精品解析：山东省淄博市沂源县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

初三数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式， B、与不是同类二次根式， C、与是同类二次根式， D、与不是同类二次根式. 故选C． 【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握定义进行判断是解题的关键． 一元二次方程：含有一个未知数，含有未知数的项的最高次数是2，2， 这样的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断即可． 【详解】选项A： 整理为，是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合定义； 选项B： 含两个未知数和，不符合“一个未知数”的条件，排除； 选项C： 化简： ，化简后为一次方程，排除； 选项D： 未明确，当时方程变为一次方程，不符合定义，排除． 故选：A． 3. 若两个最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可． 【详解】∵两个最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ∴． 故选：A． 4. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 四条边相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角互补 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质判断即可． 本题考查的是菱形的性质、矩形的性质，掌握菱形的四条边相等、矩形的对边相等，邻边不一定相等是解题的关键． 【详解】菱形和矩形均为平行四边形，具有对角相等和邻角互补的性质，故排除A、D； 矩形邻边互相垂直，而菱形邻边不一定垂直，故C为矩形特有； 菱形四条边相等，而矩形仅对边相等，邻边长度不同（除非为正方形）． 因此，菱形具有而矩形不一定具有的是B． 故选：B． 5. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案． 【详解】解：， 或 解得： 故选B 【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键． 6. 若，化简的正确结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键，先判断，，再根据 ，化简代数式并合并即可． 【详解】解： ， ，， 故选：D． 7. 如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( ). A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 135° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°， ∵四边形AEFC是菱形， ∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型． 8. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 9. 把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可． 【详解】解：根据根式的性质可得可得， 因此． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，连接交于点M，连接，若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质和，证明为等边三角形，再证明，得到是的角平分线，故可证明①；根据，可得，即可证明四边形是平行四边形，再证明即可得到，故可证明③； 根据，故无法证明，故②错误；根据含有角的直角三角形的三边关系和勾股定理可得，故可证明④． 【详解】解：四边形是矩形，O为的中点， ， 为等腰三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故①正确； , ， ， ， ，， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， 故③正确； ， 无法证明， 故②错误； ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 故正确的为①③④，为3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则满足___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义即可求解. 【详解】根据题意有 ，解得且 故答案为且 【点睛】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键. 13. 若有意义，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．根据二次根式有意义的条件可得，且，得出，再代入求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 如图，连接AD，则， ∴当时，的值最小，此时，的面积， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型． 15. 如图，在正方形中，E为中点，连接，过点D作交的延长线于点F，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，可得，可证，从而可得，再根据勾股定理可得的长． 【详解】解：是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 是中点， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，证明是本题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再运用加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简以及运算乘法，再运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 17. 用配方法解方程：2x2+4x﹣6=0． 【答案】x1=1，x2=﹣3 【解析】 【详解】试题分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法的步骤解题即可. 试题解析：解：2x2+4x﹣6=0 方程两边同时除以2，得 x2+2x﹣3=0． 移常数项，得x2+2x=3． 配方，得x2+2x+1=3+1 即（x+1）2=4． 开平方，得 x+1=±2． 所以，原方程的解为x1=1，x2=﹣3． 考点： 解一元二次方程-配方法 18. 已知，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ． 19. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，求n的值． 【答案】的值为8或9 【解析】 【分析】当4为腰长时，将x=4代入原一元二次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=8符合题意；当4为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式=0，解之可得出n值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=9符合题意． 【详解】当4为腰长时，将代入，得：， 解得：， 当时，原方程为，解得：，， ∵2+4＞4， ∴符合题意； 当4为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当时，原方程为， 解得：， ∵3+3＞4， ∴符合题意． ∴的值为8或9． 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分4为腰长及4为底边长两种情况讨论是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； （2）为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】（1） 证明：∵关于的一元二次方程， ∴，且 当取不为0的任何值时，总有， 所以方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据关于的一元二次方程，则，且，即可作答． （2）运用因式分解法得或，结合方程有两个不相等的正整数根，为整数，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 或， 由题意方程有两个不相等的正整数根， 即是正整数，且为整数，， ∴， ∴． 21. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵， ∴且 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合证明为矩形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，结合矩形的性质可得，，再解求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵是的平分线，， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合应用上述知识是解题的关键． 22. （1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值． 【答案】（1）同意，理由如下： 如图，连接EF ∵E是AD的中点 ∴AE=ED 由折叠及矩形性质得：AE=EG，∠EGF=∠D=90° 所以，EG=DE 在Rt△EFG和Rt△EFD中， ∵EF=EF EG=DE ∴Rt△EFG≌Rt△EFD （HL） ∴DF=FG （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可； （2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值； （3）方法同（2）． 【详解】解：（1）略 （2）根据DC=2DF，设DF=FC=x，AE=ED=y 由折叠性质及（1）知BF=BG+GF=AB+GF=3x 在Rt△BCF中，由勾股定理得： BF2=BC2+CF2 （3x）2=（2y）2+x2 即： ∴ （3）设AE=ED=y，DF=x，根据DC=nDF，得CD=nx，FC=（n－1）x； 由折叠性质及矩形性质知：BF=BG+GF=AB+GF=（n+1）x 在Rt△BCF中，由勾股定理得： BF2=BC2+CF2 [（n+1）x]2=（2y）2+[（n-1）x]2 即： ∴ 【点睛】此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中． 23. 已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立． 试探究下列问题： （1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明） （2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论． 【答案】（1）成立；（2）成立，理由见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析． 【解析】 【分析】（1）因为四边形ABCD为正方形，CE=DF，可证△ADF≌△DCE(SAS)，即可得到AF=DE，∠DAF=∠CDE，又因为∠ADG+∠EDC=90°，可推出∠ADG+∠DAF=90°，即有AF⊥DE； （2）同理（1）即可证明； （3）设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，因为点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQDE，PQAF，然后根据AF=DE，可得四边形MNPQ是菱形，又因为AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形． 【详解】（1）上述结论①，②仍然成立，理由是： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°． 在△ADF和△DCE中，， ∴△ADF≌△DCE(SAS)， ∴AF=DE，∠DAF=∠CDE． ∵∠ADG+∠EDC=90°， ∴∠ADG+∠DAF=90°， ∴∠AGD=90°，即AF⊥DE； （2）上述结论①，②仍然成立，理由是：. ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°． 在△ADF和△DCE中，， ∴△ADF≌△DCE(SAS)， ∴AF=DE，∠DAF=∠EDC． ∵∠ADG+∠EDC=90° ∴∠ADG+∠DAF=90° ∴∠AGD=90°，即AF⊥DE； （3）四边形MNPQ是正方形．理由是： 如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H． ∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点， ∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，， ∴四边形OHQG是平行四边形． ∵AF=DE， ∴MQ=PQ=PN=MN， ∴四边形MNPQ是菱形． ∵AF⊥DE， ∴∠AOD=90° ∴∠HQG=∠AOD=90° ∴四边形MNPQ是正方形． 【点睛】本题为四边形综合题，考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 四条边相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角互补 5. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 若，化简的正确结果是（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( ). A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 135° 8. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 9. 把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，连接交于点M，连接，若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④.其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则满足___________. 13. 若有意义，则_____． 14. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________． 15. 如图，在正方形中，E为中点，连接，过点D作交的延长线于点F，连接．若，则的长为______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 用配方法解方程：2x2+4x﹣6=0． 18. 已知，求的值． 19. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，求n的值． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； （2）为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 21. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 22. （1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值． 23. 已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立． 试探究下列问题： （1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明） （2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $