精品解析：四川南充市西充中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

四川省西充中学2025-2026学年度下学期期中考试 高2025级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由三角函数的定义可得. 【详解】因为点为角终边上一点，所以. 由任意角的三角函数定义得：. 2. 已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形弧长和面积公式求解. 【详解】设该扇形半径为，圆心角为， 则，解得. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，即，所以. 4. 已知，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】根据向量坐标减法法则，， 则. 5. 将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（ ）. A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 图像关于直线对称 D. 图像关于点对称 【答案】A 【解析】 【分析】利用逆向变换求出的解析式，利用三角函数的周期公式、单调区间判断选项A、B，根据对称轴与对称中心的性质判断C、D. 【详解】将沿x轴向右平移个单位长度，横坐标变为原来的， 可得. 选项A，的，最小正周期，A正确； 选项B，当时，，在单调递增， 在单调递减，故在不是单调递减，B错误； 选项C，正弦函数对称轴处函数值为，代入： ，因此不是对称轴，C错误； 选项D，正弦函数对称中心处函数值为，代入： ，因此不是对称中心，D错误. 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可. 【详解】函数定义域为，，因此是奇函数，故排除A. 当时，，又，所以.故排除C. 当时，，故排除D. 函数的部分图象可能是选项B. 7. 若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角，从而选出正确答案. 【详解】分别是非零向量同向的单位向量， 因为，所以角的角平分线与垂直， 即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形. 由，得. 又，所以. 因此，是等边三角形. 8. 如图，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知： . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确； 故选：ABD 10. 下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的数量积的计算公式，可判定A正确；当时，根据与任意向量共线，可判定B错误；根据向量的运算法则，可判定C正确；根据向量形式的三角不等式，可判定D正确. 【详解】对于A，若，可得向量与的方向相同或相反， 当向量与的方向相同时，可得； 当向量与的方向相反时，可得， 所以当时，可得，所以A正确； 对于B，取时，因为与任意向量共线，若，，则与不一定共线，所以B不正确； 对于C，由，可得，即，所以，所以C正确； 对于D，根据向量形式的三角不等式，可得成立， 当且仅当向量与的方向相同时，等号成立，所以D正确. 11. 设向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量是 B. 的最小值为3 C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A：与共线的单位向量有两个，为，故A错误； 对于B：，当且仅当时取到等号，即最小值为3，故B正确； 对于C：若与的夹角为锐角，则，即且，故C错误； 对于D：若，则，即，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】借助向量坐标运算与垂直性质计算即可得. 【详解】，则， 整理得，故. 13. 已知且，则向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为 14. 已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过换元求出的值域，再将条件转化为对的唯一性要求，最后利用正弦函数的图像性质建立关于的不等式，最终得到的的取值范围即可. 【详解】解：当时，， 所以在区间上单调递减， 所以时，， 当时，， 所以时，，可得， 对，总存在唯一实数，使得， 所以， 即对，方程在上有唯一解， 当时，， 根据正弦函数的性质，可得， 解得，即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，求 （1）； （2） （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，， 代入可得. 【小问2详解】 ， 化简可得， 因为，， 代入可得. 【小问3详解】 ， 因为，， 代入可得. 16. 已知向量． （1）当时，求实数的值． （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由已知，，， 由有 ，解得． 【小问2详解】 由已知，， 由有，解得， 于是． 17. 已知向量，，，设函数； （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）对，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量的数量积公式和三角函数的化简，可得，再利用正弦函数性质列不等式计算求解； （2）参变分离转化为函数的最值问题. 【小问1详解】 ， ， 由，得， ， 故的递增区间为，； 【小问2详解】 ，恒成立 由，得， 故时，，， 实数的取值范围是. 18. 如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点. （1）设和交于点G，求∠EGB的余弦值； （2）若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，利用向量的夹角公式即可求解； （2）设，确定，求出的表达式，即可求得答案. 【小问1详解】 在直角梯形中，，，，，连接， 则，四边形为平行四边形，，， 以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，    则， 则，， 所以， 所以的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）得，由点F在边上，设， 则，，而， 因此， 所以的取值范围为. 19. 已知函数． （1）求的解析式； （2）已知，函数是偶函数，求的值； （3）若关于的方程在区间上有且只有一个实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【详解】（1）解：将原式化简为： （2）解：由（1）得， 由函数是偶函数， 得，解得， 而，所以或 （3）解：由，得， 由，得，函数在上单调递增， 由，得，函数在上单调递减， 依题意，在上有且只有一个实数根， 则直线与在上的图象有且只有一个交点， 则或， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省西充中学2025-2026学年度下学期期中考试 高2025级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（ ）. A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 图像关于直线对称 D. 图像关于点对称 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 8. 如图，，设，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 11. 设向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量是 B. 的最小值为3 C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则___________． 13. 已知且，则向量在向量上的投影向量为_______. 14. 已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数m的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，求 （1）； （2） （3）. 16. 已知向量． （1）当时，求实数的值． （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 17. 已知向量，，，设函数； （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）对，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点. （1）设和交于点G，求∠EGB的余弦值； （2）若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围. 19. 已知函数． （1）求的解析式； （2）已知，函数是偶函数，求的值； （3）若关于的方程在区间上有且只有一个实数根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $