精品解析：2026年安徽省合肥市第四十五中学中考二模数学试卷

九年级数学（二） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 某芯片每个探针单元的面积为0.00000163，0.00000163用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 7. 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，收获小麦，第二块使用新品种，收获小麦，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少．如果设第一块试验田每公顷的产量为，根据题意列出分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 好好同学把如图的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，P是内部一点，且，E是的中点，F是边上的一个动点，连接，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 要使式子有意义，则的取值范围是__________． 12. 大自然是美丽设计师，如图是一片银杏叶，点是线段的黄金分割点，即，若，则的长为___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 14. 已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意n都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和． （1）若，满足条件的整式M为__________． （2）若，所有满足条件的整式的和为__________． 三、解答题（共9题，满分90分） 15. 计算 16. 某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、 （1）画出关于轴对称的 （2）将，绕点顺时针旋转度得到，画出 （3）用无刻度直尺作中的角平分线． 18. 2026年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．如图所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面和过点的水平线都平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间，此时（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，求：点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 19. 如图，已知△中，，以为直径的交于，过点作的切线交的延长线于点，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 某教育平台推出A，B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A，B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为以下四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：），下面给出了部分信息．抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据为：86，89，86，88，87，88，90，88． 抽取的对A，B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 85.5 b 96.6 B 86 a 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________； （2）求a，b的值； （3）本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，请你估计对A款或B款软件非常满意的用户共有多少人？ 21. 项目式学习：探究正多边形内任意一点到各边距离之和的规律 提出问题：正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关系？ 探索发现；为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形-正三角形入手 如图①，是正三角形，边长是a，P是内任意一点，P到各边距离分别为，，，确定的值与的边及内角的关系． 以下是解决办法：（注意：其中④⑤⑥的结果用含有三角函数的式子表示） （1）设的面积为S，显然设的中心（正多边形各边垂直平分线的交点，又称正多边形的中心）为O，连接、、，它们将分成三个全等的等腰三角形，过点O作，垂足为M，易知① ，② ，所以，所以，那么，所以； 类比探究 （2）正五边形的一个内角度数为③ （3）正五边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和④ （4）正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和⑤ ． 问题解决 （5）正n边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和⑥ ． 22. 如图，在正方形中，与交于点O，点E是边上的动点，连接交线段于点F． （1）如图1，若，求证：平分； （2）如图2，连接，若，，求证：． （3）在（2）的条件下，，求的长． 23. 已知二次函数（a，b是常数，）． （1）若时， ①试判断点是否在此二次函数的图象上？ ②已知点，在二次函数图象上，求k的值； （2）已知抛物线的对称轴为直线（），若点和在该抛物线上，满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（二） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2. 某芯片每个探针单元的面积为0.00000163，0.00000163用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，绝对值小于1的数用科学记数法表示为的形式，其中，是原数中第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前面的0），根据规则即可求解. 【详解】∵ 是绝对值小于1的数，第一个非0数字为，它前面共有个0（包含小数点前的0），且，符合科学记数法要求 ∴ ． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂除法、单项式乘法、幂的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、，等式成立，B正确； C、，C错误； D、，D错误． 4. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 5. 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，同位角相等，求出，再根据平角的定义，即可． 【详解】解：∵直尺两边互相平行， ∴， ∴． 6. 如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，以及扇形的半径和圆心角，由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：． 7. 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，收获小麦，第二块使用新品种，收获小麦，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少．如果设第一块试验田每公顷的产量为，根据题意列出分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式方程应用，设第一块试验田每公顷的产量为，则第二块试验田每公顷的产量为，根据两块小麦试验田面积相同列方程即可． 【详解】解：设第一块试验田每公顷的产量为，则第二块试验田每公顷的产量为，则 ， 故选：A 8. 好好同学把如图的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得平行四边形对角线分成的四个三角形的面积相等，再根据，得阴影部分的面积为平行四边形面积的，即可解答． 【详解】解：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴对角线所分成四个三角形的面积相等，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为平行四边形面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率． 9. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识；数形结合是解题的关键． 首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，根据图象得出当时，y的值最大，即可得出结果． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点， ∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图所示三条抛物线分别经过A、D、C， B、D、C，A、B、D， 当经过A、D、C三点时，由图像得：当时，y的值最大，即取得最大值， 故选：C 10. 如图，在中，，P是内部一点，且，E是的中点，F是边上的一个动点，连接，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】点P的轨迹是以为直径的在内部的圆弧，作点E关于直线的对称点G，交直线于点M，连接，连接，交于点N，交圆弧于点K，根据三角形全等，三角函数性质等求解即可； 【详解】解：因为四边形是平行四边形，，， 所以，， 所以， 所以， 因为， 所以， 故点P的轨迹是以为直径的在内部的圆弧， 因为， 故的半径为2， 设圆弧与的交点为点Q， 则， 因为， 所以是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 作点E关于直线的对称点G，交直线于点M，连接，连接，交于点N，交圆弧于点K， 则， 因为E是的中点， 所以， 根据对称性质，得， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 根据对称性质，得， 所以， 所以，， 根据对顶角相等，得， ∵， ∴， ∴， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 连接， 因为， 所以， 所以， 所以 连接， 根据对称性质，得， 所以的最小值就转化为的最小值， 因为， 故当三点共线时，取得最小值， 而当P与点K重合时，才有最小值，此时最小值为， 故的最小值为； 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 要使式子有意义，则的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件可得关于x的不等式，解不等式即可得． 【详解】由题意得： 2-x≥0， 解得：x≤2 故答案为x≤2． 12. 大自然是美丽设计师，如图是一片银杏叶，点是线段的黄金分割点，即，若，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，是解题的关键．根据，，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：作于，如图： 函数（）与反比例函数（）交于、两点， ， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 14. 已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意n都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和． （1）若，满足条件的整式M为__________． （2）若，所有满足条件的整式的和为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）明确一次式结构：，系数 为正整数．利用系数和条件：．利用奇偶次项系数和相等的条件，联立方程解得 ，同时验证相邻系数差，最后写出整式即可． （2）明确三次式结构：，系数均为正整数．利用系数和条件：．利用奇偶次项系数和相等的条件，枚举正整数组合，筛选符合相邻系数差的组合，得到4个有效整式，最后合并同类项求和． 【详解】（1）解：， ，其中为正整数． ，且偶数次项系数和等于奇数次项系数和， 而偶数次项只有，奇数次项只有， ． 联立， 解得． 验证：，满足条件． 满足条件的整式为． （2）， ，其中为正整数． ，且偶数次项系数和等于奇数次项系数和， 偶数次项为，奇数次项为， ． 又为正整数，且，，， 枚举所有符合条件的系数组合： ，： 整式：， 验证：，，，符合条件． ，： 整式：， 验证：，，，符合条件． ，： 整式：， 验证：，，，符合条件． ，： 整式：， 验证：，，，符合条件． 将所有整式相加： 所有满足条件的整式的和为． 三、解答题（共9题，满分90分） 15. 计算 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出，，，，再进一步计算它们的和差即可． 【详解】解：原式 ． 16. 某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率． 【答案】每年投资的平均增长率为． 【解析】 【分析】设每年投资的年平均增长率为x，根据题意可得，2025年投资额年的投资额，据此列方程求解． 【详解】解：设每年投资的年平均增长率为x， 根据题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：每年投资的平均增长率为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、 （1）画出关于轴对称的 （2）将，绕点顺时针旋转度得到，画出 （3）用无刻度直尺作中的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换和轴对称，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会作图． （1）根据点关于轴对称，则横坐标变为相反数，纵坐标不变，找到对应点，，依次连接，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点，，再顺次连接即可; （3）利用角平分线的定义，作图，即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所作； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所作； 【小问3详解】 解：如图所示，角平分线即为所作 18. 2026年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．如图所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面和过点的水平线都平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间，此时（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，求：点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】答：点距离地面的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作交于，根据平行线的性质，求出，根据平角的定义，求出，根据，求出，即可求出点距离地面的高度． 【详解】解：如图所示，过点作交于， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 答：点距离地面的高度约为． 19. 如图，已知△中，，以为直径的交于，过点作的切线交的延长线于点，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ； 又， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接和，因为是直径，所以，即；再根据等腰三角形三线合一定理，可以知道也是的中线，即． （2）首先推导出是△的中位线，，由勾股定理得到，，通过得出△△，进而得到，代入数据求得，最后通过得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵O、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵切圆O于点E， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，切线的判定等知识．解决本题的关键是作出正确的辅助线． 20. 某教育平台推出A，B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A，B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为以下四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：），下面给出了部分信息．抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据为：86，89，86，88，87，88，90，88． 抽取的对A，B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 85.5 b 96.6 B 86 a 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________； （2）求a，b的值； （3）本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，请你估计对A款或B款软件非常满意的用户共有多少人？ 【答案】（1） （2） （3）440 【解析】 【分析】（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值； （2）根据众数的定义可得的值，根据中位数的定义得到的值通过比较、款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的非常满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解： 对款的评分数据中，“满意”的人数为人， 占比为：， 因此， 因此． 【小问2详解】 解：， ， 故把款人工智能软件的评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的分数分别为86，87， ∴款人工智能软件的评分的中位数为， 即； 对A款的评分数据中，85分频数最高，因此众数； 【小问3详解】 解：（人）， 因此估算满意的用户人数为440人． 21. 项目式学习：探究正多边形内任意一点到各边距离之和的规律 提出问题：正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关系？ 探索发现；为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形-正三角形入手 如图①，是正三角形，边长是a，P是内任意一点，P到各边距离分别为，，，确定的值与的边及内角的关系． 以下是解决办法：（注意：其中④⑤⑥的结果用含有三角函数的式子表示） （1）设的面积为S，显然设的中心（正多边形各边垂直平分线的交点，又称正多边形的中心）为O，连接、、，它们将分成三个全等的等腰三角形，过点O作，垂足为M，易知① ，② ，所以，所以，那么，所以； 类比探究 （2）正五边形的一个内角度数为③ （3）正五边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和④ （4）正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和⑤ ． 问题解决 （5）正n边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和⑥ ． 【答案】（1）; （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质、面积法的应用及规律探究，解题的关键是利用面积法建立正多边形内任意一点到各边距离之和与边长、内角的关系，并通过类比归纳得出一般规律． （1）利用正三角形的内角及中心性质，计算角度①②； （2）根据多边形内角和公式求正五边形的内角； （3）类比正三角形的面积法，推导正五边形内任意一点到各边距离之和； （4）同理推导正六边形的结论； （5）归纳正边形的一般规律． 【小问1详解】 解：是正三角形， ， 正三角形的中心是角平分线的交点， ． 故①；②． 【小问2详解】 解：正五边形内角和为， 每个内角度数为． 故③． 【小问3详解】 解：设正五边形的面积为，边长为，中心为，连接各顶点，将正五边形分为5个全等的等腰三角形，作,垂足为R.则, ∵, ∴中心到边的距离为， 则， 又，如下图, ， ． 故④． 【小问4详解】 解：正六边形每个内角为，中心到边的距离为， 同理可得， 又， ． 【小问5详解】 解：正边形每个内角为，中心到边的距离为， ， 又， ． 故⑥． 22. 如图，在正方形中，与交于点O，点E是边上的动点，连接交线段于点F． （1）如图1，若，求证：平分； （2）如图2，连接，若，，求证：． （3）在（2）的条件下，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等边对等角，得，运用正方形的性质得，最后根据三角形外角性质得，即可作答． （2）结合正方形的性质以及三角形的外角性质，得出，再证明，得出，再整理得； （3）取的中点，连接并延长至点，使得，证明，，结合正方形的性质得，故，故，再计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取的中点，连接并延长至点，使得， ∵四边形是正方形， ∴是的中点，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 由（2）得出， ∴ ∴ 即三点共线， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 已知二次函数（a，b是常数，）． （1）若时， ①试判断点是否在此二次函数的图象上？ ②已知点，在二次函数图象上，求k的值； （2）已知抛物线的对称轴为直线（），若点和在该抛物线上，满足，求的取值范围． 【答案】（1）①点在此二次函数的图象上；②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得抛物线的解析式为，求出时的函数值即可得到答案；②根据题意可得点B和点C关于对称轴对称，则可得到，解方程即可得到答案； （2）根据对称轴公式推出，求出，，根据得到，据此用含t的式子表示出a、b，进而表示出，根据t的取值范围，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：①当时，抛物线的解析式为． 当时，， ∴点在此二次函数的图象上； ②∵点B，C在二次函数图象上，且这两点的纵坐标相等， ∴B，C两点关于抛物线的对称轴对称，则， 解得， ∴抛物线的解析式为． 将点B坐标代入抛物线的解析式得； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，则． ∵点和在该抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 将代入得，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $