精品解析：2025年陕西省西安市滨河学校九年级下学期中考五模数学试题

2024－2025－2单元学情调查（五）九年级数学 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 正比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在等边中，延长到点，连接，若，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 7. 如图，四边形内接于，，是的直径，，，则的长度为（ ） A B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值是（ ） A. 或 B. 1 C. D. 或 二．填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有，例如图，那么____________． 10. 如图，在拧开一个边长为的正六边形螺帽时，扳手张开的开口，则边长的长度是______． 11. 国家发展改革委员会印发的《海水淡化利用发展行动计划（2021—2025 年）》中提出，到 2025 年全国海水淡化总规模达到每日 290 万吨以上，新增海水淡化规模每日 125 万吨以上， 那么数据 290 万用科学记数法可表示为________． 12. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是_____(用“或”连接)． 13. 如图，在中，，点为内一点，连接、、，若，，则的最小值_____． 三．解答题（共13小题，计81分） 14. 计算： 15. 求不等式组正整数解之和． 16. 先化简．再求值：，其中． 17. 如图，在四边形中，为上一点，且，利用圆规和无刻度直尺在上寻找点，使和的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图，在正方形中，G是边上一点，连接，过点D作于点E，过点B作，且交于点F．求证：． 19. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 20. 李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量． 21. 如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)的山坡，点、点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了20米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．求楼的高度．(溅角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，) 22. 甲、乙两地相距，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．慢车比快车早出发，快车始终保持匀速行驶，快车提前到达乙地．两车之间的距离（单位：）与慢车的行驶时间（单位：）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题： （1）慢车的速度为_____，快车的速度为_____； （2）求线段表示的与之间的函数表达式； （3）求快车到达乙地时慢车距甲地的路程是多少？ 23. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分，规定：为级，为级，为级，为级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了_____名学生，_____，级对应的圆心角为_____度； （2）补全条形统计图；这组数据的中位数所在的等级是_____ （3）若该校共有名学生，请你估计该校综合评定成绩高于分的学生有多少名？ 24. 如图，在中，，以为直径交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）连接，若的半径为，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点．与轴正半轴交于点，与轴交于．点在第四象限，连接，平行于轴．且满足， （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线沿轴方向平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点的对应点为点、如果四边形的面积为14，求平移后抛物线的表达式． 26. (1)如图①，已知等边的边长为，则的外接圆的半径为_____； 问题解决 (2)如图②，五边形是一个规划中的果园，五条边为果园的围墙，其中围墙满足，，规划墙体之间的夹角，，和是果园内的两条小路，这两条小路交于点并将整个果园分成四部分，现计划在四边形内种火龙果，在其他区域种植苹果，因火龙果的经济价值较高，故要求四边形的面积尽可能大，请问这个四边形的面积是否存在最大值．若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025－2单元学情调查（五）九年级数学 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键．比较四个实数的大小即可得出结论． 【详解】解：， ， ∴最小的数是． 故选：A． 2. 如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟记各种常见平面图形旋转得到的立体图形是解题关键．根据面动成体结合梯形绕底边旋转一周可得圆柱与圆锥的组合体，即可得答案. 【详解】解：面动成体，梯形绕底边旋转一周可得圆柱与圆锥的组合体， ∴所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘除法，幂的乘方，根据项式乘以单项式，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项正确，符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质求出的度数．由平行线的性质求出的度数．由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：C． 5. 正比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限即可得出答案． 【详解】解：A、正比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．则一次函数y=kx-k的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项符合题意； B、正比例函数图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数y=kx-k的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项不符合题意； C、正比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．则一次函数y=kx-k的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第一、三象限，则k＞0．则一次函数y=kx-k的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法． 6. 如图，在等边中，延长到点，连接，若，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，等腰直角三角形，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 先根据等边三角形的性质得出，即可证得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出，再在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，，是的直径，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理，关键是判定是等腰直角三角形，求出，由勾股定理求出的长． 连接，由圆周角定理得到，判定是等腰直角三角形，求出，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值是（ ） A. 或 B. 1 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．将已知抛物线化为顶点式，确定顶点坐标，根据对称性得到另一条抛物线的顶点坐标，利用顶点间距离建立方程求解． 【详解】解：将抛物线化为顶点式：， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∴关于轴对称的另一条抛物线的顶点坐标为． ∵它们的顶点相距4个单位长度， ∴， ∴或， 解得或． ∴的值为或， 故选：D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有，例如图，那么____________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，正确运用已知公式是解题的关键． 直接利用已知运算公式计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：17． 10. 如图，在拧开一个边长为的正六边形螺帽时，扳手张开的开口，则边长的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接、，过作于．解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过作于． ，， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形是解题的关键． 11. 国家发展改革委员会印发的《海水淡化利用发展行动计划（2021—2025 年）》中提出，到 2025 年全国海水淡化总规模达到每日 290 万吨以上，新增海水淡化规模每日 125 万吨以上， 那么数据 290 万用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：290 万， 故答案为：． 12. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是_____(用“或”连接)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，牢记“当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小”是解题的关键．由，利用反比例函数的性质可得出，此题得解． 【详解】解：， 反比例函数图象分别位于第一、三象限，且同一象限内随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，点为内一点，连接、、，若，，则的最小值_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了加权费马点，作旋转构造相似三角形是解题关键．根据问题可识别为加权费马点，所以作旋转，构造相似，将绕点逆时针旋转并扩大倍得到，连接，证得，，从而得到，所以，据此求解即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转并扩大倍得到，连接，作于交延长线于点， ，， ，且， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，当且仅当、、、四点共线时取等号， 的最小值． 故答案为：． 三．解答题（共13小题，计81分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.按照实数的运算顺序进行运算即可. 【详解】解：原式 15. 求不等式组的正整数解之和． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再求得整数解，然后求和，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴正整数解为，其和为． 16. 先化简．再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值以及分母有理化，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，在四边形中，为上一点，且，利用圆规和无刻度直尺在上寻找点，使和的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作的平分线与线段的相交，交点即为所求．本题考查了角平分线的做法，三角形面积相等知识，解题的关键是掌握作图方法． 【详解】解：如图点为所求． 证明：如下图，连接，作，，的平分线与线段的相交于点，则， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵， ∴与面积相等． 18. 如图，在正方形中，G是边上一点，连接，过点D作于点E，过点B作，且交于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理是解题的关键．通过正方形的性质得出相关角和边的关系，再结合垂直的性质得到角的等量关系，最后利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等． 【详解】证明：∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在和中， ∴ ， ∴ ． 19. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； 【小问2详解】 将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 20. 李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量． 【答案】李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度 【解析】 【分析】设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度， 根据题意，得， 解得，， 答：李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度． 21. 如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)的山坡，点、点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了20米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．求楼的高度．(溅角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，) 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 由题意得：，米，根据已知山坡的坡度，可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，过点作，垂足为，根据题意可得：米，，设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，米， 山坡的坡度：， ， 设米，则米， 在中，米， ， 解得：， 米， 过点作，垂足为， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， ， 解得：， 米， 楼的高度约为米． 22. 甲、乙两地相距，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．慢车比快车早出发，快车始终保持匀速行驶，快车提前到达乙地．两车之间的距离（单位：）与慢车的行驶时间（单位：）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题： （1）慢车的速度为_____，快车的速度为_____； （2）求线段表示的与之间的函数表达式； （3）求快车到达乙地时慢车距甲地的路程是多少？ 【答案】（1）， （2）线段表示的与之间的函数表达式为 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用．从函数图像获取信息和处理信息，掌握路程、速度与时间之间的关系，待定系数法求一出函数解析式，根据函数图象获取解题所需要的信息是关键． （1）根据速度路程时间解答即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）求出快车从甲地到乙地需要的时间为，快车追上慢车时，再过分钟两车距离最远，求得最远距离，即可知快车到达乙地时，慢车距甲地的路程是，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设线段表示的与之间的函数表达式为， 则， 解得：， ∴线段表示的与之间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：快车从甲地到乙地需要的时间为（）， 快车追上慢车时，（） ∴时，此时两车相距最远，最远距离为 ∴快车到达乙地时，慢车距甲地的路程是. 23. 设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为分，规定：为级，为级，为级，为级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了_____名学生，_____，级对应圆心角为_____度； （2）补全条形统计图；这组数据的中位数所在的等级是_____ （3）若该校共有名学生，请你估计该校综合评定成绩高于分的学生有多少名？ 【答案】（1）， ， （2）见解析； （3）名 【解析】 【分析】此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体； （1）根据级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用级的人数除以总数即可求出；求得级所占的百分比，根据乘以级的占比即可求得级对应的圆心角的度数； （2）由（1）得一共抽取了名学生，然后减去级、级，级人数即可求出级人数，然后补全统计图，根据中位数的定义求解即可； （3）用高于75分的人数占比乘以该校的总人数，即可求解． 【小问1详解】 解：（名），， 故答案为：， ，； 【小问2详解】 由（1）得一共抽取了名学生， ∴级的人数为（名）， 则补全条形统计图如图， 在这组数据中，从小到大排列，第位和第位都在级， 故这组数据的中位数所在的等级是级； 【小问3详解】 (人)， 答：综合评定成绩不小于75分的学生有名． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）连接，若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为，所以，而为的直径，则是的切线，由与相切于点，与相切于点，根据切线长定理得； （2）连接，则，由的半径为，得，因为，所以，再证明，则，所以，由三角形中位线定理即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 为的直径， 是的切线， 与相切于点，与相切于点， ． 【小问2详解】 解：连接，则， 的半径为，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解直角三角形，正确地添加辅助线是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点．与轴的正半轴交于点，与轴交于．点在第四象限，连接，平行于轴．且满足， （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线沿轴方向平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点的对应点为点、如果四边形的面积为14，求平移后抛物线的表达式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线与轴交于点，从而代入得，则，，故，又，则，故，进而，求出后即可判断得解； （2）依据题意，由平行于轴，，则点纵坐标为，进而可得，，又抛物线沿轴平移个单位，则，，又四边形为平行四边形，面积为，底边长度，高为，从而可得的值，然后即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线与轴交于点， 代入得，则． ． ， ，故． ． 抛物线的表达式为： 【小问2详解】 由题意，平行于轴，， 点纵坐标为． 不合题意，舍去或． ， 又抛物线沿轴平移个单位， ，． 四边形为平行四边形，面积为，底边长度，高为， ． ． 平移后抛物线的表达式为：向右平移：，向左平移： 即或 26. (1)如图①，已知等边的边长为，则的外接圆的半径为_____； 问题解决 (2)如图②，五边形是一个规划中的果园，五条边为果园的围墙，其中围墙满足，，规划墙体之间的夹角，，和是果园内的两条小路，这两条小路交于点并将整个果园分成四部分，现计划在四边形内种火龙果，在其他区域种植苹果，因火龙果的经济价值较高，故要求四边形的面积尽可能大，请问这个四边形的面积是否存在最大值．若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】（1）设等边外接圆的圆心为，连接并延长交于点，连接，根据等边三角形性质得，，，是的半径，解求出即可得出答案； （2）设，的延长线交于点，作的外接圆，连接，，，过点作于点，过点作于点，证明是等腰直角三角形得，，再证明得是等边三角形，进而可证明和全等，则，继而得，由三角形面积公式得四边形的面积，由此得当为最大时，四边形的面积为最大，根据“垂线段最短”得，则当点，点重合时，为最大，最大值为，当点，点重合时，四边形是菱形则，由垂径定理得，解得()，继而得的最大值为()，据此即可得出四边形的面积的最大值． 【详解】解：（1）设等边外接圆的圆心为，连接并延长交于点，连接，如图所示：   等边的边长为， ，， 点是的外心， ，，，是半径， 在中，， ， 的外接圆的半径为， 故答案为：； （2）存在， 设，的延长线交于点，作的外接圆，连接，，，过点作于点，过点作于点，如图所示：   ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：()， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ()， ， ， ， 在和中， ， )， ， ， ， 中，， ， 四边形的面积， 当为最大时，四边形的面积S为最大， 根据“垂线段最短”得：， 当点，点重合时，为最大，最大值为， 当点，点重合时，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得四边形是菱形， ， 由垂径定理得：，， 在中，， ()， ()， 的最大值为：()， 四边形的面积的最大值为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形；理解等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，两点之间线段最短，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $