角形中位线定理可得：，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ，， ，即， 平行四边形是矩形． 12. 如果，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简后，根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据二次根式的性质可得：， 由题意得：， ， 移项得：， 系数化为得：． 13. 若m是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，找出是解题的关键．是方程的一个根，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：是方程的一个根， 故答案为：2028． 14. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面积． 【详解】解：如图1所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， 设OA=x，OB=y， 由题意得：，解得：， ∴AC=2OA=6，BD=2OB=4， ∴菱形ABCD的面积=； 故答案为12． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，且点的坐标为，点是对角线的中点．将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出，得出，，进而求出是等边三角形，，，每旋转次为一个循环，第次旋转结束时点的位置和第次旋转结束时点的位置相同，过点作于，则，利用含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，，即可得点的坐标． 【详解】解：如图，连接， ∵点的坐标为， ∴， ∵菱形的顶点在轴正半轴上，点是对角线的中点， ∴与交于点，，，， ∴，， ∴, ∴是等边三角形，， ∵将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，， ∴每旋转次为一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时点的位置和第次旋转结束时点的位置相同，即菱形绕原点顺时针旋转， ∴，， 过点作于，则， ∴，， ∵点在第四象限， ∴第次旋转结束后，点的坐标为． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 化简计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可． （2）先利用乘法公式计算二次根式的乘法，再合并即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 即，， ， ； 【小问2详解】 解：原方程整理，得，， ， ， ， ． 18. 如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为G．求证：． 【答案】 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AG，根据线段的和与差可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BAF≌△ADG是解题的关键． 19. 阅读下面计算过程： 试求： （1）________； （2）（为正整数）________ （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键． （1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ． 20. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了如下的数学活动： 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1） ，理由如下， ∵四边形是矩形， ． ， 由折叠的性质得， ， ． 同理：． ． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． （1），理由如下，由矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定得到，即可得到； （2）根据矩形的性质、折叠的性质得到，设，根据勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由折叠的性质得． 设， ． 在中，． ． 解得：． ∴． 22. 如图，点E是矩形的对角线上的一点，且，，，点P为直线上的一点，且于点于点．如图①，当点为线段中点时，易证得 （1）如图②，当点P为线段上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其他条件不变，则是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图（3），当点P为线段延长线上的任意一点时，其他条件不变，则与之间又具有怎样的数量关系？ 【答案】（1） 解：结论仍成立． 证明：如图，连接，过点作于点． ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， 且， ． ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于点．先由矩形的性质及勾股定理求出的长，再由三角形面积求出的长，然后通过等量代换即可求解； （2）仿照（1）的解法可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图（3）中的结论是．理由如下： 过作交于，连接， ， 即， ， ， 所以图3中的结论是． 23. （1）[问题探究] 如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； ③探究与的数量关系，并说明理由． （2）[迁移探究] 如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②的大小不发生变化，； 证明：作，垂足分别为点M、N，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ③； 证明：作交于点E，作于点F，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 作于点M， 则， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）； 证明：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形，垂直平分， ∴， ∵， ∴， 作交于点E，交于点G，如图， 则四边形是平行四边形，，， ∴，都是等边三角形， ∴， 作于点M，则， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质证明，即可得到结论； ②作，垂足分别为点M、N，如图，可得，证明四边形是矩形，推出，证明， 得出，进而可得结论； ③作交于点E，作于点F，如图，证明，即可得出结论； （2）先证明，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，可得，都是等边三角形，进一步即可证得结论． 【详解】（1）①略 ②略 ③略 （2）略 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $