精品解析：陕西西安市铁一中学2025－2026学年九年级下学期中考模拟数学试题

2025－2026学年铁一中九年级4模数学试卷 一、选择题 1. 9的平方根是（　　） A. B. C. D. 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（ ） A. B. 9 C. D. 18 6. 已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（其中是自变量且），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、填空题 9. 如果点P（）在第四象限，则ｍ的取值范围是_____． 10. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，演奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，若，则琴弦的长为_______． 11. 如图，正五边形的边长为2，经过点，则阴影部分扇形的的长为_____． 12. 已知：如图，将长方形纸片沿着所在直线对折，B点落在点处，与交于点F，如果，，，则的长为_________． 13. 如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 14. 如图，，，，，则线段的长为________． 三、解答题（共12小题） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且．求证：． 20. 某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量是其行驶路程的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为时，剩余电量为；行驶路程为时，剩余电量为． （1）求与之间的函数表达式，并求出该汽车在充满电时的满电量； （2）当电池电量低于时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电，行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 21. 有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．小明和小亮分别转动转盘和，两个转盘停止后，将两个指针所指的数字相乘，（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某份为止）．他们规定：如果数字之积仅为3的倍数，则小明赢，若数字之积仅为5的倍数则小亮赢，如果数字之积既是3的倍数又是5的倍数则为平局． （1）用列表或画树状图法表示出所有可能出现的结果； （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 22. 钓鱼是一项水上休闲运动，深受沿海地区市民喜爱．如图，一人坐在坡度为的河堤上垂钓，坡面距离．是一根长为的鱼竿，与水平方向的夹角为，鱼线垂直于水面．当有鱼上钩时，鱼竿的竿梢点到达了点位置，鱼竿与水平方向的夹角变为．在整个垂钓过程中，鱼线始终垂直于水面．（，，） （1）求鱼线的长度； （2）鱼上钩时，鱼线变短了______米． 23. 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同款人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．研究小组从这两款人工智能软件的使用者中各随机抽取了20名用户进行用户满意度问卷调查（问卷满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： A款人工智能软件20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两款人工智能软件得分统计表： 人工智能软件 平均数 众数 中位数 方差 款 87 91 121 B款 87 95 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的__________，__________，__________； （2）调查中的某一天，通过查询访问量得知当天有20万人次使用A款人工智能软件，有15万人次使用B款人工智能软件，估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（）的共有多少万人次？ 24. 如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的面积． 25. 如图所示，取某一位置的水平线为轴，建立了平面坐标系后，小山坡可以近似看成抛物线．小明在离点的楼顶抛出一球，其运动轨迹为抛物线，落在山坡的点处，测得点离轴的距离为． （1）求点的坐标； （2）求小球飞行过程中，离山坡的最大高度． 26. 如图，完成下列题目 （1）如图1，已知，且，则___________； （2）如图2，已知在中，，点在的右侧，，且，为中点，连接，求的最大值．聪聪同学经过认真思考，作出了如下的辅助线：过作于，作，过作于，请你帮聪聪完成推导过程； （3）某校园文化节需要设计一个菱形的艺术展示区，其中菱形边长为米，，如图3，在展示区的顶点处，有一束灯光以固定的角（）照射，灯光覆盖的区域内有一个装饰点在上．现要求的装饰区域面积为平方米．现在需要在满足这个面积要求的前提下，找到从展示区的顶点到装饰点的最短距离，并求出这个最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年铁一中九年级4模数学试卷 一、选择题 1. 9的平方根是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断． 轴对称图形关键看能否找到对称轴，中心对称图形关键看绕对称中心旋转后能否与原图形重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据合并同类项、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、幂的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于A选项，，计算正确，该选项符合题意； 对于B选项，，计算错误，该选项不符合题意； 对于C选项，，计算错误，该选项不符合题意； 对于D选项，，计算错误，该选项不符合题意． 4. 通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 5. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（ ） A. B. 9 C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，可得，，可证明是等边三角形，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 6. 已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在正比例函数图象上的性质，点的坐标满足函数解析式，得到与、的关系，再结合已知等式变形即可求出的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 7. 如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 8. 已知二次函数（其中是自变量且），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，的最大值为，可得时，，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：∵二次函数（其中是自变量且）， ∴对称轴是直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵时，的最大值为， ∴当时，， ∴或（不符合题意，舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，一元二次方程的应用．解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二、填空题 9. 如果点P（）在第四象限，则ｍ的取值范围是_____． 【答案】m＞4． 【解析】 【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数． 【详解】∵点P（m+1，8-2m）在第四象限， ∴， 解得m＞4， 故m的取值范围是m＞4． 故答案为：m＞4． 【点睛】本题考查象限点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 10. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，演奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，若，则琴弦的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用题目给出的比例关系，将已知的琴弦总长度代入计算，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴． 11. 如图，正五边形的边长为2，经过点，则阴影部分扇形的的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用正五边形的性质求出，，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为2， ∴，， ∴阴影部分扇形的的长为． 12. 已知：如图，将长方形纸片沿着所在直线对折，B点落在点处，与交于点F，如果，，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质和勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 根据对折前后两图形全等可得，又，所以，因此，所以，设，则，在中，根据勾股定理列式即可求解． 【详解】解：，， ∴， 由折叠可得 四边形是长方形， ， ， ∵由折叠可得， ， ， 设，则， ∵在长方形中，，， ∴由折叠可得，， ∴在中，， ∴， 解得， ， 故答案为：． 13. 如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，角平分线的性质，正方形的判定和性质等，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点，由角平分线的性质可得，即可得四边形是正方形，由勾股定理得，由对称可得，，设，则，，可得，，即得，可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点， ，，， ∴四边形是矩形， 平分，，， ， 又平分，，， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∵点，， ∴，， ∴在中，， 由对称可得，，， 设，则，， ∴，， ， ， ， ， ， 故答案为： 14. 如图，，，，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，且，连接，，根据平行四边形的判定和性质可得，，根据平行线的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据等角对等边可得，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：过点作，且，连接，，如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵，， ∴三角形是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：，即． 三、解答题（共12小题） 15. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】先算立方根，零指数幂，化简绝对值及乘方，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ∵ ∴原式 17. 解方程：． 【答案】 原方程无解 【解析】 【详解】解： ， 检验：当时，， ∴是方程的增根， ∴原方程无解． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，即为所求. 【解析】 【分析】过作即可，由可得，可得，结合，可得，可得即为所求. 【详解】解：略． 19. 如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且．求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】由“”可证，从而可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中． 20. 某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量是其行驶路程的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为时，剩余电量为；行驶路程为时，剩余电量为． （1）求与之间的函数表达式，并求出该汽车在充满电时的满电量； （2）当电池电量低于时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电，行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 【答案】（1）函数表达式为，该汽车充满电时的满电量为 （2）行驶320千米后，该款汽车将会发出电量警报 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法确定函数解析式，进一步可得答案； （2）由（1）中求得的与之间的函数表达式，结合题意可得，进一步即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 根据题意得，解得， 与之间的函数表达式为：. 当时，， ∴该汽车充满电时的满电量为. 【小问2详解】 解：当时，，则， 当时，，解得， 行驶320千米后，该款汽车会发出电量警报． 21. 有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．小明和小亮分别转动转盘和，两个转盘停止后，将两个指针所指的数字相乘，（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某份为止）．他们规定：如果数字之积仅为3的倍数，则小明赢，若数字之积仅为5的倍数则小亮赢，如果数字之积既是3的倍数又是5的倍数则为平局． （1）用列表或画树状图法表示出所有可能出现的结果； （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1） 解：每次游戏可能出现的所有结果列表如下： 转盘B 转盘A 的数字 的数字 4 5 6 1 积为4 积为5 积为6 2 积为8 积为10 积为12 3 积为12 积为15 积为18 由表可知，表格中共有8种可能出现的结果. （2） 解：数字之积仅为3的倍数的有4种，小明赢的概率为，数字之积仅为5的倍数的有2种，小亮赢的概率为． ∴这个游戏对双方不公平. 【解析】 【分析】（1）通过列表法列出两个转盘数字的所有可能结果. （2）判断游戏是否公平，关键看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，结合“积仅为3的倍数”“积仅为5的倍数”的结果数，代入公式计算概率，再判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 钓鱼是一项水上休闲运动，深受沿海地区市民喜爱．如图，一人坐在坡度为的河堤上垂钓，坡面距离．是一根长为的鱼竿，与水平方向的夹角为，鱼线垂直于水面．当有鱼上钩时，鱼竿的竿梢点到达了点位置，鱼竿与水平方向的夹角变为．在整个垂钓过程中，鱼线始终垂直于水面．（，，） （1）求鱼线的长度； （2）鱼上钩时，鱼线变短了______米． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题； （1）过点作于点，作于点，得到四边形为矩形，推出，根据，设，则，利用勾股定理求得，最后利用，求得，即可求解； （2）过点作于点，于点，得到四边形为矩形，，根据，可求得，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴四边形为矩形， ∴ ∵河堤的坡度为 ， ∴， 设，则， 在中，， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴鱼线的长度为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∴， ∴， ∴鱼上钩时，鱼线变短了米， 故答案为：． 23. 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同款人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．研究小组从这两款人工智能软件的使用者中各随机抽取了20名用户进行用户满意度问卷调查（问卷满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： A款人工智能软件20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两款人工智能软件得分统计表： 人工智能软件 平均数 众数 中位数 方差 款 87 91 121 B款 87 95 119.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的__________，__________，__________； （2）调查中的某一天，通过查询访问量得知当天有20万人次使用A款人工智能软件，有15万人次使用B款人工智能软件，估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（）的共有多少万人次？ 【答案】（1） （2）这些用户对这两款人工智能软件非常满意（）的共有万人． 【解析】 【分析】（1）直接利用众数，中位数，扇形统计图来求相应的量； （2）分别求出各自非常满意的人数，然后相加即可． 【小问1详解】 解：出现次数为3次，出现次数最多，所以众数， D组数据个数为：， C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88， 故中位数， B组中的数据占总体的比例为：， 故. 【小问2详解】 解：对A款人工智能软件非常满意的人数有：（万人）， 对B款人工智能软件非常满意的人数有：（万人）， 所以这些用户对这两款人工智能软件非常满意（）的共有万人． 24. 如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可得证； （2）过点D作于点G，根据勾股定理，三角函数的应用，结合的面积为：求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作于点G， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积为：． 25. 如图所示，取某一位置的水平线为轴，建立了平面坐标系后，小山坡可以近似看成抛物线．小明在离点的楼顶抛出一球，其运动轨迹为抛物线，落在山坡的点处，测得点离轴的距离为． （1）求点的坐标； （2）求小球飞行过程中，离山坡的最大高度． 【答案】（1）点的坐标是 （2）小球飞行过程中，离山坡的最大高度为． 【解析】 【分析】（1）根据点在抛物线上，把代入计算出点的坐标； （2）根据题意求出点的坐标，再根据点和点在抛物线上，利用待定系数法求出，的值，再根据二次函数的图象的性质求出小球飞行过程中，离山坡的最大高度． 【小问1详解】 解：测得点离轴的距离为， 点的横坐标为， 点在抛物线上， 当时， ， 点的坐标是． 【小问2详解】 解：，当时，， ， ， ， ， 点和点在抛物线上 ， ． ∴． 高出山坡的高度 ． 当时，小球飞行过程中，离山坡的最大高度为． 26. 如图，完成下列题目 （1）如图1，已知，且，则___________； （2）如图2，已知在中，，点在的右侧，，且，为中点，连接，求的最大值．聪聪同学经过认真思考，作出了如下的辅助线：过作于，作，过作于，请你帮聪聪完成推导过程； （3）某校园文化节需要设计一个菱形的艺术展示区，其中菱形边长为米，，如图3，在展示区的顶点处，有一束灯光以固定的角（）照射，灯光覆盖的区域内有一个装饰点在上．现要求的装饰区域面积为平方米．现在需要在满足这个面积要求的前提下，找到从展示区的顶点到装饰点的最短距离，并求出这个最小值． 【答案】（1） （2） 如图所示，作于，于，连接，取中点，连接，， ，， ． ， ． ． ． ， ． ． 中，， 中，， ， ． 、M、N、D四点共圆． 作， 为直径，半径为． 点D在以O为圆心，为半径的圆上运动，当D、O、E三点共线时，有最大值． 、O分别为中点， 为的中位线， ，， ． ． ； （3） 【解析】 【分析】（1）由，可得； （2）先证，得，可得，．由，得、M、N、D四点共圆．则点D在以O为圆心，为半径的圆上运动，当D、O、E三点共线时，有最大值．则； （3）连接，作交于M，先证与均为等边三角形．得．取的中点H，连接，证，可得点G的轨迹为．得 ．则． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 四边形为菱形， ，． ， 与均为等边三角形． ，，． ， ，即． ，， 设边上的高为， ， ， ， ． 取的中点H，连接， ， ． ． ． ． 点G的轨迹为以为底，顶角为的等腰三角形的外接圆． 作交于M， ， ． ． ． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $